选择性必修第一册3.3抛物线 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
2．抛物线的准线被圆截得的线段长为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如果抛物线的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点A满足，则以点A为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
13．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（ ）
A．2 B． C．3 D．4
14．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．若直线经过抛物线的焦点，则______．
17．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为_________．
18．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
三、解答题
19．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
20．已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于 两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
21．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.
（1）求；
（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
22．已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】
抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，
则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
2．B
先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果.
【详解】
因为抛物线的准线方程为，
圆整理得，则圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
因此被圆截得的弦长为.
故选：B.
本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型.
3．B
由抛物线的定义结合已知可得直线的倾斜角为45°，进而求出点坐标，再由抛物线定义结合的值求解.
【详解】
过作准线的垂线，垂足为，则，
由，得直线的倾斜角为45°．
设，由，得，
．又，，．
故选B.
4．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
5．C
由题设可得抛物线E为，直线为，联立方程应用韦达定理、弦长公式求，由求，结合得到椭圆参数的齐次方程求离心率即可.
【详解】
由题设知：，，且抛物线E为，
∴直线为，联立抛物线方程有，
整理得：，则，即，
令且，则，
∴，
∴，
令，如上图易知：，即，可得，
∴，又，
∴，整理得，而，
∴，则.
故选：C.
关键点点睛：由，应用弦长公式求，根据求，进而得到齐次方程求离心率.
6．D
结合抛物线的知识确定正确答案.
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
7．B
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
8．B
由抛物线的标准方程及性质，直接求解.
【详解】
由抛物线方程可知，
故准线方程为：.
故选：B.
9．C
利用抛物线的定义结合梯形中位线公式得到M到y轴距离，当三点共线时即得到M到y轴距离的最小值．
【详解】
解：抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，
设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为,
所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,
此时三点共线，，，
则点M到y轴的最短距离为2，
故选：.
10．D
结合抛物线的知识确定正确答案.
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
11．D
分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】
如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
12．B
先利用抛物线定义求得，得到点A的横纵坐标，再利用几何法求圆的弦长即可.
【详解】
由抛物线，可得，
由抛物线定义可得，则，，
则以点A为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.
故选：B.
13．C
设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出，即得解.
【详解】
设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，
则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，
∵M到y轴距离为1，
∴，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．
故选：C．
本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．D
由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
15．C
求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】
抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
16．
先将抛物线的方程化为标准方程得，再根据题意求解即可得答案.
【详解】
解：抛物线方程可化为，
所以焦点在y轴上，
又直线经过焦点，
所以焦点为，
因此，解得．
故答案为：
本题考查抛物线的标准方程求焦点，是基础题.
17．
由抛物线的准线与圆相切，可以求出，设直线方程为，则直线方程为，根据两直线分别与抛物线和圆相切可求出的范围，分别求出弦长和，将表示成关于的函数，对其求导即可求得取最大值时的值，进而可得此时直线的方程.
【详解】
由可得圆心，半径，
由抛物线可得准线方程为：，
因为抛物线的准线与圆相切，
所以，解得：或，
因为，所以，
所以抛物线方程为，
设直线方程为，则直线方程为，
对于，令可得或，
因为直线与圆相交，所以，可得，
又因为直线与抛物线相交，所以，即，所以，
由可得，，所以，
圆心到直线：的距离为，
所以弦长，
所以，
令，
则，
由可得，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，最大，此时也最大.
此时直线方程为，
故答案为：
关键点点睛：本题的关键点是设直线方程为，直线方程为，
求出的范围以便后面求导找最值，将表示成关于的函数，令对其求导到最值是突破点.
18．
设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
19．（1）；（2）最大值为.
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】
方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
20．（1）；（2）.
（1）根据抛物线的简单几何性质计算可得；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线，消元、列出韦达定理，即可表示出的坐标，再将代入圆的方程，即可求出参数的值，即可求出直线方程，再利用焦点弦的性质求出，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出三角形的面积；
【详解】
（1）因为抛物线，
所以准线方程为；
（2）设直线，，
联立直线与抛物线得，
由韦达定理可得，
故，∴，
将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).
根据抛物线的对称性，
不妨设，联立，消去得，所以
所以，
坐标原点到直线的距离，
所以.
21．（1）2；（2）的值为定值.
（1）根据圆上的点与定点之间距离的最大值等于圆心与定点的距离加半径得到等量关系，从而解方程即可求出结果；
（2）联立直线的方程与抛物线，结合韦达定理化简整理即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题得，圆的圆心，
抛物线的焦点为，，
所以与圆上点的距离的最大值为，
解得.
（2）设，，
由得，
所以，且，，
，，
所以.
所以的值为定值.
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
22．（1）；（2）或.
（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；
（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式 韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.
【详解】
（1）由题设知，双曲线的右顶点为，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴直线的方程为或.
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