选择性必修第一册第二章直线和圆的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章　直线和圆的方程
一、单选题
1．若直线的斜率是1，则其倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为（ ）
A． B．－ C．3 D．－3
3．圆心为且和轴相切的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
4．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ）
A．(－2，－4) B．
C．(－2，－4)或 D．不确定
6．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
7．过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于直线，下列说法不正确的是　　
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
9．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．圆与圆内切，则的值为______.
14．圆的圆心到直线的距离为___________.
15．若三条直线围成三角形，则k的取值范围是___________.
16．过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________.
三、解答题
17．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
18．已知圆C：，直线l：.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.
19．已知圆，直线．
（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆截得的最短弦长以及此时直线l的方程．
20．已知圆，点的坐标为，过点作圆的切线，切点为，
（1）求直线的方程；
（2）过点的圆的切线长；
（3）直线的方程.
21．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
设直线的倾斜角为，根据题意得到，即可求解.
【详解】
设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率是1，可得，
又因为，所以，即直线的倾斜角为.
故选：C.
2．B
根据直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，设P，Q的坐标分别为：，然后由线段PQ的中点坐标为(1，－1)，利用中点坐标公式求得a，b，再利用斜率公式求解.
【详解】
因为直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，
所以P，Q的坐标分别为：，
因为线段PQ的中点坐标为(1，－1)，
所以，解得 ，
所以直线l的斜率为，
故选：B
本题主要考查直线的交点、中点坐标公式以及斜率公式的应用，属于基础题.
3．A
由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程．
【详解】
解：圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，
故它的的方程是，
故选：．
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
4．C
根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案．
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，
若原点在圆的外部，
则有，则有，
综合可得：；
故选：C.
5．A
根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果.
【详解】
∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或．
当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆．
故选：A．
6．C
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
7．C
设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．
【详解】
解：设点坐标为，
根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，
两圆方程作差可得公共弦的方程为，
而在直线上，，
故点的轨迹方程为，
故选：C．
8．C
直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误．
【详解】
直线，化为：，
可得斜率，倾斜角为轴上的截距为，
因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错；
直线一定不经过第三象限，B对；
直线的倾斜角的大小不变，A对；
当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对；
故选：．
9．B
由直线与直线垂直的性质得，再上，，能求出的取值范围.
【详解】
解：∵直线：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范围为.
故选：B.
本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.
10．A
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
11．B
直线过定点，再求它与两点的斜率，即可取得k的取值范围．
【详解】
解：直线过定点，，
，
由图象可知：，
所以k的取值范围是：．
故选：B．
12．D
根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围.
【详解】
解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.
13．或
首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值为.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得或.
故答案为：或.
本题主要考查了圆的位置关系，根据圆的标准方程求半径与圆心，属于基础题.
14．
首先求出圆心坐标，再利用点到线的距离公式计算可得；
【详解】
解：圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离
故答案为：
15．且且
先的斜率，然后求得与的交点坐标，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
的斜率为，的斜率为，
由解得，
所以与的交点坐标为.
当时，，即，此时直线不过点且与不平行，三条直线围成三角形，符合题意.
当时，要使三条直线能围成三角形，则须
，解得且且.
所以的取值范围是且且.
故答案为：且且
本小题主要考查直线与直线的位置关系，属于中档题.
16．或
待定系数法设直线，由弦长公式求解
【详解】
可化为
故圆心到直线距离
若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意
若直线斜率存在，设其方程为，
，解得，此时直线方程为
故答案为：或
17．（1）；（2）或．
（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】
（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
18．(1)；
(2)或.
（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
(1)
由圆：，可得，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.
(2)
由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线为或.
19．（1）见解析；（2）最短弦长为，.
（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
【详解】
解：（1）直线化为，
则，解得，
所以直线l恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线l的斜率为2，
即，解得，
所以直线l的方程为.
20．（1），；（2）；（3）
（1）设切线斜率为以及切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得出的值，即可求解
（2）由点到圆心的距离，圆的半径以及切线长满足勾股定理，即可求出切线长；
（3）利用（2）写出圆心为点的圆的方程，通过圆系方程即可得出公共弦方程.
【详解】
（1）由题意可得圆心，半径，
由已知得过点的圆的切线斜率存在设为，
则切线方程为，
则圆心到直线的距离为，
即，解得或.
所以切线方程是
；
（2）在中，
，，
.
（3）以点为圆心，切线长为半径的圆的方程为：
，
圆，
两圆方程相减可得：
即
所以直线的方程为：
21．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】
（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
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