人教A版（2019）数学必修第一册 5.5 三角恒等变换
一、单选题
1．（2019高二上·林芝期中） （ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据二倍角余弦公式求解.
2．（2019高二上·集宁期中）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】原式 .
故答案为：D.
【分析】利用两角差的正弦公式可化为 .
3．（2019高三上·禅城月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】分析：由公式 可得结果.
详解：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
4．（2018高三上·长春期中）在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0，因为A，B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0，所以A= ，
所以三角形是直角三角形.
故答案为：A
【分析】运用正弦两角和公式，化简，即可计算出A的大小，即可得出答案。
5．（2018高一下·四川期末）设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 .
.
.
因为 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】利用辅助角公式化简函数，再比较大小。
6．（2018高一下·安徽期末） （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得：
.
【分析】结合正弦函数两角和公式及余弦函数两角和公式，通过正弦函数的二倍角公式，代入数据计算 ，即可得出答案。
7．（2018高一下·商丘期末） 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由
，
故答案为：A．
【分析】由三角函数的诱导公式，化简得sin18 sin78 cos 162 cos78 = sin18 sin78 + cos18 cos78 ，再由两角和与差的余弦函数的公式，即可可化简求值。
8．（2018·榆林模拟）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题目条件得 ，而
故答案为：A。
【分析】将已知角当作整体,由同角关系式求出另一种函数值,将目标角表示为两整体角的差的形式,用两角差的余弦公式求解.
9．（2018·南阳模拟）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．-2 D．-
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】运用正切函数两角和公式，并化简所求式子，结合条件，即可得出答案。
10．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】解答：令 ，得
分析得
因而
.
分析：由题利用角的变换的方法首先观察所求角与所给条件较的整体关系进行恰当拆分，然后利用和角公式计算即可.
二、填空题
11．（2019高一下·南充月考）已知 ， 则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解： 已知 ， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】由已知得到，利用二倍角公式，即可求出 的值.
12．（2018高三上·长春期中）(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝ .
【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝ tan30°
= =2
故答案为：2
【分析】结合正切函数两角和公式，即可得出答案。
13．（2019高三上·上海月考）已知 ，则 的值是 .
【答案】2或
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】依题意 ， ， ， ，解得 的值为2或 .
故答案为：2或
【分析】利用两角和的正切公式进行化简，由此解得 的值.
14．（2019高三上·东湖期中）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 即 ，
所以 即 .
又 .
故答案为： .
【分析】利用两角和、差的正弦可得 ，再利用二倍角的余弦公式可求 的值.
15．（2018高一下·涟水月考）已知 ， ， 则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由两角差的正切公式有 。
【分析】由两角差的正切公式，即可得出答案。
16．（2019高三上·凤城月考）已知 ，且 ，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ,
,
又 ,
,
, ,
.
故答案为： .
【分析】由 化简解出 ,再将 化简得 ,代入即可.
三、解答题
17．（2016高一下·新化期中）已知sinα= ，cosβ=﹣ ，α∈（ ，π），β∈（π， ），求cos（α﹣β）的值．
【答案】解：由sinα= ，cosβ=﹣ ，α∈（ ，π），β∈（π， ），
则cosα=﹣ =﹣ ，sinβ=﹣ =﹣ ，
则有cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ +
= ．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】运用同角的平方关系，求得cosα，sinβ，再由两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．
18．（高中数学人教新课标A版必修4第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式同步练习）已知 为锐角且 .
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得tan = .
（2）解： = = =cos +sin .∵ 为锐角且tan = ，
∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式展开求出tan α即可。(2)利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式整理化简得到cos α +sin α，借助(1)的结果求出sin α 、cos α的值，故而得出结果。
19．（2018高一下·上虞期末）已知 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值.
【答案】解：（Ⅰ） ，且 ， ，-------2分于是 ；（Ⅱ） ， ， ，结合 得： ， 于是
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数故选求出cosα，利用sin2α=2sinαcosα求 的值；
（Ⅱ）利用lsin β = sin [ ( α + β ) α ] = sin ( α + β ) cos α cos ( α + β ) sin α ，即可求解。
20．（2018高三上·长春期中）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）把 的图象向右平移 个单位后，在 是增函数，当 最小时，求 的值．
【答案】（1）解：
∴ =
（2）解：
由 得单调递增区间为
.
∵ 在 是增函数，而函数的最小正周期恰好是 ，所以 刚好是半个周期，
∴ ， ，∴当 最小时， =
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）结合余弦函数两角和公式，二倍角公式，化简，计算周期，即可得出答案。（2）构造函数g(x)，结合正弦函数的性质，判定单调区间，计算m，即可得出答案。
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一、单选题
1．（2019高二上·林芝期中） （ ）
A．-1 B．1 C． D．
2．（2019高二上·集宁期中）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高三上·禅城月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2018高三上·长春期中）在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
5．（2018高一下·四川期末）设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018高一下·安徽期末） （ ）
A． B． C． D．1
7．（2018高一下·商丘期末） 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·榆林模拟）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2018·南阳模拟）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．-2 D．-
10．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019高一下·南充月考）已知 ， 则 .
12．（2018高三上·长春期中）(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝ .
13．（2019高三上·上海月考）已知 ，则 的值是 .
14．（2019高三上·东湖期中）已知 ，则 的值为 ．
15．（2018高一下·涟水月考）已知 ， ， 则 的值为 ．
16．（2019高三上·凤城月考）已知 ，且 ，则 .
三、解答题
17．（2016高一下·新化期中）已知sinα= ，cosβ=﹣ ，α∈（ ，π），β∈（π， ），求cos（α﹣β）的值．
18．（高中数学人教新课标A版必修4第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式同步练习）已知 为锐角且 .
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
19．（2018高一下·上虞期末）已知 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值.
20．（2018高三上·长春期中）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）把 的图象向右平移 个单位后，在 是增函数，当 最小时，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据二倍角余弦公式求解.
2．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】原式 .
故答案为：D.
【分析】利用两角差的正弦公式可化为 .
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】分析：由公式 可得结果.
详解：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0，因为A，B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0，所以A= ，
所以三角形是直角三角形.
故答案为：A
【分析】运用正弦两角和公式，化简，即可计算出A的大小，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 .
.
.
因为 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】利用辅助角公式化简函数，再比较大小。
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得：
.
【分析】结合正弦函数两角和公式及余弦函数两角和公式，通过正弦函数的二倍角公式，代入数据计算 ，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由
，
故答案为：A．
【分析】由三角函数的诱导公式，化简得sin18 sin78 cos 162 cos78 = sin18 sin78 + cos18 cos78 ，再由两角和与差的余弦函数的公式，即可可化简求值。
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题目条件得 ，而
故答案为：A。
【分析】将已知角当作整体,由同角关系式求出另一种函数值,将目标角表示为两整体角的差的形式,用两角差的余弦公式求解.
9．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】运用正切函数两角和公式，并化简所求式子，结合条件，即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】解答：令 ，得
分析得
因而
.
分析：由题利用角的变换的方法首先观察所求角与所给条件较的整体关系进行恰当拆分，然后利用和角公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解： 已知 ， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】由已知得到，利用二倍角公式，即可求出 的值.
12．【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝ tan30°
= =2
故答案为：2
【分析】结合正切函数两角和公式，即可得出答案。
13．【答案】2或
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】依题意 ， ， ， ，解得 的值为2或 .
故答案为：2或
【分析】利用两角和的正切公式进行化简，由此解得 的值.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 即 ，
所以 即 .
又 .
故答案为： .
【分析】利用两角和、差的正弦可得 ，再利用二倍角的余弦公式可求 的值.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由两角差的正切公式有 。
【分析】由两角差的正切公式，即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ,
,
又 ,
,
, ,
.
故答案为： .
【分析】由 化简解出 ,再将 化简得 ,代入即可.
17．【答案】解：由sinα= ，cosβ=﹣ ，α∈（ ，π），β∈（π， ），
则cosα=﹣ =﹣ ，sinβ=﹣ =﹣ ，
则有cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ +
= ．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】运用同角的平方关系，求得cosα，sinβ，再由两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．
18．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得tan = .
（2）解： = = =cos +sin .∵ 为锐角且tan = ，
∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式展开求出tan α即可。(2)利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式整理化简得到cos α +sin α，借助(1)的结果求出sin α 、cos α的值，故而得出结果。
19．【答案】解：（Ⅰ） ，且 ， ，-------2分于是 ；（Ⅱ） ， ， ，结合 得： ， 于是
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数故选求出cosα，利用sin2α=2sinαcosα求 的值；
（Ⅱ）利用lsin β = sin [ ( α + β ) α ] = sin ( α + β ) cos α cos ( α + β ) sin α ，即可求解。
20．【答案】（1）解：
∴ =
（2）解：
由 得单调递增区间为
.
∵ 在 是增函数，而函数的最小正周期恰好是 ，所以 刚好是半个周期，
∴ ， ，∴当 最小时， =
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）结合余弦函数两角和公式，二倍角公式，化简，计算周期，即可得出答案。（2）构造函数g(x)，结合正弦函数的性质，判定单调区间，计算m，即可得出答案。
1 / 1
