选择性必修第一册2.2直线的方程同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．若直线的斜率为2，且在轴上的截距为1，则直线的方程为．
A． B． C． D．
2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A． B．1 C．或 D．
3．直线在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A． B． C． D．
4．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
5．过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式 （ ）
A． B． C． D．
6．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
7．直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
10．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为
A． B． C． D．
11．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题
13．不论为任何实数，直线恒过一定点，该定点坐标为___________.
14．1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若的顶点都在圆上，边AB所在直线方程为，且，则的欧拉线方程为________________．
15．已知两点A（3，2），B（8，12），则直线AB的一般式方程为________
16．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________.
17．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
三、解答题
18．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
19．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
20．已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.
（1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.
21．设直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据已知条件可求直线的点斜式方程.
【详解】
直线的点斜式方程为，故选D.
本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.
2．D
将直线表示为截距式方程，根据截距相等得到关于的方程，解出即可．
【详解】
因为直线不过，截距不是0，
故直线可化为：，
若直线在两坐标轴上的截距相等，
则，解得：，
故选：D．
本题考查直线的截距，考查直线的一般方程与截距式方程的转化，属于基础题.
3．D
将方程化为截距式方程，利用截距式的特征求解即可.
【详解】
将方程化为截距式得，
从而可知直线在x轴，y轴上的截距分别为，
故截距之和为．
故选：D
本题主要考查直线的截距式方程的特征及应用，属于基础题.
4．B
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
5．A
由题意利用点斜式求直线的方程．
【详解】
解：过点且与直线平行的直线方程式为，
即，
故选：．
本题主要考查用点斜式求直线的方程,考查直线与直线平行条件的应用，属于基础题．
6．B
根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】
因为两条直线互相垂直，则，得.
故选：B
7．D
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
8．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
9．A
根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】
因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
10．A
先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】
由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故选A.
一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.
11．B
直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围.
【详解】
直线过定点，作出图像如下图所示：
，，直线的斜率为，
若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即.
故选：B
12．A
设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】
设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立 解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
13．
变换直线方程得到，得到，解得答案.
【详解】
，即，
，解得，故直线过定点.
故答案为：.
14．
首先理解欧拉线的定义，再根据题意得到欧拉线过的点与斜率即可求得直线方程.
【详解】
由题意可得的欧拉线过原点且与直线垂直，所以欧拉线方程的斜率为2，所以的欧拉线方程为．
故答案为：.
15．2x－y－4=0
先求得直线的斜率，然后由点斜式求得直线的方程，并转化为一般式.
【详解】
依题意，所以直线的方程为，化简得.
故答案为：
本小题主要考查由直线上两点坐标求直线方程，属于基础题.
16．
设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，求出求直线的斜率为，利用点斜式求出直线方程，化为一般式即可.
【详解】
设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，
由，且，所以，
即所求直线的斜率为，
又该直线经过点，
故所求直线方程为：，即.
故答案为：.
17．
根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】
解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
本题考查直线的点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.
18．（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.
（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；
（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.
【详解】
（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).
因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，
即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.
（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.
因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.
因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，
即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.
本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.
19．(1) ； (2)
(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】
（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
20．（1）或；（2）
（1）讨论和两种情况即可求出；
（2）设出直线方程，求出截距，即可表示出面积，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1），定点，
直线在轴上的截距相等，
若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即，
若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即，
综上，直线的方程为或；
（2）由题可得直线斜率存在，设为，可得，
则直线l的方程为，
令，得，令，可得，
则三角形面积，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
三角形面积的最小值为，
此时直线l的方程为，即
本题考查截距式方程的应用，解题的关键是正确理解截距式方程，注意考虑过原点的情况，这也是容易漏掉的地方.
21．（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）.
（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；
（2）先求A,B坐标且确定的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定的值，最后求周长以及直线方程；
（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定的值，再求直线方程.
【详解】
解：(1)由得，
则，解得，
所以不论为何值，直线必过一定点；
(2)由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号.
，，
的周长为；
直线方程为.
(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，
即，均为正整数，而a也为正整数，
所以直线的方程为.
本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
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