人教A版（2019）数学必修第一册1.5全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2019高二上·田阳月考）命题“ ， 且 ”的否定形式是（ ）
A． ， 或
B． ， 或
C． ， 且
D． ， 且
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，可得命题“ ， 且 ”的否定形式是“ ， 或 ”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写即可.
2．（2019高一上·丰台期中）命题“ ，使得x2＋2x<0”的否定是（ ）
A． 使得 B． 使得
C． 都有 D． 都有
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题“ x∈R，x2+2x＜0”的否定是： x∈R，使x2+2x≥0．
故答案为：C．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
3．（2019高一上·三亚期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．所有菱形的 条边都相等
C．若 为偶数，则 D． 是无理数
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】四个选项中 是全称量词命题
对于 ： 当 时，不成立，为假命题.
对于 ：根据菱形定义知：所有菱形的 条边都相等，为真命题.
故答案为：
【分析】先判断 是全称量词命题，再判断 为假命题， 为真命题得到答案.
4．（2018高二下·驻马店期末）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 是“甲降落在指定范围”， 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.
故答案为： A.
【分析】绘制VENN图，即可得出答案。
5．（2018高二下·科尔沁期末）设命题p： x∈R，x2+1>0，则 p为（ ）
A． x0∈R， +1>0 B． x0∈R， +1≤0
C． x0∈R， +1<0 D． x∈R，x2+1≤0
【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解： ，
则 ，
故答案为：B.
【分析】由全称命题的否定是特称命题，可得答案.
6．对于实数a，b，命题：若ab=0，则a=0的否定是（ ）
A．若ab=0，则a≠0
B．若a≠0，则ab≠0
C．存在实数a，b，使ab=0时a≠0
D．任意实数a，b，若ab≠0，则a≠0
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，对于实数a，b，命题：若ab=0，则a=0的否定是：存在实数a，b，使ab=0时a≠0．
故选：C．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
7．已知命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（ ）
A．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
B．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
C．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
D．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，由于△=1﹣4＜0，故为真命题，
命题“ x∈R，﹣x2+x﹣4＜0”是全称命题，其否定是： x∈R，﹣x2+x﹣4≥0．
故选：B
【分析】“全称命题”的否定是“特称命题”．根据全称命题的否定写出即可．
8．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】“由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.故选A.
【分析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q同时为真命题；判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断即可。
二、填空题
9．（2019高二上·黄陵期中）若命题p的否定是“对所有正数x， >x＋1”，则命题p是 ．
【答案】 x0∈(0，＋∞)， ≤x0＋1
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 p:对所有正数x， >x＋1，则p: x0∈(0，＋∞)， ≤x0＋1
【分析】因为p是 p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
10．（2019高三上·亳州月考）已知命题 ，那么 是
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题
所以命题 ：
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，直接写出即可.
11．（2018高二上·吉林期中）若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 命题“ ”是假命题，
则命题“ ”是真命题，
则 ，解得
则实数 的取值范围是
故答案为
【分析】结合命题为假命题，可知命题否定为真命题，即可得出答案。
12．命题“ x∈N*，f（n）∈N* 且f（n）≤n的否定形式是 ．
【答案】 x∈N*，f（n） N* 或f（n）＞n
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈N*，f（n）∈N* 且f（n）≤n的否定形式是： x∈N*，f（n） N* 且f（n）＞n．
故答案为： x∈N*，f（n） N* 或f（n）＞n．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
13．已知命题:“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是 .
【答案】[-8,+∞)
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,
如果“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题应有-a≤x2+2x,因为x2+2x在[1,2],为递增，过x2+2x在[1,2],的最大值为8，所以a≥-8.；故答案为[-8,+∞)
【分析】本题利用原命题的否命题转化为求最值问题，求否命题a范围的补集，结合集合的补集定义即可解决．
三、解答题
14．（2016高二下·吉林开学考）写出下列命题的“￢p”命题：
（1）正方形的四边相等
（2）平方和为0的两个实数都为0
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角
（4）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0．
【答案】（1）解：存在一个正方形的四边不相等
（2）解：平方和为0的两个实数不都为0
（3）解：若△ABC是锐角三角形，则△ABC的某个内角不是锐角
（4）解：若abc=0，则a，b，c中都不为0
【知识点】命题的否定
【解析】【分析】利用命题的否定是定义写出结果即可．
15．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
16．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
【答案】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为： m＞1，方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为： 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为： 一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为： x∈R，x2≥0．
【知识点】存在量词命题
【解析】【分析】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解．
17．是否存在整数m，使得命题“ x∈R，m2﹣m＜x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：假设存在整数m，使得命题是真命题．
由于对于 x∈R，x2+x+1=（x+ ）2+ ≥ ＞0，
因此只需m2﹣m≤0，即0≤m≤1．
故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】利用全称命题为真命题，建立关于参数的条件不等式，即可求出m的值．
1 / 1人教A版（2019）数学必修第一册1.5全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2019高二上·田阳月考）命题“ ， 且 ”的否定形式是（ ）
A． ， 或
B． ， 或
C． ， 且
D． ， 且
2．（2019高一上·丰台期中）命题“ ，使得x2＋2x<0”的否定是（ ）
A． 使得 B． 使得
C． 都有 D． 都有
3．（2019高一上·三亚期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．所有菱形的 条边都相等
C．若 为偶数，则 D． 是无理数
4．（2018高二下·驻马店期末）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 是“甲降落在指定范围”， 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018高二下·科尔沁期末）设命题p： x∈R，x2+1>0，则 p为（ ）
A． x0∈R， +1>0 B． x0∈R， +1≤0
C． x0∈R， +1<0 D． x∈R，x2+1≤0
6．对于实数a，b，命题：若ab=0，则a=0的否定是（ ）
A．若ab=0，则a≠0
B．若a≠0，则ab≠0
C．存在实数a，b，使ab=0时a≠0
D．任意实数a，b，若ab≠0，则a≠0
7．已知命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（ ）
A．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
B．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
C．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
D．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
8．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、填空题
9．（2019高二上·黄陵期中）若命题p的否定是“对所有正数x， >x＋1”，则命题p是 ．
10．（2019高三上·亳州月考）已知命题 ，那么 是
11．（2018高二上·吉林期中）若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 ．
12．命题“ x∈N*，f（n）∈N* 且f（n）≤n的否定形式是 ．
13．已知命题:“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是 .
三、解答题
14．（2016高二下·吉林开学考）写出下列命题的“￢p”命题：
（1）正方形的四边相等
（2）平方和为0的两个实数都为0
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角
（4）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0．
15．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
16．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
17．是否存在整数m，使得命题“ x∈R，m2﹣m＜x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，可得命题“ ， 且 ”的否定形式是“ ， 或 ”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题“ x∈R，x2+2x＜0”的否定是： x∈R，使x2+2x≥0．
故答案为：C．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
3．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】四个选项中 是全称量词命题
对于 ： 当 时，不成立，为假命题.
对于 ：根据菱形定义知：所有菱形的 条边都相等，为真命题.
故答案为：
【分析】先判断 是全称量词命题，再判断 为假命题， 为真命题得到答案.
4．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.
故答案为： A.
【分析】绘制VENN图，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解： ，
则 ，
故答案为：B.
【分析】由全称命题的否定是特称命题，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，对于实数a，b，命题：若ab=0，则a=0的否定是：存在实数a，b，使ab=0时a≠0．
故选：C．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
7．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，由于△=1﹣4＜0，故为真命题，
命题“ x∈R，﹣x2+x﹣4＜0”是全称命题，其否定是： x∈R，﹣x2+x﹣4≥0．
故选：B
【分析】“全称命题”的否定是“特称命题”．根据全称命题的否定写出即可．
8．【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】“由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.故选A.
【分析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q同时为真命题；判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断即可。
9．【答案】 x0∈(0，＋∞)， ≤x0＋1
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 p:对所有正数x， >x＋1，则p: x0∈(0，＋∞)， ≤x0＋1
【分析】因为p是 p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
10．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题
所以命题 ：
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，直接写出即可.
11．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 命题“ ”是假命题，
则命题“ ”是真命题，
则 ，解得
则实数 的取值范围是
故答案为
【分析】结合命题为假命题，可知命题否定为真命题，即可得出答案。
12．【答案】 x∈N*，f（n） N* 或f（n）＞n
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈N*，f（n）∈N* 且f（n）≤n的否定形式是： x∈N*，f（n） N* 且f（n）＞n．
故答案为： x∈N*，f（n） N* 或f（n）＞n．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
13．【答案】[-8,+∞)
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,
如果“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题应有-a≤x2+2x,因为x2+2x在[1,2],为递增，过x2+2x在[1,2],的最大值为8，所以a≥-8.；故答案为[-8,+∞)
【分析】本题利用原命题的否命题转化为求最值问题，求否命题a范围的补集，结合集合的补集定义即可解决．
14．【答案】（1）解：存在一个正方形的四边不相等
（2）解：平方和为0的两个实数不都为0
（3）解：若△ABC是锐角三角形，则△ABC的某个内角不是锐角
（4）解：若abc=0，则a，b，c中都不为0
【知识点】命题的否定
【解析】【分析】利用命题的否定是定义写出结果即可．
15．【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
16．【答案】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为： m＞1，方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为： 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为： 一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为： x∈R，x2≥0．
【知识点】存在量词命题
【解析】【分析】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解．
17．【答案】解：假设存在整数m，使得命题是真命题．
由于对于 x∈R，x2+x+1=（x+ ）2+ ≥ ＞0，
因此只需m2﹣m≤0，即0≤m≤1．
故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】利用全称命题为真命题，建立关于参数的条件不等式，即可求出m的值．
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