【玩转压轴题】考点02:代数方程综合专练20题(学生版+教师版)-2021-2022学年八年级数学下学期期末压轴题精选汇编(上海专用)

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名称 【玩转压轴题】考点02:代数方程综合专练20题(学生版+教师版)-2021-2022学年八年级数学下学期期末压轴题精选汇编(上海专用)
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文件大小 2.5MB
资源类型 试卷
版本资源 沪教版
科目 数学
更新时间 2022-06-09 12:57:18

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02:代数方程综合专练20题(学生版)
一、单选题
1.若关于x的分式方程的解为正数,且关于x的不等式组有解且恰有6个整数解,则满足条件的所有整数a的值之和是( )21世纪教育网版权所有
A.4 B.0 C.-1 D.-3
2.若关于x的方程无解,则m的值为  
A. B. C. D.
3.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的分式方程+=-8的解为正数的所有整数a的值之和为( )21cnjy.com
A.11 B.15 C.18 D.19
4.从,,,0,4,3这六个数中,随机抽一个数,记为m,若数m使关于x的不等式组的解集为,且关于x的分式方程有非负整数解,则符合条件的m的值的个数是  21·cn·jy·com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.某市政工程队准备修建一条长1200米的污 ( http: / / www.21cnjy.com )水处理管道.在修建完400米后,为了能赶在讯期前完成,采用新技术,工作效率比原来提升了25%.结果比原计划提前4天完成任务.设原计划每天修建管道x米,依题意列方程得( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
6.如果,那么的值是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.4
7.一个容器盛满纯药液千克,第一次倒出一部分药液后加满水,第二次又倒出同样多的药液,再加满水,此时容器内的纯药液利下千克,那么每次倒出的药液是( )2·1·c·n·j·y
A.千克 B.千克 C.千克 D.千克
8.已知且,那么的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
9.用换元法解方程时,如果设,那么得到关于的整式方程为_____.
10.已知关于的方程的解是正数,则的取值范围是______.
11.当m= __________ 时,关于x的分式方程没有实数解.
12.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和,试写出符合要求的方程组________(只要填写一个即可).21教育网
13.2022年北京冬奥会已经圆满闭幕,但 ( http: / / www.21cnjy.com )在冰雪项目中,高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注,它的生产实际上是一个科学技术难题:要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水,接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰,再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末,最后,通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”.现有若干千克自然水和100千克纯冰,准备将它们加工成人造雪,现有8名技术人员,分为甲、乙两组同时工作,甲组负责自然水提纯后加工成纯冰,乙组负责将纯冰加工成人造雪.已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰,乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪(不考虑冰雪融化及其他损耗);若加工t小时(t为整数)后,纯冰质量与人造雪的质量之比为1:8;又加工了几个小时后,自然水全部使用完;接着继续将所有纯冰都加工成人造雪,一共加工产生了800千克人造雪;当自然水正好全部使用完,此时纯冰质量与人造雪质量之比为___________.
14.若正数a,b,c满足abc1,,则______.
15.如果,那么的值为_________________.
三、解答题
16.解下列方程组:
(1)
(2)
17.若分式与的和为,则x的值为多少?
18.甲、乙两位采购员同时去一家饲料公司买 ( http: / / www.21cnjy.com )两次饲料,两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料,购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克,【来源:21·世纪·教育·网】
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
19.在平面直角坐标系中,如图为一根木料 ( http: / / www.21cnjy.com )的横截面示意图,其中的曲线AB是一段反比例函数图象,线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°,端点B的坐标是(80,20).21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求该反比例函数解析式.
(2)求线段AB所在直线的解析式.
(3)木工想把该木料分割成完全相同的两部分.试求该横截面上的分割线长.
20.某超市销售A、B两款保温杯 ( http: / / www.21cnjy.com ),已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元,用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同.www-2-1-cnjy-com
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元?
(2)由于需求量大,A,B两款保温杯很快售 ( http: / / www.21cnjy.com )完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半,若两款保温杯的销售单价均不变,进价均为30元/个,应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元?2-1-c-n-j-y
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专题02:代数方程综合专练20题(教师版)
一、单选题
1.若关于x的分式方程的解为正数,且关于x的不等式组有解且恰有6个整数解,则满足条件的所有整数a的值之和是( )www-2-1-cnjy-com
A.4 B.0 C.-1 D.-3
【答案】C
【详解】
分析:根据分式方程的解为正数求a的范围,注意使x=2的a的值;由不等式组有6个整数解求a的范围,综合得到a的范围后,取整数值求解.【出处:21教育名师】
详解:把分式方程去分母,整理得,
(a+3)x=8,当a≠-3时,x=,
所以>0,解得a>-3.
因为当x=2时,a=1,所以a>-3且a≠1.
解不等式组得,a≤x<5.
因为有解且恰有6个整数解,所以-2<a≤-1.
则满足条件的所有整数a的值是-1,和是-1.
故选C.
点睛:由分式方程的解的情况求字母系 ( http: / / www.21cnjy.com )数的取值范围,一般解法是:①根据未知数的范围求出字母的范围;②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中,求出对应的字母系数的值;③综合①②,求出字母系数的范围.
2.若关于x的方程无解,则m的值为  
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先去分母方程两边同乘以,根据无解的定义即可求出m.
【详解】
解:方程去分母得,,
则,
当分母即时,方程无解,
所以即时方程无解,
故选B.
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件,是需要识 ( http: / / www.21cnjy.com )记的内容.分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.2·1·c·n·j·y
3.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的分式方程+=-8的解为正数的所有整数a的值之和为( )
A.11 B.15 C.18 D.19
【答案】A
【分析】
解不等式组得到a的范围,再把分式方程化简,表示为方程的解,再根据方程的解为正数,算出a的各值即可.
【详解】
由不等式组
得,
∵有且只有4个整数解,
∴-1<,
解得4<,
解分式方程+=-8,
得=,
∵解为正数
∴8-a>0且,即a<8且,
∴a=5,6,即所有整数a的值之和为5+6=11,
故选A.
【点睛】
此题主要考察含参不等式组的解法与分式方程的解法的综合问题,需要熟练运用才可以解出此题.
4.从,,,0,4,3这六个数中,随机抽一个数,记为m,若数m使关于x的不等式组的解集为,且关于x的分式方程有非负整数解,则符合条件的m的值的个数是  21世纪教育网版权所有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【分析】
根据分式方程有非负整数解,即可从,,,0,4,3这六个数中找出符合要求的m的值,综上即可得到答案.21*cnjy*com
【详解】

解不等式得:,
解不等式得:,
该不等式组的解集为:,

即m取,,,0;

方程两边同时乘以得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:,
该方程有非负整数解,
即,,且为整数,
取,3,
综上:m取,即符合条件的m的值的个数是1个,
故选A.
【点睛】
本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解,正确掌握解不等式组的方法,解分式方程的方法是解题的关键.21cnjy.com
5.某市政工程队准备修建一 ( http: / / www.21cnjy.com )条长1200米的污水处理管道.在修建完400米后,为了能赶在讯期前完成,采用新技术,工作效率比原来提升了25%.结果比原计划提前4天完成任务.设原计划每天修建管道x米,依题意列方程得( )21*cnjy*com
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
设原计划每天修建管道x米,则原计划修建天数为天.实际前面400米,每天修建管道x米,需要天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x (1+25%)米,需要天. 根据实际天数比原计划提前4天完成任务即可得出数量关系.
【详解】
设原计划每天修建管道x米,
根据题意的– =4,
- - =4,
- =4,
选项B正确.
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用,解题的关键是首先弄清题意,根据关键描述语,找到合适的等量关系;难点是得到实际修建的天数.
6.如果,那么的值是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.4
【答案】A
【分析】
先将方程变形为,再利用完全平方公式化为,从而求得.
【详解】
解:方程可变形为


故选A.
【点睛】
本题考查了解分式方程中整体思想的运用,对方程进行变形然后利用完全平方公式解题是关键.
7.一个容器盛满纯药液千克,第一次倒出一部分药液后加满水,第二次又倒出同样多的药液,再加满水,此时容器内的纯药液利下千克,那么每次倒出的药液是( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.千克 B.千克 C.千克 D.千克
【答案】B
【分析】
设每次倒出药液升,根据倒出两次后容器内的纯药液剩下28千克,即可得出关于的一元二次方程,解之即可得出结论.
【详解】
解:设每次倒出药液升,第一次倒出后剩升药液,第二次倒出后还剩升药液,即列方程为:,
解得:,(不合题意,舍去).
故选:.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
8.已知且,那么的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【分析】
根据,用①+②可得③,再由②可得x=,所以得,再代入③可得到,求出y的值,再把y的值代入②求出x的值,即可得出答案.
【详解】
解:
由①+②可得③,
由②可得x=,
∴,把代入③得:


∵x>0,y>0,
∴y=或y=,
当y=时,代入②得x=-不合题意,舍去;
∴y=,当y=时代入②得x=,
∴=(+)2=3.
故选:B.
【点睛】
本题考查解二元二次方程组,利用加减消元和代入消元法进行解答,解题关键在计算过程中运用正确的方法进行解答.
二、填空题
9.用换元法解方程时,如果设,那么得到关于的整式方程为_____.
【答案】
【分析】
将分式方程中的换,则=,代入后去分母即可得到结果.
【详解】
解:根据题意得:,
去分母得:.
故答案为:.
【点睛】
此题考查了换元法解分式方程,用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单化.21教育名师原创作品
10.已知关于的方程的解是正数,则的取值范围是______.
【答案】且
【分析】
先对分式方程进行通分,因式分解后得 ( http: / / www.21cnjy.com )出m与x的关系,由于分式方程的解为正数,且要保证分式方程有意义,故可知x的取值范围,再利用m与x的关系,求出m的取值范围.
【详解】
等式左边为:
等式右边:
左边等于右边则有:
解,得:,即
要满足方程得解为正数,即,且必须保证分式方程有意义,故且,综合解得分式方程的解为且,
故且,
解得且,即为m的取值范围.
【点睛】
本题考查分式方程的解法,要想分式方程有解,前提必须保证分式有意义(即分母不为0),再根据得到的关系式求出m的取值范围.
11.当m= __________ 时,关于x的分式方程没有实数解.
【答案】4或-6
【分析】
先将分式方程化为整式方程,根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2,再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值.
【详解】
解:方程变形为,
方程两边同时乘以去分母得:x+m+3+x-3=0;
整理得:2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【点睛】
分式方程无解问题或增根问题 ( http: / / www.21cnjy.com )可按如下步骤进行:①根据最简公分母确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.但也要注意,有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根,也是导致分式方程没有实数根的一种情况,所以要考虑全面,免得漏解.
12.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和,试写出符合要求的方程组________(只要填写一个即可).
【答案】
【分析】
从方程组的两组解入手,找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程,倍数关系为二元一次方程,联立方程组即可.
【详解】
解:根据方程组的解可看出:xy=8,y=2x,
∴符合要求的方程组为.
【点睛】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系(和差关系或倍数关系等)来表示方程组的解.
13.2022年北京冬奥会已经圆 ( http: / / www.21cnjy.com )满闭幕,但在冰雪项目中,高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注,它的生产实际上是一个科学技术难题:要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水,接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰,再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末,最后,通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”.现有若干千克自然水和100千克纯冰,准备将它们加工成人造雪,现有8名技术人员,分为甲、乙两组同时工作,甲组负责自然水提纯后加工成纯冰,乙组负责将纯冰加工成人造雪.已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰,乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪(不考虑冰雪融化及其他损耗);若加工t小时(t为整数)后,纯冰质量与人造雪的质量之比为1:8;又加工了几个小时后,自然水全部使用完;接着继续将所有纯冰都加工成人造雪,一共加工产生了800千克人造雪;当自然水正好全部使用完,此时纯冰质量与人造雪质量之比为___________.
【答案】
【分析】
设有x人在甲组,有(8-x)人在乙组,根据题意列出方程即可确定x与t的值,再计算出纯冰质量与人造雪质量,求比值即可.
【详解】
解:设有x人在甲组,有(8-x)人在乙组,
则t小时后,纯冰的质量为:5tx+100-10t(8-x)=15tx-80t+100(千克),
∴(15tx-80t+100):=1:8,
化简得:,其中,x、t均为正整数,且x<8,
∴t=8,x=5,
故甲组有5人,乙组有3人.
加工800千克人造雪,需要纯冰800÷2=400千克,
原有100千克,甲组需将600千克的水转化为300千克的冰,
甲组生产纯冰的总时间为:600÷10÷5=12小时,
此时乙组生产的人造雪质量为:12×3×20=720千克,
还剩400-360=40千克的冰未加工,
∴此时纯冰质量与人造雪质量之比为40:720=,
故答案为:.
【点睛】
本题属于应用类题目,解题关键是根据题意找出题目中的等量关系列出方程求解.
14.若正数a,b,c满足abc1,,则______.
【答案】
【分析】
计算,然后整体代入求解即可;或者把已知条件组成方程组,解方程组求出,,代入计算即可.
【详解】
解:解法一:因为
所以,
解得.
故答案为:.
解法二:由,得,
因此,.
由此可得,.
所以
故答案为:.
【点睛】
本题考查了分式的运算,解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算,注意运用整体思想求解.
15.如果,那么的值为_________________.
【答案】
【分析】
方程组的三个方程轮循环对称,可把组中的三个方程相加,利用完全平方公式和非负数的和先求出、、的值,再计算.【来源:21cnj*y.co*m】
【详解】
解:
①②③,得,
整理,得
所以

因为,,,
所以,,
所以,,,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点.观察题目,发现三个方程的特点是解决本题的关键.
三、解答题
16.解下列方程组:
(1)
(2)
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)把原方程组化为:或再分别解这两个方程组可得答案.
(2)把两个方程相加得,再代入求得,联立求解并检验可得答案.
【详解】
解:(1)因为
把化为:,
即或
原方程组化为:或
因为
把化为,把代入中,
得,所以 ,
所以方程组的解是 或
同理解得方程组的解是或
所以原方程组的解是:
(2)因为
所以①+②得:,所以,把代入②
得:,
所以,解得:
经检验是原方程组的解,所以原方程的解是
【点睛】
本题考查的是二元二次方程组与分式方程组,掌握降次与消元是解题关键,分式方程检验是必须步骤.
17.若分式与的和为,则x的值为多少?
【答案】
【分析】
根据题意得到,,若设y=,可用换元法转化为关于y的分式方程,先求y,再求x,结果需检验;
【详解】
解:由题可得,,
设y=,则原方程可化为:,
整理得,,
解得:,
当时,
则,
解得;
经检验得,都是方程的解;
当时,,
∴,
经检验得,都是方程的解;
【点睛】
本题主要考查了换元法解分式方程,掌握换元法解分式方程是解题的关键.
18.甲、乙两位采购员同时去 ( http: / / www.21cnjy.com )一家饲料公司买两次饲料,两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料,购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克,21·世纪*教育网
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
【答案】(1),;(2)乙的购货方式更合算,理由见详解.
【分析】
(1)根据平均单价求出甲、乙所购饲料的平均单价即可;
(2)根据作差法比较两单价的大小即可.
【详解】
解:(1)∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克(m,n是正数,且m≠n),
∴甲两次购买饲料的平均单价为(元/千克),
乙两次购买饲料的平均单价为(元/千克);
(2)甲、乙两种饲料的平均单价的差是:
由于m、n是正数,因为m≠n时,也是正数,

因此乙的购货方式更合算.
【点睛】
本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
19.在平面直角坐标系中,如图为一根木料的 ( http: / / www.21cnjy.com )横截面示意图,其中的曲线AB是一段反比例函数图象,线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°,端点B的坐标是(80,20).2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求该反比例函数解析式.
(2)求线段AB所在直线的解析式.
(3)木工想把该木料分割成完全相同的两部分.试求该横截面上的分割线长.
【答案】(1);
(2);
(3)分割线长为
【分析】
(1)设反比例函数解析式为:,根据题意列一元一次方程并求解,即可得到答案;
(2)过点A作轴,过点B作轴,交BC于点C,根据题意,推导得,设点A的横坐标为m,根据坐标和等腰直角三角形的性质,列分式方程并求解,得m,再根据一次函数的性质,通过列二元一次方程组并求解,即可得到答案;【版权所有:21教育】
(3)AB中点F,连接,结合(1)和(2)的结论,得木料的横截面示意图关于所在直线对称,根据一次函数的性质,推导得所在直线解析式,从而得点E坐标,根据勾股定理计算,即可得到答案.
(1)
设反比例函数解析式为:
∵端点B的坐标是(80,20)


∴反比例函数解析式为:
(2)
如图,过点A作轴,过点B作轴,交BC于点C
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵轴轴

∵线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°,即

∴为等腰直角三角形

设点A的横坐标为m
根据题意,得

∴,


∴或(舍去)
经检验,是的根

设线段AB所在直线的解析式为:


∴线段AB所在直线的解析式为:;
(3)
如图,AB中点F,连接,结合(1)和(2)的结论,得木料的横截面示意图关于所在直线对称,即所在直线该木料分割成完全相同的两部分,所在直线和反比例函数相交于点E
( http: / / www.21cnjy.com / )
设所在直线为
∵,,



∴所在直线为
得,即点

∴分割线长为:.
【点睛】
本题考查了反比例函数、等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、一次函数、轴对称、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程、勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、轴对称的性质,从而完成求解.
20.某超市销售A、B两款保温杯,已知 ( http: / / www.21cnjy.com )B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元,用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同.21教育网
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元?
(2)由于需求量大,A,B两款保温杯很快售 ( http: / / www.21cnjy.com )完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半,若两款保温杯的销售单价均不变,进价均为30元/个,应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元?21·cn·jy·com
【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元,B款保温杯销售单价为50元
(2)购进A款40个,B款80个能使销售利润最大,最大利润2000元
【分析】
(1)根据题意可以列出相应的分式方程,从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价,注意分式方程要检验;
(2)根据题意可以得到利润与购买A款保 ( http: / / www.21cnjy.com )温杯数量的函数关系,然后根据A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半,可以求得A款保温杯数量的取值范围,再根据一次函数的性质,即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元.www.21-cn-jy.com
(1)
解:设A款销售单价为x元,则B款销售单价为()元,
根据题意得:,
解得,经检验,是原方程的解且符合题意,
∴,
答:A款保温杯销售单价为40元,B款保温杯销售单价为50元;
(2)
解:设购进A款保温杯m个,则购进B款保温杯(120-m)个,总利润为W元,
∵,
∴,
根据题意得:,
∵,
∴W随m的增大而减小,
∴时,W最大,且,此时,
答:购进A款40个,B款80个能使销售利润最大,最大利润2000元
【点睛】
本题考查分式方程及一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列方程组和函数关系式.
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