湘教版数学七年级下册 2.2.1 平方差公式 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
2.2 乘法公式
第2章 整式的乘法
2.2.1 平方差公式
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
学习目标
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
复习巩固
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和
邻居们－讲，大家都说：“张
老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
导入新课
情境导入
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
讲授新课
一
平方差公式的认识
合作探究
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么
规律？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2－12
=(5y)2－z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
(a–b) (a+b) =a2 b2
(b+a)( b+a )=a2 b2
知识要点
平方差公式：
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=_________.
(2)(a－b)(b+a)= __________.
(3)(－a－b)(－a+b)= ________.
(4)(a－b)(－a－b)= _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(a-b)(a+b)
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n)
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；
（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；
（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
注意：1.先把要计算的式子与公式对照;
2.哪个是a 哪个是b
(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2；
(2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
练一练
利用平方差公式计算：
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a b) = a2 b2
？
二
平方差公式的几何验证
合作探究
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
a
a
a2
b
a
a2-b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
自主探究
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
平方差公式的运用
三
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请
用字母表示这一规律，你能说明它的正确
性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
典例精析
例2 计算:
(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
= 1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
例3 计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;
(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
例4 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋
x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，
切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如
果能够，怎样计算
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2)=
a2 + b2 ;
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x－2)=x2－2;
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式=－[(3a+2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2+4;
改正方法2：
原式=(－2－3a)(－2+3a)
=(－2)2－(3a)2
=4－9a2.
3.已知a=7202,b=721×719；则（ ）
A.a=b B.a>b
C.a4.97×103=( )×( )=( ).
5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
100－3
100+3
1002－32
x=4
B
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
=a2－9b2 ；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
6.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
解：(1)原式=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1=2499；
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
（1）51×49；
（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
（2）13.2×12.8；
7.利用平方差公式计算：
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
能力拓展：
1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
见对应习题。
课后作业