初中数学湘教版九年级下册2.5.2圆的切线 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·沭阳月考）如图所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）
A．10 B．15 C．10 D．20
2．（2019九下·义乌期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
3．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
4．（2020九上·大丰月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九下·东莞月考）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
6．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
7．（2018九上·泰州月考）已知 和 外切于 ， 是 和 的外公切线， ， 为切点，若 ， ，则 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
9．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
10．如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O直径，∠c=55°，则∠APB等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
二、填空题
11．（2020九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
12．（2020九上·鼓楼期中）如图，直线 a⊥b ，垂足为H，点P在直线b上， ，O为直线b上一动点，若以 为半径的 与直线a相切，则 的长为 .
13．（2018九上·苏州月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，以点 为圆心作⊙ .当⊙ 恰好同时与边 ， 相切时，⊙ 的半径长为 .
14．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为 ．
15．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
三、解答题
16．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
17．（2020九上·沭阳月考）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为弦作⊙O，使圆心O在AB上.
（1）用直尺和圆规在图中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹) ；
（2）求证：BC为⊙O的切线.
18．（2020九上·赵县期中）AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由。
（2）若∠D=30°，BD=10cm，求⊙O的半径。
19．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
20．（2018九上·淮安月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AE切⊙D于点E，
∴∠AED=90°，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=20，DE=10，
∴AE= .
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质得∠AED=90°，然后利用已知条件根据勾股定理即可求出AE.
2．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POB=∠CBD，
根据量角器读出∠POB的度数约为：44°50'，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质得到∠OPB=90°，根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD，于是得到结论.
3．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故答案为：D．
【分析】根据经过切点的直径与切线垂直分析即可.
4．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论.
5．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故答案为：D．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求出∠C的度数。
6．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
7．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB=∠O2BA=90°，
∵O1A=O1M，O2B=O2M，
∴∠O1AM=∠O1MA，∠O2BM=∠O2MB，
∴∠BAM+∠AMO1=90°，∠ABM+∠BMO2=90°，
∴∠AMB=∠BMO2+∠AMO1=90°，
∴AM⊥BM，
∵MA=4cm，MB=3cm，
∴由勾股定理得，AB=5cm，
由三角形的面积公式，M到AB的距离是 .故答案为：B.
【分析】利用切线的性质去证明∠AMB=90°，就可得出△ABM是直角三角形，再利用直角三角形的两种面积公式，就可求出M到AB的距离。
8．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：（甲）如图1，
∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，
∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM= OA= OB，
∴∠BOP=∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故答案为：B．
【分析】将甲、乙的作法分别作为已知条件，然后从已知条件出发，判断角或线段的关系，从而推理出与切线的性质相矛盾的结论，继而判断出甲、乙两人的作法都是错误的。
9．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；
B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；
D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；
【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。
10．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O直径，
∴∠OAP=∠OBP=∠ABC=90°，
∵∠C=55°，OC=OB，
∴∠OBC=55°，
∴∠AOB=110°，
则在四边形AOBP中，∠APB=70°．
故选D．
【分析】连接OB，利用切线的性质，以及圆周角定理得到三个角为直角，根据OC=OB，利用等边对等角及外角性质求出∠AOB度数，即可求出∠APB度数．
11．【答案】115
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°-130°=230°，
∴∠BEC= ×230°=115°，
故答案为115．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
12．【答案】3或5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ 与直线a相切，OH=1
当 在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当 在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5.
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解.
13．【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=5，
在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S△ABC=S△ADC+S△DBC，
∴ AH BC= DE BC+ DF AC，
即 ×10 r+ ×13×r= ×10×12，
∴r= ，
即当 D恰好同时与边AC、BC相切时，此时 D的半径长为 ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BH、CH，再在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH，由已知⊙D同时与边AC、BC相切，可得出DE=DF=r，然后利用S△ABC=S△ADC+S△DBC，建立关于r的方程，解方程求出r的值即可。
14．【答案】相切
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BOC=2∠A=50°，∠OCB=40°，
∴在△OBC中，∠OBC=180°﹣50°﹣40°=90度．
∴直线BC与⊙O相切。
故答案为：相切.
【分析】根据圆周角定理得出∠BOC的度数，然后根据三角形内角和定理求得∠OBC的度数，根据切线的判定定理得出结论。
15．【答案】∠ABC=90°
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°
【分析】根据切线的判定定理”经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线“很容易想到需要添加条件AB⊥BC或∠ABC=90°。
16．【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
17．【答案】（1）解：如图所示，圆O即为所求.
（2）证明：连结OD,∵AD是∠CAB的平分线，OA=OD
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠4＝∠2＋∠3＝∠1＋∠2＝∠CAB
∴AC∥OD
∴∠C＝∠ODB=90°
∴OD⊥BC，BC为⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）AD是圆O的弦，由垂径定理知圆心O在弦AD的垂直平分线上，所以作AD的垂直平分线，与AB的交点即为圆心的位置；
（2）根据切线的判定定理，只要证明OD垂直于BC即可.
18．【答案】（1）解： CD与圆O相切
证明：∵AB为圆O的直径，C为O上一点
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA，∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
∴CD为圆O的切线
（2）解： 在直角三角形OCD中
∵∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20
∴r=10
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，证明得到∠OCD的度数为90°，即可得到CD为圆的切线；
（2）根据已知推出∠A=∠BCD=30°，根据BC=BD=10，即可得到AB=20，求出半径的长度即可。
19．【答案】（1）解：在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）解：连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）直接利用SAS证明△ACF≌△BCE即可。
（2）根据全等三角形的性质，可证得∠A=∠B，利用同角的余角相等，易证∠B=∠OFB，由 ∠B+∠AFC=90°，可证明∠OFB+∠AFC=90°， 即可证得∠AFO=90°，然后根据切线的判断方法，可证得AF是圆O的切线。
20．【答案】（1）证明：连结OD、DA
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD= AB=OA
又AC=AO，∴∠ODC=90°
∴CD切⊙O于点D
（2）解：方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC
∴∠C=30°
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴PE= CP
又PE=BP=R，CA=AO=OB=r
∴3r=R，即
方法二：连结PE，
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴OD∥PE
∴
即 ，∴
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连结OD、DA ，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDA=90° ，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出 AD=OA ，由三角形一边上的中线等于这边的一半可得∠ODC=90° ，进而可得CD是⊙O的切线； （2） 连结PE，由（1）知∠DAB=60°， ∠C=30°根据切线的性质可得PE⊥CE，由30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得PE= CP，进而可得PE=BP=R，CA=AO=OB=r，由此即可求出答案.
1 / 1初中数学湘教版九年级下册2.5.2圆的切线 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·沭阳月考）如图所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）
A．10 B．15 C．10 D．20
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AE切⊙D于点E，
∴∠AED=90°，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=20，DE=10，
∴AE= .
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质得∠AED=90°，然后利用已知条件根据勾股定理即可求出AE.
2．（2019九下·义乌期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（ ）
A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POB=∠CBD，
根据量角器读出∠POB的度数约为：44°50'，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质得到∠OPB=90°，根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD，于是得到结论.
3．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故答案为：D．
【分析】根据经过切点的直径与切线垂直分析即可.
4．（2020九上·大丰月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论.
5．（2020九下·东莞月考）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故答案为：D．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求出∠C的度数。
6．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
7．（2018九上·泰州月考）已知 和 外切于 ， 是 和 的外公切线， ， 为切点，若 ， ，则 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB=∠O2BA=90°，
∵O1A=O1M，O2B=O2M，
∴∠O1AM=∠O1MA，∠O2BM=∠O2MB，
∴∠BAM+∠AMO1=90°，∠ABM+∠BMO2=90°，
∴∠AMB=∠BMO2+∠AMO1=90°，
∴AM⊥BM，
∵MA=4cm，MB=3cm，
∴由勾股定理得，AB=5cm，
由三角形的面积公式，M到AB的距离是 .故答案为：B.
【分析】利用切线的性质去证明∠AMB=90°，就可得出△ABM是直角三角形，再利用直角三角形的两种面积公式，就可求出M到AB的距离。
8．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：（甲）如图1，
∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，
∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM= OA= OB，
∴∠BOP=∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故答案为：B．
【分析】将甲、乙的作法分别作为已知条件，然后从已知条件出发，判断角或线段的关系，从而推理出与切线的性质相矛盾的结论，继而判断出甲、乙两人的作法都是错误的。
9．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；
B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；
D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；
【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。
10．如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O直径，∠c=55°，则∠APB等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O直径，
∴∠OAP=∠OBP=∠ABC=90°，
∵∠C=55°，OC=OB，
∴∠OBC=55°，
∴∠AOB=110°，
则在四边形AOBP中，∠APB=70°．
故选D．
【分析】连接OB，利用切线的性质，以及圆周角定理得到三个角为直角，根据OC=OB，利用等边对等角及外角性质求出∠AOB度数，即可求出∠APB度数．
二、填空题
11．（2020九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
【答案】115
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°-130°=230°，
∴∠BEC= ×230°=115°，
故答案为115．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
12．（2020九上·鼓楼期中）如图，直线 a⊥b ，垂足为H，点P在直线b上， ，O为直线b上一动点，若以 为半径的 与直线a相切，则 的长为 .
【答案】3或5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ 与直线a相切，OH=1
当 在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当 在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5.
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解.
13．（2018九上·苏州月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，以点 为圆心作⊙ .当⊙ 恰好同时与边 ， 相切时，⊙ 的半径长为 .
【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=5，
在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S△ABC=S△ADC+S△DBC，
∴ AH BC= DE BC+ DF AC，
即 ×10 r+ ×13×r= ×10×12，
∴r= ，
即当 D恰好同时与边AC、BC相切时，此时 D的半径长为 ．
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BH、CH，再在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH，由已知⊙D同时与边AC、BC相切，可得出DE=DF=r，然后利用S△ABC=S△ADC+S△DBC，建立关于r的方程，解方程求出r的值即可。
14．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为 ．
【答案】相切
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BOC=2∠A=50°，∠OCB=40°，
∴在△OBC中，∠OBC=180°﹣50°﹣40°=90度．
∴直线BC与⊙O相切。
故答案为：相切.
【分析】根据圆周角定理得出∠BOC的度数，然后根据三角形内角和定理求得∠OBC的度数，根据切线的判定定理得出结论。
15．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
【答案】∠ABC=90°
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°
【分析】根据切线的判定定理”经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线“很容易想到需要添加条件AB⊥BC或∠ABC=90°。
三、解答题
16．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
17．（2020九上·沭阳月考）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为弦作⊙O，使圆心O在AB上.
（1）用直尺和圆规在图中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹) ；
（2）求证：BC为⊙O的切线.
【答案】（1）解：如图所示，圆O即为所求.
（2）证明：连结OD,∵AD是∠CAB的平分线，OA=OD
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠4＝∠2＋∠3＝∠1＋∠2＝∠CAB
∴AC∥OD
∴∠C＝∠ODB=90°
∴OD⊥BC，BC为⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）AD是圆O的弦，由垂径定理知圆心O在弦AD的垂直平分线上，所以作AD的垂直平分线，与AB的交点即为圆心的位置；
（2）根据切线的判定定理，只要证明OD垂直于BC即可.
18．（2020九上·赵县期中）AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由。
（2）若∠D=30°，BD=10cm，求⊙O的半径。
【答案】（1）解： CD与圆O相切
证明：∵AB为圆O的直径，C为O上一点
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA，∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
∴CD为圆O的切线
（2）解： 在直角三角形OCD中
∵∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20
∴r=10
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，证明得到∠OCD的度数为90°，即可得到CD为圆的切线；
（2）根据已知推出∠A=∠BCD=30°，根据BC=BD=10，即可得到AB=20，求出半径的长度即可。
19．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
【答案】（1）解：在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）解：连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）直接利用SAS证明△ACF≌△BCE即可。
（2）根据全等三角形的性质，可证得∠A=∠B，利用同角的余角相等，易证∠B=∠OFB，由 ∠B+∠AFC=90°，可证明∠OFB+∠AFC=90°， 即可证得∠AFO=90°，然后根据切线的判断方法，可证得AF是圆O的切线。
20．（2018九上·淮安月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求 的值.
【答案】（1）证明：连结OD、DA
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD= AB=OA
又AC=AO，∴∠ODC=90°
∴CD切⊙O于点D
（2）解：方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC
∴∠C=30°
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴PE= CP
又PE=BP=R，CA=AO=OB=r
∴3r=R，即
方法二：连结PE，
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴OD∥PE
∴
即 ，∴
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连结OD、DA ，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDA=90° ，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出 AD=OA ，由三角形一边上的中线等于这边的一半可得∠ODC=90° ，进而可得CD是⊙O的切线； （2） 连结PE，由（1）知∠DAB=60°， ∠C=30°根据切线的性质可得PE⊥CE，由30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得PE= CP，进而可得PE=BP=R，CA=AO=OB=r，由此即可求出答案.
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