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专题02：相交线、平行线综合专练20题（学生版）
一、单选题
1．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）21教育网
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④.其中正确的结论是( )
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A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
3．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
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A．70° B．45° C．110° D．135°
4．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）21cnjy.com
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A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
5．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度数为( )．
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A．16° B．32° C．48° D．64°
6．如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．26 B．32 C．36 D．42
7．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）
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A．70° B．80° C．90° D．100°
8．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
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A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
二、填空题
9．直线，点是直线上一点，点是直线上一点，且点、在直线同侧，点、在直线另一侧，点是直线和之间的一点，若，，则__________．www.21-cn-jy.com
10．将一副三角板中的两块直角三角板的顶点按如图方式放在一起，其中，，且、、三点在同一直线上．现将三角板绕点顺时针转动度（），在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则转动的角度为__________．
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11．已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．2·1·c·n·j·y
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12．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
13．如图，已知，，，则___度．
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14．如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
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15．如图， 已知，，，则_________
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三、解答题
16．如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,点P在直线AB．CD之间,∠AEP=40°,∠EPG=90°
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(1)填空:∠PGC=_________°；
(2)如图, 点F在直线AB上, ( http: / / www.21cnjy.com )联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q，当点F在点E的右侧时,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度数；21·世纪*教育网
解:过点Q作QM∥CD
因为∠PGC+∠PGD=180°
由(1)得∠PGC=______°,
所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°,
因为GQ平分∠PGD,
所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________°
(下面请补充完整求∠FQG度数的解题过程)
(3)点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q.如果∠FQG=2∠BFG,请直接写出∠EFG的度数.21世纪教育网版权所有
17．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）www-2-1-cnjy-com
（2）如图2，在一块梯形田地上分别 ( http: / / www.21cnjy.com )要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．2-1-c-n-j-y
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．21*cnjy*com
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18．（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
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①请尝试探索，，三者的数量关系．
②请说明理由．
19．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；【出处：21教育名师】
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠D ( http: / / www.21cnjy.com )CP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为 （直接写出答案）．【版权所有：21教育】
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20．已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图，直接写出和之间的数量关系．
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(2)如图，过点B作于点D，求证：．
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(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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专题02：相交线、平行线综合专练20题（教师版）
一、单选题
1．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）21*cnjy*com
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，由ABCD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
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（2）如图2，过E2作AB平行线，则由ABCD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
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当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，
即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；
（3）如图3，由ABCD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
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（4）如图4，由ABCD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
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（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用与外角定理，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．21·cn·jy·com
2．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④.其中正确的结论是( )
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A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】A
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
3．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
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A．70° B．45° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再 ( http: / / www.21cnjy.com )由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．21教育网
【详解】
解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，
∴a∥b，
∴∠3+∠6＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4=∠6＝110°．
故答案为C．
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【点睛】
本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．
4．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】
∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.
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【点睛】
此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
5．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度数为( )．
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A．16° B．32° C．48° D．64°
【答案】B
【分析】
已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE；过点E作EMAB，点F作FNAB，即可得EMFN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE， 又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.2-1-c-n-j-y
【详解】
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∴∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE，
过点E作EMAB，点F作FNAB，
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∵，
∴EMFN，
∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，
∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE，
∵2∠BED-∠BFD=48°，
∴2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +∠CDE）=48°，
∴∠CDE=32°.
故选B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.
6．如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）【版权所有：21教育】
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A．26 B．32 C．36 D．42
【答案】A
【分析】
依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
【详解】
解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）
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A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【详解】
因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，
所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．
8．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
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A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【详解】
根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
二、填空题
9．直线，点是直线上一点，点是直线上一点，且点、在直线同侧，点、在直线另一侧，点是直线和之间的一点，若，，则__________．
【答案】或
【分析】
分两种情况，利用平行线的性质计算即可
【详解】
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当点M在EF左侧时，作MG∥AB
∵AB∥CD，又MG∥AB
∴CD∥MG
∴∠AEM=∠EMG，∠CFM= ∠FMG
∵ ∠EMF= ∠EMG+∠FMG
∴∠EMF= ∠AEM+∠CFM
∵2 ∠CFM=∠AEM
∴∠EMF=3 ∠CFM
∴3∠CFM=150°
∴ ∠CFM=50°
②当点M在EF右侧时，作AB∥ M
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∵AB∥ M，AB∥CD
∴MG'∥CD
∴∠EMG'=180°-∠AEM
∠CFM+∠MF=180°
∴ ∠MF=180°-∠CFM
∵ ∠EMF= ∠EMG'+ ∠FM
∴∠EMF=180°-∠AEM+180°-∠CFM
∵2 ∠CFM=∠AEM
∴150°=360°-3 ∠CFM
∴ ∠CFM=70°
故答案为：或
【点睛】
本题考查平行线的性质、添加辅助线、角的和差关系、分类讨论是关键，正确添加辅助线是重点
10．将一副三角板中的两块直角三角板的顶点按如图方式放在一起，其中，，且、、三点在同一直线上．现将三角板绕点顺时针转动度（），在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则转动的角度为__________．
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【答案】或或
【分析】
分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：若和只有一组边互相平行，分三种情况：
①若，则；
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②若，则；
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③当时，，
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了三角板的角度运算，平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
11．已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．21世纪教育网版权所有
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【答案】
【分析】
过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
【详解】
解：过点，做平行于，如下图：
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，
，
则，
，
同理可得：，
令，则，
，则，
则，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．
12．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
【答案】25°或50°
【分析】
根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解．
【详解】
解：∵与的两边一边平行，另一边垂直，
∴有两种情况，
如下图所示：
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由题意得，AC∥BD，∠A＝3∠B-10°，BC⊥AD
∵AC∥BD
∴∠C＝∠B
∵BC⊥AD
∴∠A+∠C＝90°
∴3∠B-10°+∠B＝90°，
∴∠B=25°
如下图所示：
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由题意得，AN∥BM，∠A＝3∠B-10°，BH⊥AM
∵AN∥BM
∴∠A+∠M＝180°，
∵BH⊥AM
∴∠B+∠M＝90°
∴∠A-∠B＝90°
∵∠A＝3∠B-10°
3∠B﹣10°﹣∠B=90°，
∴∠B＝50°，
综上所述，∠B的度数为25°或50°，
故答案：25°或50°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
13．如图，已知，，，则___度．
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【答案】65°
【分析】
过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．
【详解】
解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题
14．如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
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【答案】
【分析】
过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点向右作，过点向右作
,
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
15．如图， 已知，，，则_________
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【答案】90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小21·世纪*教育网
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
三、解答题
16．如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,点P在直线AB．CD之间,∠AEP=40°,∠EPG=90°
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(1)填空:∠PGC=_________°；
(2)如图, 点F在直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q，当点F在点E的右侧时,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度数；21教育名师原创作品
解:过点Q作QM∥CD
因为∠PGC+∠PGD=180°
由(1)得∠PGC=______°,
所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°,
因为GQ平分∠PGD,
所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________°
(下面请补充完整求∠FQG度数的解题过程)
(3)点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q.如果∠FQG=2∠BFG,请直接写出∠EFG的度数.21*cnjy*com
【答案】（1）50；（2）∠FQG的度数为130°；（3）∠FQG的度数为98°.
【分析】
（1）延长GP交AB于点H，由AB∥CD，得∠H=∠PGC，在直角△PEH中由∠H与∠AEP互余，可求出∠H的角度，即为∠PGC的角度.
（2）过点Q作QM∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )由（1）结论可求∠PGD，然后由角平分线求∠QGD，再由QM∥CD求出∠MQG，由QM∥AB求出∠FQM，最后由∠FQG=∠MQG+∠FQM得出结果.
（3）设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，由QF平分∠EFG，可得∠EFQ=x°，由（2）的方法可用x表示出∠FQG，然后根据∠FQG=2∠BFG，建立方程求解.
【详解】
（1）如图所示，延长GP交AB于点 ( http: / / www.21cnjy.com )H，因为AB∥CD，所以∠H=∠PGC，在在直角△PEH中，∠H+∠HEP=90°，所以∠H=90°-∠AEP=50°.
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（2）过点Q作QM∥CD
因为∠PGC+∠PGD=180°
由(1)得∠PGC=50°
所以∠PGD=180°-∠PGC=130°
因为GQ平分∠PGD,
所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=65°
因为QM∥CD
所以∠MQG+∠QGD=180°，则∠MQG=180°-65°=115°
又因为QM∥CD∥AB
所以∠FQM=∠EFQ
而QF平分∠EFG
所以∠EFQ=∠QFG=∠EFG=15°
所以∠FQG=∠MQG+∠FQM=115°+15°=130°
（3）设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，由QF平分∠EFG，可得∠EFQ=x°，由（2）可知∠MQG==115°，∠FQM=∠EFQ=x°，∠FQG=（115+x）°，由条件∠FQG=2∠BFG可得115+x=2（180-x），解得x=98，故∠EFG的度数为98°.
【点睛】
本题考查平行线间的角度计算，需要灵活进行角度的转换，建立等量关系，从而求解.
17．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要 ( http: / / www.21cnjy.com )种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．
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【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路．
【详解】
（1）∵与有共同的边AB，
又∵，
∴与的高相等，即与同底等高，
∴=，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
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方法二
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
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（3）方法一
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案；
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方法二：
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案．
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【点睛】
本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只 ( http: / / www.21cnjy.com )要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．21cnjy.com
18．（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
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①请尝试探索，，三者的数量关系．
②请说明理由．
【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；
（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC=∠A+∠C；
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（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
②过点E作EF∥AB，
∴∠AEF+∠1=180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠2，
即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA，
∴∠2-∠CEA+∠1=180°，
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
19．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；www-2-1-cnjy-com
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；【出处：21教育名师】
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时， ( http: / / www.21cnjy.com )∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为 （直接写出答案）．
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【答案】（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．
【详解】
解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
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∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
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∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，
∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，
∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，
∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，
∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，
∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，
∴∠CPM＝2∠Q，
∴∠Q与∠CPM的比值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
20．已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图，直接写出和之间的数量关系．
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(2)如图，过点B作于点D，求证：．
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(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．www.21-cn-jy.com
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【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；
（2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到；
（3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，．
(1)
如图1，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
(2)
如图2，过点B作，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，．
(3)
如图3，过点B作，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BF平分，BE平分，
∴，，
由（2）知，
∴，设，，
则，，，
，
∴
∵，，
∴，
中，由得
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．2·1·c·n·j·y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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