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专题01：一次函数综合专练20题（教师版）
一、单选题
1．如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1、2、3、4、5，分别过这些点作轴的垂线与三条直线、、相交，其中，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别把x=1，x=2，x=3，x=4，x=5代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可．
【详解】
解：如图，
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把x=1分别代入y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x得：AW=a+2，WQ=a+1-a=1，
∴AQ=a+2-（a+1）=1，
同理：BR=RK=2，CH=HP=3，DG=GL=4，EF=FT=5，
2-1=1，3-2=1，4-3=1，5-4=1，
∴图中阴影部分的面积是×1×1+×（1+2）×1+×（2+3）×1+×（3+4）×1+×（4+5）×1=12.5，
故选C．
【点睛】
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，梯形等知识点的理解和掌握，能根据题意求出各个部分的面积是解此题的关键．
2．如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意建立直角坐标系，作B关于l的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．
【详解】
解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，
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由图可写出l的函数解析式为y=-1，
设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，
解之可得：k=-1，b=1，
∴直线AC的函数为y=-x+1，
∴有，解之得：x=2，y=-1，
∴P点坐标为（2，-1），
故选B ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．
3．如图，点A的坐标为（0，1） ( http: / / www.21cnjy.com )，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．21教育网
【详解】
作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
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由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
考点：动点问题的函数图象
4．如图，在△ABC中，点O是∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据角平分线和平行证明△EBO和△OFC是等腰三角形,再由周长关系得ｙ＝８－ｘ,即可解题.
【详解】
解：∵点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点, EF∥BC,
∴∠OBC＝∠EOB, ∠OBC＝∠EBO,
∴△EBO是等腰三角形,
同理,△OFC是等腰三角形,即BE＝EO,CF＝OF,
∴△AEF的周长y＝AE＋EF＋AF＝AB＋AC,
∵△ABC的周长为8,BC=x,
∴y＝8－x,即x是关于y的一次函数,图像是递减的直线,
故选A
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用,中等难度,证明等腰三角形,找到函数关系是解题关键.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
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A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
【答案】B
【分析】
如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．
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∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x
∴设直线AF的解析式为y=x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴=0，
∴b=，
∴y=，
由，解得
∴
∴PJ的最小值为=2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的专题．21·世纪*教育网
6．小张、小王两个人从甲地出发，去 ( http: / / www.21cnjy.com )8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟．【版权所有：21教育】
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A．4 B．6 C．16 D．10
【答案】B
【分析】
由函数图象求出、解析式，再把代入解析式就可以求出小张、小王所用时间．
【详解】
解：由图象可知：
设的解析式为：，
经过点，
，
得，
函数解析式为：①，
把代入①得：，
解得：，
小张到达乙地所用时间为96（分钟）；
设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：②，
把代入②得：，
解得：，
则小王到达乙地的时间为小张出发后90（分钟），
小王比小张早到（分钟），
故选：B．
【点睛】
本题考查的一次函数的应用，关键是由图象求函数解析式．
7．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图（见解析），先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】
如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为FG的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
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【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用两点之间线段最短找出周长的最小值是解题关键．21cnjy.com
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．
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A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得．
【详解】
对于一次函数，
当时，，解得，即，，
当时，，即，，
由题意，设点P的坐标为，
则，
因此，周长为，
要使周长最小，则只需OP取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值，
又，
是等腰直角三角形，，
此时，
周长的最小值为，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确找出周长最小时，点P的位置是解题关键．21·cn·jy·com
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．2-1-c-n-j-y
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【答案】
【分析】
根据点A，，，…，都在直线上先求出，再根据点，，…都在直线上，求出，由在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，得到的横坐标为2，同理依次类推，得出 ，，，最后算出面积即可．21*cnjy*com
【详解】
解：当x=0时，，，
∴，
∵，
∴的横坐标为2，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，，
∴ ，，，
∴=，
=
=,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出规律．关键在于点在直线上，计算点的坐标和找出规律．
10．已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________
【答案】（，2）
【分析】
根据题意作出图形，求出AB＝2，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠OAC＝90°，即可得到点C的坐标．
【详解】
解：在中令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝，
∴A（，0），B（0，1），
∴，
∴∠BAO＝30°，
将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，
如图所示，则∠ABC＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∴∠OAC＝90°，
∴点C的坐标为（，2），
故答案为：（，2）．
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【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等知识，求出∠BAO＝30°，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
11．卤肉店老板小王准备到批 ( http: / / www.21cnjy.com )发市场购买牦牛肉和黄牛肉，总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉不少于黄牛肉质量的2倍，已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克44元，但小王在做预算时将这两种牛肉的价格记反了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉和黄牛肉的单价和数量均为整数，则小王实际购买这两种牛肉最多需花费______ 元．
【答案】2752
【分析】
设牦牛肉和黄牛肉的单价分别为每千 ( http: / / www.21cnjy.com )克x元和（44-x）元，购买牛肉牦牛肉和黄牛肉的数量分别为m千克和n千克；题意：mx+n（44-x）-[m（44-x）+nx]=224，可得x（m-n）=22（m-n）+112，
实际购买这两种牛肉的价格=mx+n（44-x）=x（m-n）+44n=22（m+n）+112，根据一次函数的性质即可解决问题.
【详解】
设牦牛肉和黄牛肉的单价分别为每千克x元和（44-x）元，购买牛肉牦牛肉和黄牛肉的数量分别为m千克和n千克；
由题意：mx+n（44-x）-[m（44-x）+nx]=224，
∴x（m-n）=22（m-n）+112，
∵实际购买这两种牛肉的价格=mx+n（44-x）=x（m-n）+44n=22（m+n）+112，
∵m+n≤120，
∴当m+n=120时，22（m+n）+112有最大值，最大值=2752（元），
答：小游实际购买这两种牛肉最多需要花费2752元．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、一次函数的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考填空题中的专题．
12．将正比例函数y＝kx ( http: / / www.21cnjy.com )（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．
【答案】
【分析】
分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【详解】
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向上平移个单位时，所得函数的解析式为，
如图示：
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与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为5，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向下平移个单位时，所得函数的解析式为，
如图示：
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与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为5，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
13．如图，在直角坐标xoy系中，点A ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.
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【答案】1
【详解】
分析：先求出直线AB的解析式，根据直线AB与直线CD的k值相等可得出它们平行，根据平行线间的距离处处相等可得出，即可得出答案.
详解：设直线AB的解析式为，
∵A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵直线CD的解析式为y=-x+3，
∴AB//CD，
∴，
∵点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），
∵BC=1，AO=2，
∴，
∴
故答案为1.
点睛：本题考查了一次函数的性质及求平面直角坐标系中三角形的面积.解题的关键在于利用转化思想将求△ABD的面积转化为求△ABC的面积的问题.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
14．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
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【答案】（1）C（-2，1）；（2）y=-2x-3；（3）（-2，-4）或（2，-2）或（-1，-1）
【分析】
（1）求出直线与轴，轴的交点、的坐标，利用题中线段的中点坐标公式建立方程求解即可；
（2）根据点、的坐标可得、的长，根据勾股定理求出，可得出，证明，根据相似三角形的性质可得的长，可得出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，则、、是等腰直角三角形，过点，作轴于，轴于，根据全等三角形的判定和性质求得、的长，即可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据线段的中点坐标公式可得点的坐标．
【详解】
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
；
（2）如图，
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，，
，，
在中，，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的表达式为，将代入得：，解得：，
直线的表达式为；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，
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，，，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
过点，作轴于，轴于，
，，
，
，，
，
，，
，
点的坐标，
同理点的坐标，
，
点的坐标，，即，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】
本题为一次函数的综合应用，涉及全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判断和性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．www.21-cn-jy.com
15．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
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【答案】（1）4；（2）（3，2）；（3）
【分析】
（1）一次函数与轴交于点，与轴交于点，求出点，坐标，利用三角形面积公式：计算即可；
（2）根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标；
（3）①先分析四边形中对边与不平行，证明同旁内角相加不是180度，即度．②再分析四边形中对边，由此得出．过，分别作，的垂线，垂足分别为，，由旋转得出△，解出坐标，代入，可得值．
【详解】
解：（1）因为直线，
令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2，
，，
，，
△的面积；
（2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
设直线A′B的解析式为y=kx-4，
把D（2，0）代入得0=2k-4，
解得k=2，
∴直线A′B的解析式为y=2x-4，
由，解得：或，
∴点A′的坐标是（3，2）；
（3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴．
①证明与不平行；
∵，在中，
令，则，
又，
则，
（由于在中，，即，
所以与不平行；
②当时，可得，
即，，
又，，
所以，
过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为，
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∵BC=，AB=8，OC=2，
∴AM==，
∴BM==，
∴，
由旋转易得△，
，，
又，
∴，
，，
又点在反比例函数图象上，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，三线合一，面积法，解题的关键是掌握函数图像上的点坐标满足函数关系式．
16．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
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（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4．
【分析】
（1）①先证明 AGF AGE， ( http: / / www.21cnjy.com )从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可；【出处：21教育名师】
（2）分三种情况：①当∠AFD是顶 ( http: / / www.21cnjy.com )角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可．21*cnjy*com
【详解】
（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴ AGF AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，
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∵，，
∴AE=12-x，
∵ AGF AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；
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综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图
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∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，
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∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，
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∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
17．在平面直角坐标系xOy中，若 ( http: / / www.21cnjy.com )P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．
①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为 ．
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（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；
（3）如图4，等边△DEF的 ( http: / / www.21cnjy.com )边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．
【分析】
（1）①由矩形的性质即可得出结果；
②由矩形的性质即可得出结果；
（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；
（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF＝OD＝，分两种情况：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+，2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣，2）；得出m的取值范围为2﹣≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵b＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：
∵点A的坐标为（1，2），
∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，
故答案为：6；
②如图2﹣2所示：
由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，
∴|b﹣1|＝4，
∴b＝5或b＝﹣3，
故答案为：5或﹣3；
（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，
∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，
∴正方形AGCH的边长为3，
当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：
CG＝3，
则C（4，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝kx+a，
则，
解得；，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；
当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：
CG＝3，
则C（﹣2，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，
则，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝x+1，
综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）∵点M的坐标为（m，2），
∴点M在直线y＝2上，
∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），
∴OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，
∴OF＝OD＝，
分两种情况：如图4所示：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（﹣2+，2）或（2﹣，2）；
∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（2﹣，2）或（﹣2+，2）；
∴m的取值范围为2﹣≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+；
综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．
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【点睛】
此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．
18．已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．21教育名师原创作品
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（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）先求出点M的坐标，从而可得OM的长，再根据直角三角形的性质可得OA的长，从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称性得出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得的长，然后根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可．
【详解】
（1）对于
当时，，则点的坐标为
设
∵
在中，，
则有
解得，即
∴点的坐标为
∵直线经过点
∴，解得
故直线的表达式为；
（2）点是点关于原点的对称点
点的坐标为
设直线上的点坐标为
则
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或
②当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或（与点重合，不能构成三角形，舍去）
③当时，是等腰三角形
则，解得
此时，点的坐标为
综上，点的坐标为点或．
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．2·1·c·n·j·y
19．直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，
(1)求△ABC的面积；
(2)在x轴上是否存在一点M，使得△MAB是等腰三角形？若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)如果在第二象限内有一点P，当△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值．
【答案】(1)
(2)，．，，，，，
(3)
【分析】
（1）根据一次函数求出、两点的坐标，根据两点之间的距离公式求出的长，过作于，根据等边三角形的性质及勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据点的坐标和的值，分别以为腰和底时，求出符合条件的的坐标即可；
（3）根据已知条件和三角形的面积公式得出、、的面积，再根据和的面积与的面积相等，即可求出的值．
(1)
解：如图1，过点作，
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当，；当，则，则，，，
，
过作于，
是等边三角形，
，
．
；
(2)
解：如图3，
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为等腰三角形，，，
当时，，
，；
当时，
，
，
，；
当时，
设，则，
，
，
解得：，
，
，，
当时，
，；
则满足条件的点有4个，，．，，，，，；
(3)
解：如图2，过点作轴，轴，交轴上一点，轴上一点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，，
，，，
，
当的面积与的面积相等时，，
解得：．
【点睛】
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
20．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
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(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)B（8，0）
(2)y=﹣2x+6
(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8
(4)y=（0＜x＜8）
【分析】
（1）对于一次函数，令和求出对应的与的值，确定出 及的长，即可确定出的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出的长，过作垂直于，由为角平分线，利用角平分线定理得到，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，设，由表示出，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，得出的坐标，即可求得直线的解析式；
（3）延长与轴交于点，利用得出△≌△，可得出，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，过作垂直于轴于点，利用三线合一得到为的中点，求出的长，即为的横坐标，将求出的横坐标代入直线解析式中求出对应的纵坐标，即为的长，以为底，为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；
（4）在三角形中，设，再由的长，利用勾股定理表示出，再由表示出，由三角形的面积可以由为底，为高来求出，也可以由为底，为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到与的函数关系式，同时求出的范围即为函数的定义域．
(1)
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
(2)
解：过点作，垂足为（如图1所示），
( http: / / www.21cnjy.com / )
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
(3)
解：延长交轴于点（如图2所示），
( http: / / www.21cnjy.com / )
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
(4)
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．
【点睛】
本题主要考查一次函数，涉及的知识有 ( http: / / www.21cnjy.com )：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高．
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专题01：一次函数综合专练20题（学生版）
一、单选题
1．如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1、2、3、4、5，分别过这些点作轴的垂线与三条直线、、相交，其中，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
3．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x ( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，在△ABC中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
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A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
6．小张、小王两个人从甲地出发， ( http: / / www.21cnjy.com )去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟．21cnjy.com
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A．4 B．6 C．16 D．10
7．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．www.21-cn-jy.com
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A． B． C．4 D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．2·1·c·n·j·y
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10．已知直线y= -+1与x轴、y轴分别交于点A、点B(O为坐标原点)，将△ABO绕着点B逆时针旋转60°后，点A恰好落在点C处，那么点C的坐标为___________2-1-c-n-j-y
11．卤肉店老板小王准备到批发市场购 ( http: / / www.21cnjy.com )买牦牛肉和黄牛肉，总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉不少于黄牛肉质量的2倍，已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克44元，但小王在做预算时将这两种牛肉的价格记反了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉和黄牛肉的单价和数量均为整数，则小王实际购买这两种牛肉最多需花费______ 元．21*cnjy*com
12．将正比例函数y＝kx（k是 ( http: / / www.21cnjy.com )常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．
13．如图，在直角坐标x ( http: / / www.21cnjy.com )oy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
14．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．21教育网
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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15．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．【版权所有：21教育】
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
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16．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
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（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
17．在平面直角坐标系xO ( http: / / www.21cnjy.com )y中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．21·世纪*教育网
（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．
①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为 ．
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（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；
（3）如图4，等边△DEF的边DE ( http: / / www.21cnjy.com )在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．www-2-1-cnjy-com
18．已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．21教育名师原创作品
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（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
19．直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，
(1)求△ABC的面积；
(2)在x轴上是否存在一点M，使得△MAB是等腰三角形？若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由．【出处：21教育名师】
(3)如果在第二象限内有一点P，当△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值．
20．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
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(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．21*cnjy*com
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