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专题03：三角形综合专练20题（学生版）
一、单选题
1．如图，在中，，过点作于点，点是上一点，将沿着翻折得到，连接，若，，三点恰好在同一条直线上，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
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A．1或3 B．1或
C．1或或 D．1或或5
3．如图，在△ABC中，，，，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F，，垂足为G，点H在BC上，连接DG，HE．现给出下列五个结论：①，②△AEF为等边三角形，③，④AH平分EF，⑤．其中正确的结论有（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
5．如图，等边三角形AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）www.21-cn-jy.com
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A．2 B． C． D．
6．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
7．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．用一条线段可以把一个三角形分割成两 ( http: / / www.21cnjy.com )个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 __．（至少写出两种情况）
10．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直 ( http: / / www.21cnjy.com )线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_____（写出2个）．www-2-1-cnjy-com
11．在中，D，E是直线上两点，且，，若，则=______．
12．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．2-1-c-n-j-y
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13．在△ABC中，，点P和点O分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是_________．
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14．如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点，交延长线于点，交延长线于点；直线，，两两相交得到，若，则__．21世纪教育网版权所有
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15．如图，△ABC，△ ( http: / / www.21cnjy.com )DCE都是等边三角形，则①AE＝BD，②△ABD≌△BCD，③∠BAE＝∠ACE，④△BCD≌△ACE，⑤∠BDC＝∠AEC，以上正确的序号是_______21cnjy.com
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三、解答题
16．在△ABC和△CED中，AB＝AC，∠BAC＝60°，CE＝DE，∠CED＝120°，连接AE．
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(1)当B、C、D在一条直线上时，
①如图1，若A、E、D也在同一直线上，且BC＝CD，求证：∠AEC＝60°；
②如图2，若BC≠CD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°；
(2)如图3，当B、C、D不在一条直线上时，且BC≠CD，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°．21*cnjy*com
17．已知在△ABC中，AB＝AC，在边AC上取一点D，以D为顶点，DB为一条边作∠BDF＝∠A，点E在AC的延长线上，∠ECF＝∠ACB【来源：21cnj*y.co*m】
求证：（1）∠FDC＝∠ABD；
（2）DB＝DF；
（3）当点D在AC延长线上时，DB＝DF是否依然成立？在备用图中画出图形，并说明理由．
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18．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．21教育网
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
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19．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ．
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（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时， ( http: / / www.21cnjy.com )小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．【出处：21教育名师】
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．21·cn·jy·com
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20．在已知，，且满足（是常数，且）
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（1）求、坐标；
（2）如图1，点是的一点，点是上一点，于，，若点是上一点，平分，证明：；
（3）点是轴正半轴上一点，过作于，，连接交轴于，若，求坐标．
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专题03：三角形综合专练20题（教师版）
一、单选题
1．如图，在中，，过点作于点，点是上一点，将沿着翻折得到，连接，若，，三点恰好在同一条直线上，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据余角和等腰三角形的性质得=48°、，根据等要三角形的性质，得=48°；根据全等三角形的性质，通过证明，得；根据轴对称的性质，得，，；设，根据三角形外角的性质，通过列一元一次方程并求解，得的值，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∵
∴,
∵
∴
在和中
∴
∴
∵将沿着翻折得到，
∴，，
∴
设
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )、等腰三角形、余角、三角形内角和、三角形外角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
2．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
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A．1或3 B．1或
C．1或或 D．1或或5
【答案】C
【分析】
分三种情况讨论，①当点P在A ( http: / / www.21cnjy.com )C上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】
解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝6 3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝3t 6，
∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t 5＝18 3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或或
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
3．如图，在△ABC中，，，，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F，，垂足为G，点H在BC上，连接DG，HE．现给出下列五个结论：①，②△AEF为等边三角形，③，④AH平分EF，⑤．其中正确的结论有（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据已知条件推出，得到，证明是等腰三角形，推出②错误；由，推出③错误；利用，，证明AH平分EF，推出④正确；证明，得到，说明⑤错误；证明，得到，推出，说明①正确．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：在△ABC中，，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形，故②错误；
由，知③错误；
，，
AH平分EF，故④正确；
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故⑤错误；
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
综上，正确的结论有：①④．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等，综合性较强，有一定难度，解决本题的关键是通过已知条件证明，．www.21-cn-jy.com
4．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
【答案】D
【分析】
由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
【详解】
解：∵，
∴，
∵
①+②得
②-①得
∴在和中，
∵
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
5．如图，等边三角形ABC的边长为4，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
当AF⊥AB时，AF的值最小，过D作DG⊥BC，可证∠ADF=∠DEG，进一步证明△DEG≌△GFA可求解．
【详解】
解：当AF⊥AB时，AF的值最小，过D作DG⊥BC，
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∵DG⊥BC，AF⊥AB
∴∠DGB=∠DGE=∠DAF=90°
∴∠B+∠BDG=90°，∠GDE+∠DEG=90°
∵△ABC和△DEF都是等边三角形
∴DF=EF，∠B=∠FDE=60°，∠BDG=30°
∴∠ADF+∠GDE=180°-∠BDG-∠FDE=180°-60°-30°=90°
∴∠ADF=∠DEG
又∵∠DGE=∠DAF=90°，DE=DF
∴△DEG≌△FDA（AAS）
∴AF=DG
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
6．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）21*cnjy*com
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
【答案】C
【分析】
解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得：，此时腰为，底为，
但+<4，不符合构成三角形的条件，
故不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
7．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）21教育名师原创作品
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】
∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
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∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
【点睛】
本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．
8．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①由∠AFD＝60°可证明△ ( http: / / www.21cnjy.com )CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN（AAS）得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC（SAS），有∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，可得∠FCG＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
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∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；www-2-1-cnjy-com
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．21cnjy.com
二、填空题
9．用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 __．（至少写出两种情况）
【答案】22.5°或18°或36°或45°
【分析】
根据“闪亮分割”的定义，画出图形，共 ( http: / / www.21cnjy.com )分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC；根据角度的数量关系求解最小的内角即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由题意知，共分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，
设∠B＝x且为最小的内角，则，，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴，
解得，
∴△ABC中最小内角为22.5°；
②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，
设∠BAD＝y且为中最小的内角，则由题意得，，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴，
解得y＝22.5°，
∴△ABC中最小内角为；
③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD，
设∠C＝z且为中最小的内角，则由题意得∠B＝∠BAD＝2z，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴，
解得z＝18°，
∴△ABC中最小内角为18°；
④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC，
设∠ACD＝m且为中最小的内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m，
∵∠B+∠BCA＝90°，
∴2m+3m＝90°，
解得m＝18°，
∴△ABC中最小内角为．
综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°．
故答案为：22.5°或18°或36°或45°．
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【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．理解题意画出图形并分类讨论做到不漏解是解题的关键．
10．将一个平面图形分成面积相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_____（写出2个）．
【答案】，（或介于和之间的任意两个实数）
【分析】
根据等边三角形的性质，最短的面 ( http: / / www.21cnjy.com )径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可．
【详解】
解：如图，EFBC时，EF为最短面径，
此时，（）2＝，
即＝，
解得：EF＝，
等边三角形的高AD是最长的面径，
AD＝×2＝，
所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）．
故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．
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【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径．
11．在中，D，E是直线上两点，且，，若，则=______．
【答案】30°或60°或120°
【分析】
分三种情况：当点D、E在线段BC上时，当点D与点C重合，点E与点B重合时，当D、E在CB或BC延长线上时，分别求解即可．
【详解】
解：当点D、E在线段BC上时，
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如图1(i)，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∴∠ADE+∠AED=2（∠BAD+∠CAE），
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=120°；
如图1(ii)，同理可得∠BAC=120°；
当点D与点C重合，点E与点B重合时，如图2，
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∴∠BAC=∠DAE=60°；
当D、E在CB或BC延长线上时，
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如图3(i)，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∵∠ABD=∠C+∠BAC，
∴∠BAD=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAB=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAC-∠BAC =∠C+∠BAC，
∴60°=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
如图3(ii)，同理可得∠BAC=30°，
综上，∠BAC=30°或60°或120°．
故答案为：30°或60°或120°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，注意分类讨论，以免漏解．
12．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
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【答案】##59度
【分析】
利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
【详解】
解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
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∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．
13．在△ABC中，，点P和点O分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是_________．
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【答案】80°或100°
【分析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论即可.
【详解】
解：∵，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠BPC=120°，
令∠CBP=x°，
①当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠CPQ=2x°
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
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②当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=2x°
∴∠QPC=90°- x°
∵∠BPQ+∠CPQ=90°- x+ x=90°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
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③当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠C=2x°
∴∠CPQ=180°-4x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴x+180°-4x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
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④当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
又∠CQP=∠C=90°+x
∴∠CPQ=180°-2（90°+x）=-x，不符合题意，舍去
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⑤当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∴∠QPC=45°-x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴90°-x+45°-x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
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⑥当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∵∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°-x+90°+x=180°
C，P，B三点共线，不符合题意，舍去
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⑦当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=180°- x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+180°- x=∠BPC
又∠BPC=120°
∴180°-2x+180°- x=120°
解得x=80°
∵∠A+∠ABC=60°+60°+80°=200°＞180°，
∴不成立，舍去
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⑧当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC= 2x-180°
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+ 2x-180°=0°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
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⑨当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
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综上可知，∠ABC的度数可以是80°或100°
故答案为：80°或100°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，分情况讨论是本题的难点.
14．如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点，交延长线于点，交延长线于点；直线，，两两相交得到，若，则__．2·1·c·n·j·y
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【答案】2
【分析】
首先利用等边三角形和直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质分析得到三个全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后设等边△ABC的边长为a，AD=x，利用含30°的直角三角形的性质分别求得△ABC和△JHF的面积，从而可得3S△JDA=S△GHI，从而列方程求解．
【详解】
解：延长交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等边三角形，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，，
过点作，交于点，
设，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，
，，
，
，，
，
过点作，交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
在中，，
，
，
，
过点作，交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，
在中，，
，，
，
，
，
解得：（负值舍去），
即的值为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确添加辅助线，以证明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK为突破口，从而利用等积变换的思想得到3S△JDA=S△GHI是解题关键．
15．如图，△ABC，△DCE都是等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，则①AE＝BD，②△ABD≌△BCD，③∠BAE＝∠ACE，④△BCD≌△ACE，⑤∠BDC＝∠AEC，以上正确的序号是_______
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【答案】①④⑤
【分析】
由“”可证，可得，，即可求解．
【详解】
解：，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，故④正确，
，，故①，⑤正确，
∵AB=CB，BD=BD，AD与CD不一定相等，故△ABD与△BCD不一定全等；故②错误，
∵，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BAE=∠BAC+∠ACE，
与不一定相等，故③错误．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键．
三、解答题
16．在△ABC和△CED中，AB＝AC，∠BAC＝60°，CE＝DE，∠CED＝120°，连接AE．
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(1)当B、C、D在一条直线上时，
①如图1，若A、E、D也在同一直线上，且BC＝CD，求证：∠AEC＝60°；
②如图2，若BC≠CD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°；
(2)如图3，当B、C、D不在一条直线上时，且BC≠CD，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°．21·cn·jy·com
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）①可直接得出∠AEC=180°-∠CED=60°；
②延长EF至G，使GF=EF，证△BGF≌△EDF，再证△ABG≌△ACE，可推出△AEG是等边三角形，命题得证；
（2）与②方法相同．
(1)
解：①证明：∠AEC=180°-∠CED
=180°-120°
=60；
②证明：如图2，
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∵CE=DE，∠CED=120°，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=90°，
延长EF至G，使GF=EF，连接BG，AG，
∵∠BFG=∠EFD，BF=DF，
∴△BFG≌△DFE（SAS），
∴∠GBF=∠D=30°，BG=DE=CE，
∴∠ABG=∠ABC+∠FBG=90°，
∴∠ABG=∠ACE，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
∴AG=AE，∠BAG=∠CAE，
∴∠BAG+∠GAC=∠CAE+∠GAC，
∴∠GAE=∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AEF=60°；
(2)
如图3，延长EF至G，使GF=EF，连接BG，AG，
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不妨设∠CDF=α，∠CBD=β，
由②得，△BFG≌△DFE，AB=AC，
∴BG=DE=CE，∠GBF=∠EDF=30°+α，
∵∠ACE=360°-∠ABC-∠ECD-∠BCD，∠BCD=180°-（180°-∠CBD-∠CDF），【出处：21教育名师】
∴∠ACE=360°-60°-30°-（180°-α-β）=90°+α+β，
∵∠ABG=∠ABC+∠CBD+∠GBF=60°+β+（30°+α）=90°+α+β，
∴∠ABG=∠ACE，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
故由②得，∠AEF=60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“倍长中线”辅助线．
17．已知在△ABC中，AB＝AC，在边AC上取一点D，以D为顶点，DB为一条边作∠BDF＝∠A，点E在AC的延长线上，∠ECF＝∠ACB
求证：（1）∠FDC＝∠ABD；
（2）DB＝DF；
（3）当点D在AC延长线上时，DB＝DF是否依然成立？在备用图中画出图形，并说明理由．
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【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）DB＝DF依然成立，理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的外角性质和角的和差即可得到结论；
（2）过D作DG∥BC交AB于G，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）过D作DG∥BC交A ( http: / / www.21cnjy.com )B于G，根据平行线的性质得到∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，
即∠BDF＋∠FDC＝∠A＋∠ABD，
∵∠BDF＝∠A，
∴∠FDC＝∠ABD；
（2）证明：过D作DG∥BC交AB于G，
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∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AD＝AG，
∴AB－AG＝AC－AD，
即BG＝DC，
∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，
∴∠DGB＝∠FCD，
在△GDB与△CFD中，
，
∴△GDB≌△CFD（ASA），
∴DB＝DF；
（3）解：DB＝DF依然成立，过D作DG∥BC交AB于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AD＝AG，
∴AG－AB＝AD－AC，
即BG＝DC，
∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，
∴∠DGB＝∠FCD，
∵∠ACB＋∠BCF＋∠FCD＝180°，
∴∠ACB＋∠BCF＋∠DGB＝180°，
∵∠DGB＝∠ABC．
∴∠ACB＋∠BCF+∠ABC＝180°，
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠BDF＝∠A，
∴∠BCF＝∠BDF，
∴∠CBD＝∠CFD，
∵∠GBD＝180°－∠ABC－∠CBD＝180°－∠FCD－∠CFD＝∠FDC，
∴∠GBD＝∠FDC，
在△GDB与△CFD中，
，
∴△GDB≌△CFD（ASA），
∴DB＝DF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21·世纪*教育网
18．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．21*cnjy*com
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
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【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
【详解】
解：（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ．
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（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
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【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）见解析；（3）或．
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得AC ( http: / / www.21cnjy.com )=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC= ( http: / / www.21cnjy.com )CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
【详解】
（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
∴△BDC的面积和△ADC的面积相等，
∵DE∥AC，
∴△ADC的面积和△AEC的面积相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等，
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，
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∵DE∥AB，
∴四边形BEDF1是平行四边形，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，DE∥AB，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
∴BE=DE，
∴四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2==，
故BF的长为或．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．21教育网
20．在已知，，且满足（是常数，且）
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（1）求、坐标；
（2）如图1，点是的一点，点是上一点，于，，若点是上一点，平分，证明：；
（3）点是轴正半轴上一点，过作于，，连接交轴于，若，求坐标．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或．
【分析】
（1）先对原式分段配方，然后根据偶次方的非负性求出m、n即可；
（2）如图：作轴，交轴于，交延长线于；然后证明，再证明，然后根据全等三角形的性质、三角形外角的性质、角的和差以及等腰直角三角形的性质即可证明；【版权所有：21教育】
（3）作轴于，然后分和两种情况解答即可
【详解】
解：（1）
∴
∴
∵，
∴，
将代入得
∴，；
（2）如图：作轴，交轴于，交延长线于
∴∠KCE+∠Q=90°，∠KBD+∠Q=90°，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴易证（AAS）
∴
∴（SAS）
∴
∵
∴
∵为外角
∴
∵
∴
∴在中，
∴；
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（3）
①作轴于
∵且
∴
∵于且
∴
∴在中，
∴（AAS）
∴，
∵
∴
∴在和中
∴（AAS）
∴
∴
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②∵，且
∴，
同①得（AAS）
∴，，∴
∴同①得（AAS）
∴
∴
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综上，或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
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