选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 801.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-08 17:33:22 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
3．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．5
9．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
11．如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.
14．已知是双曲线的左 右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
16．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为 ______．
三、解答题
17．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
18．已知双曲线方程为，，为双曲线的左 右焦点，离心率为，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作直线交双曲线于两点，则在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由.
19．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
20．焦点为的抛物线上点到原点的距离等于它到抛物线的准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上、两点，以为直径的圆经过焦点，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程．
21．双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率.
【详解】
由题意可知右焦点为F(c,0)，
过F作渐近线的垂线，垂足为A，
故可设 方程为 ，联立，
可得 ，
由可知，点B为FA的中点，故 ，
将代入中，可得 ，
即 ，
故选：A.
2．A
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
3．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
4．C
求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程．
【详解】
由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出．解题时要注意椭圆中，双曲线中．两者不能混淆．
5．B
根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】
双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以的面积为.
故选：B
6．B
由双曲线的定义运算即可得解.
【详解】
由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
7．B
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
8．B
根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线渐近线方程为，
因为一条渐近线与直线平行，可得，
则，即双曲线的离心率为.
故选：B.
9．A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
10．B
先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．
【详解】
抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
11．D
求出双曲线的即可得渐近线方程．
【详解】
由双曲线方程知，，所以渐近线方程为，
故选：D．
12．C
求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】
抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
13．
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知，
由中位线定理可得，设可得，
联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知，
由中位线定理可得，即
求得，所以.
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
14．3
令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.
【详解】
令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
15．.
根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】
由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
16．
由题不妨设，进而结合定义得，故在中结合余弦定理即可得答案.
【详解】
解：不妨设，则，
所以，因为，
所以由余弦定理得：，
代入数据解得：，即双曲线的焦距为
故答案为：
17．（1）；（2）证明见解析.
（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.
（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.
【详解】
（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
18．（1）；（2）存在，，.
（1）解法一：利用离心率可用表示出；利用，可在中，结合双曲线定义和勾股定理构造方程求得，由此得到双曲线方程；
解法二：利用离心率可用表示出；设，可知满足双曲线方程；由，可根据数量积的坐标运算得到，由此可整理得到；代入中即可求得，由此得到双曲线方程；
（2）解法一：当斜率为时，易得；当斜率不为时，设，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，令，可构造方程求得，进而确定；
解法二：当斜率为时，易得；当斜率不为时，设，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，由为定值可得，由此可确定的取值，并得到；
解法三：当斜率不存在时，易知若，则；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，由其为定值可得，由此可确定的取值，并得到.
【详解】
（1）解法一：由得：，，
，，
在中，由得：，
代入，得：
解得：，，双曲线方程为：.
解法二：由得：，，
设点，则点满足…①，
，，即…②，
，即…③，
则由①②得：，代入③得：，，双曲线方程为：.
（2）解法一：当斜率为时，，
此时，，由得：；
当斜率不为时，设，，，
联立得：，则，
，，
，
令，即，
解得：，则，此时；
综上所述：存在，使得；
解法二：当斜率为时，，
此时，，由得：；
当斜率不为时，设，，，
联立得：，则，
，，
，
若为定值，则，，，此时；
当，斜率为时，；
综上所述，存在，使得；
解法三：当斜率不存在时，，此时，，
若，则；
当斜率存在时，设，，，
联立得，则，
，，
若为定值，则，，，此时；
综上所述：存在，使得.
思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值类问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值或假设为定值构造方程求得变量的值与定值.
19．（1）；（2）.
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
20．(1)
(2)或
（1）根据已知条件可得，，即为等腰三角形，再结合点在抛物线上，即可求解．
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，再结合韦达定理，以及向量的数量积公式与三角形面积，即可求解．
(1)
由抛物线的定义可知，，即为等腰三角形，
点在抛物线上，
，即，
为等腰三角形，
点的横坐标为中点横坐标，
，
，
，
．
(2)
设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线方程，
化简整理可得，，
，解得，
由韦达定理可得，，，，
以为直径的圆经过焦点，
，即，
，，
，整理可得，，
可得，
的面积为，
，
解得或，
当，解得，
当，该方程组无解，
综上所述，直线的方程为或．
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．(1)
(2)
（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得，，故，所以 ，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
(2)
设动点，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得.
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
3．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．5
9．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
11．如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.
14．已知是双曲线的左 右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
16．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为 ______．
三、解答题
17．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
18．已知双曲线方程为，，为双曲线的左 右焦点，离心率为，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作直线交双曲线于两点，则在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由.
19．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
20．焦点为的抛物线上点到原点的距离等于它到抛物线的准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上、两点，以为直径的圆经过焦点，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程．
21．双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
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参考答案：
1．A
根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率.
【详解】
由题意可知右焦点为F(c,0)，
过F作渐近线的垂线，垂足为A，
故可设 方程为 ，联立，
可得 ，
由可知，点B为FA的中点，故 ，
将代入中，可得 ，
即 ，
故选：A.
2．A
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
3．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
4．C
求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程．
【详解】
由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出．解题时要注意椭圆中，双曲线中．两者不能混淆．
5．B
根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】
双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以的面积为.
故选：B
6．B
由双曲线的定义运算即可得解.
【详解】
由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
7．B
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
8．B
根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线渐近线方程为，
因为一条渐近线与直线平行，可得，
则，即双曲线的离心率为.
故选：B.
9．A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
10．B
先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．
【详解】
抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
11．D
求出双曲线的即可得渐近线方程．
【详解】
由双曲线方程知，，所以渐近线方程为，
故选：D．
12．C
求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】
抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
13．
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知，
由中位线定理可得，设可得，
联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知，
由中位线定理可得，即
求得，所以.
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
14．3
令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.
【详解】
令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
15．.
根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】
由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
16．
由题不妨设，进而结合定义得，故在中结合余弦定理即可得答案.
【详解】
解：不妨设，则，
所以，因为，
所以由余弦定理得：，
代入数据解得：，即双曲线的焦距为
故答案为：
17．（1）；（2）证明见解析.
（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.
（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.
【详解】
（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
18．（1）；（2）存在，，.
（1）解法一：利用离心率可用表示出；利用，可在中，结合双曲线定义和勾股定理构造方程求得，由此得到双曲线方程；
解法二：利用离心率可用表示出；设，可知满足双曲线方程；由，可根据数量积的坐标运算得到，由此可整理得到；代入中即可求得，由此得到双曲线方程；
（2）解法一：当斜率为时，易得；当斜率不为时，设，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，令，可构造方程求得，进而确定；
解法二：当斜率为时，易得；当斜率不为时，设，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，由为定值可得，由此可确定的取值，并得到；
解法三：当斜率不存在时，易知若，则；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可整理得到，由其为定值可得，由此可确定的取值，并得到.
【详解】
（1）解法一：由得：，，
，，
在中，由得：，
代入，得：
解得：，，双曲线方程为：.
解法二：由得：，，
设点，则点满足…①，
，，即…②，
，即…③，
则由①②得：，代入③得：，，双曲线方程为：.
（2）解法一：当斜率为时，，
此时，，由得：；
当斜率不为时，设，，，
联立得：，则，
，，
，
令，即，
解得：，则，此时；
综上所述：存在，使得；
解法二：当斜率为时，，
此时，，由得：；
当斜率不为时，设，，，
联立得：，则，
，，
，
若为定值，则，，，此时；
当，斜率为时，；
综上所述，存在，使得；
解法三：当斜率不存在时，，此时，，
若，则；
当斜率存在时，设，，，
联立得，则，
，，
若为定值，则，，，此时；
综上所述：存在，使得.
思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值类问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值或假设为定值构造方程求得变量的值与定值.
19．（1）；（2）.
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
20．(1)
(2)或
（1）根据已知条件可得，，即为等腰三角形，再结合点在抛物线上，即可求解．
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，再结合韦达定理，以及向量的数量积公式与三角形面积，即可求解．
(1)
由抛物线的定义可知，，即为等腰三角形，
点在抛物线上，
，即，
为等腰三角形，
点的横坐标为中点横坐标，
，
，
，
．
(2)
设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线方程，
化简整理可得，，
，解得，
由韦达定理可得，，，，
以为直径的圆经过焦点，
，即，
，，
，整理可得，，
可得，
的面积为，
，
解得或，
当，解得，
当，该方程组无解，
综上所述，直线的方程为或．
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．(1)
(2)
（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得，，故，所以 ，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
(2)
设动点，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得.
答案第1页，共2页
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