选择性必修第一册3.1椭圆 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1椭圆 同步练习
一、单选题
1．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
7．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
8．已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．设椭圆(m>0)的左焦点为F，点P在椭圆上且在第一象限，直线PF与圆相交于A.B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则直线PF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
13．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
14．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题
16．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为__千米.
17．离心率为，且过点(2，0)的椭圆的标准方程为________
18．如图所示，已知是椭圆()的左焦点，是椭圆上的一点，轴，(为原点)，则该椭圆的离心率是________.
三、解答题
19．如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
20．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，的平分线交轴于点，求证轴.
22．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.
【详解】
依题意可知,即,
又,
所以该椭圆的离心率.
故选:B
本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.
2．A
由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】
依题意可得，解得，
故的方程是.
故选：A.
本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．A
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
4．B
先求出方程表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】
解：若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
5．D
首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】
因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
6．C
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得，利用对称性，，其它也配对计算可得结论．
【详解】
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知，．
同理，可知，．
又，．
故选：C．
7．D
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】
由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
8．B
设点，，，求出，由把用表示，从而上的范围得的取值范围．
【详解】
设点，，，则，∴.又∵，∴，
故选：B.
结论点睛：本题考查直线与椭圆位置关系。在椭圆中，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上不同于的点，则（斜率存在时）．
9．C
设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
10．D
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
11．A
设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】
解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
12．B
取中点，可得也为中点，可得，设，根据，可得，再利用等面积可求点坐标，即可求出斜率.
【详解】
取中点，由A，B是线段PF的两个三等分点可得也为中点，
连接，则，
设为右焦点，为中点，，，
设，又，
由椭圆定义，
在中，，则可得，
则，
即，即，解得，代入椭圆可得，
则直线PF的斜率为.
故选：B.
关键点睛：解决本题的关键是得出，然后利用焦点三角形的相关性质建立关系求解.
13．C
由题意，点P是以为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体的棱的交点，进而即可求解．
【详解】
解：正方体的棱长为1，
，
，
点在以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆上，
在正方体的棱上，
是椭圆与正方体的棱的交点，
所以满足条件的点在棱BC，AB，，，，上各有一点，共有6个点．
故选：C．
14．A
延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.
【详解】
如图，
延长与交于点，则是的角平分线，
由可得与垂直，
可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，
则为的中位线，故，
由于，所以，
所以，
问题转化为求的最值，
而的最小值为，的最大值为，即的值域为，
故当或时，取得最大值为
，
当时，在轴上，此时与重合，
取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，
故选：A.
该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.
15．A
设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范围即可.
【详解】
由椭圆方程，知，
，设右焦点为，即
设,，
由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为
由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，
所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，
联立方程，消去x得：
由韦达定理得，，
令，则，，则
，当且仅当，即时，等号成立，
故三角形ABF面积最大值为
故选：A
关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程在椭圆上一点的切线方程为，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.
16．
设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，根据已知条可得出关于、、的等式，求出的值，即可得解.
【详解】
设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，
两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.
故答案为：85.
17．或
按椭圆焦点在x轴上和在y轴上分类计算即可得解.
【详解】
依题意，点(2，0)是椭圆的顶点，
设椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则有，
当椭圆焦点在x轴上时，则a=2，，，椭圆的标准方程为，
当椭圆焦点在y轴上时，则b=2，由得 ，椭圆的标准方程为，
所以所求椭圆的标准方程为或.
故答案为：或
18．
由三角形相似可得，从而可知，再结合即可求出离心率.
【详解】
，又与相似，则，
解得，又得.
故答案为: .
19．
根据垂直平分线以及椭圆的定义即可求出动点P的轨迹方程．
【详解】
设，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以，
即有，所以点P的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则，，，故动点P的轨迹方程为．
20．（1）；（2）存在点，使得为定值.
（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】
（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）利用焦距为，以及点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，结合 ，即可得到椭圆方程。
（2）已知中点，利用点差法得出直线AB斜率，即可得到方程，要证轴，结合对称性，证明 即可，
【详解】
（1）依题意有，，
解得，，故椭圆方程为
（2）设，，则，.
两式相减得，又中点为，
，代入上式有，即.
所以的直线方程
消去得
.
，.
.
轴.
解法二：同上，
，，
，，
即，，，.
轴.
22．(1)；(2)证明见解析.
(1)由的最大值为确定出点P的位置，探求出b与半焦距c的关系即可得解；
(2)切线MN斜率不存在时，可得，切线MN斜率存在，设出其方程，再与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即可得解.
【详解】
(1)当点P在短轴端点处时，最大，而的最大值为，则有，，
所以所求椭圆的标准方程为；
(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为或，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为，
由(1)可得，，于是得，即，
过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为，则有，即，
由消去y得：，
显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设，，
，而，，
于是得
，
则有，
综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有，
所以，以为直径的圆过点O.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页