选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0 B．y＋2x－1＝0 C．.y＋2x＋1＝0 D．2y＋x＋1＝0
3．已知点点，则为　　
A．4 B．2 C． D．
4．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
6．过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．直线，直线与平行且经过点，则，之间距离的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
14．已知过点的直线的斜率为，则等于_________.
15．直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.
16．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________．
三、解答题
17．求两条平行直线与间的距离．
18．已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
19．已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是．
（1）求的值；
（2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程．
20．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使；
（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．
21．已知三个顶点的坐标分别为.
（1）求边中线所在直线的方程；
（2）求的面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
2．A
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.
【详解】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
3．C
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选C．
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
4．B
把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】
由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
5．C
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
6．B
由， 求得交点，再根据所求直线与垂直，得到斜率，写出直线方程.
【详解】
由，
解得，
所以交点为，
又所求直线与垂直，
所以，
所以所求直线方程为：，
即，
故选：B
本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．C
根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.
【详解】
直线与直线平行，
则，且，
求得，两直线即为直线与直线，
它们之间的距离为，
故选：C．
8．B
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
9．C
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
10．B
判断出直线恒过的定点的坐标，则即为所求距离的最大值.
【详解】
直线，也即，恒过定点；
显然若直线平行于且过点，则之间距离的最大值为.
又.
故选：.
11．A
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
12．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
13．或
点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】
点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线的方程为:；
（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
14．
根据斜率公式，求得，再结合平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，过点，的直线斜率为，解得，
即，所以.
故答案为：.
本题主要考查了斜率公式的应用，以及平面上两点间的距离的计算，其中解答中熟记直线的斜率公式和平面上两点间的距离公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
15．
先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.
【详解】
设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.
联立
即解得即.
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
本题考查中点坐标公式，直线的交点，直线的方程，是中档题.
16．或．
当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程.
【详解】
解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率，
此时直线l的方程为，即，
若直线l经过AB的中点时，点，，
则AB中点的坐标为，
当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是，
综合可得：直线l的方程为：或，
故答案为：或．
本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解.
17．
由条件根据两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线3x﹣2y﹣1＝0与3x﹣2y+1＝0间的距离．
【详解】
解：两条平行直线3x﹣2y﹣1＝0与3x﹣2y+1＝0间的距离为 ．
18．（1）或；（2）．
(1)分直线斜率存在与不存在设出的方程，再按点到直线距离列式计算即可得解；
(2)设出直线与两条已知直线的交点坐标，结合已知条件列出方程组求解即可作答.
【详解】
(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足原点到直线的距离为2，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
于是得，解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
(2)设直线与直线交于点，与直线交于点
因被点平分，即，，则，，
因，则，解得，，
即，直线的斜率是，直线l方程为，即，
所以直线的方程为：.
19．（1）；（2）或．
（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：（1）即，
与的距离．
．
，．
（2）直线与的交点，由：，解得所以交点坐标．
当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：．
点到直线的距离为3，
可得：，
解得，
所求直线方程．
当直线的斜率不存在时，，满足题意．
所求直线方程为：或．
本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力，属于中档题．
20．（1）；（2）；（3）．
（1）根据题意，求出点A关于直线l的对称点C的坐标，反射光线为直线CB，两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
（2）点是线段AB的垂直平分线与l的交点，求出线段AB的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
（3）设，整理之后为，转化为求的最小值，进而转化为AB的中点D到直线l的距离的平方求解．
【详解】
（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，
因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即M坐标为．
因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，
所以，，
所以
根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，
由直线的两点式方程得：
直线BC方程为，
即反射光线所在直线的方程为
设线段AB的垂直平分线为m，因为，
所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，
所以点P为直线l与m交点，
由，的坐标可知，
线段AB中点，直线AB斜率为，
所以其垂直平分线m斜率，
因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为
，即．
与直线l的方程联立
解方程组得P点坐标为
设点Q坐标为，令，
则
，
当且仅当最小时，u取得最小值.
即点Q到线段AB中点D距离最小，
因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，
此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得
．
所以．
21．（1）；（2）.
（1）求出边的中点为M ，即可求出，用点斜式方程即可求解；
（2）先求出线段BC和A到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】
（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.
∴直线的方程为，即，
∴边中线所在直线的方程为.
（2）∵，
∴.
由得直线的方程为，
∴A到直线的距离，
∴.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页