苏教版高中数学必修一2.1函数的概念
一、单选题
1．（2020高一上·林芝期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．或
3．函数 （x∈R）的值域是（ ）
A．（0,1） B．（0,1] C．[0,1） D．[0,1]
4．（2019高一上·嘉兴期末）设函数 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．1
5．已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（ ）
A．[﹣1，1] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．[﹣2，2]
6．下列函数中，与函数有相同图象的一个是( )
A． B． C． D．
7．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）
A．y=2x+1（x＞1） B．y=x2﹣x+1
C． D．y=
8．（2018高一下·柳州期末）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数f（x）=+x的值域是（ ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（0，+∞） D．[1，+∞）
10．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [，-4]，则m的取值范围是（ ）
A．（0，4] B．[，-4] C．[,3] D．[，+∞]
二、填空题
11．（2018高一上·杭州期中）已知 ，则
12．已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点（-1，4），则a= .
13．已知f（2x）=x2﹣1，则f（x）= ．
14．函数y=2x﹣3﹣ 的值域是 ．
15．函数y= +2x的值域为 ．
三、解答题
16．（2018高一上·鹤岗期中）二次函数f(x)满足f(x＋1)＝ -2x＋3
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在[－3，3]上的值域；
17．（2018高一上·滁州期中）
（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式.
18．求下列函数的值域：
（1）y= ；
（2）y= ．
19．（2019高一上·榆林期中）已知二次函数 的最小值为1，且满足
（1）求 的解析式；
（2）设 在区间 上的最小值为 ，求函数 的表达式。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，解得x≥ 且x≠2．
∴函数 的定义域为 ．
故答案为：C．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
2．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】令，则，所以，即。答案为B
【点评】若已知复合函数f[g(x)]的解析式，求函数f(x)的解析式，常用换元法。令g(x)=" t" ，求f（t)的解析式，然后t换为x即可。 但要注意换元后，应再求新变量的取值范围，即为函数的定义域。
3．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由于x∈R，所以x2＋2≥2，0＜ ≤ ，则 ，即0＜f（x）≤1．
故答案为:B.
【分析】通过范围的变换求函数的值域.
4．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式首先求出 ，进而得出 。
5．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，得﹣1≤x≤0．
∴﹣1≤2x+1≤1，即函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，
再由﹣1≤x+1≤1，得：﹣2≤x≤0．
∴函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，0]．
故选：C．
【分析】由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，求出函数f（x）的定义域，再由x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得到函数y=f（x+1）的定义域，．
6．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】选项A中函数的定义域为，定义域不相同，故选项A错；选项B中函数可化为，故B正确；选项C中函数的定义域为，故选项C错；选项D中函数的定义域为，故选项D错.所以正确答案为B.
7．【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：A．x＞1；
∴2x+1＞3；即y＞3；
∴该函数的值域为（3，+∞）；
∴该选项错误；
B. ；
∴该函数的值域为 ；
∴该选项错误；
C. ，x≠0；
∴y≠0；
∴该函数的值域为{y|y≠0}；
D. ，x2＞0；
∴ ；
即y＞0；
∴该函数的值域为（0，+∞）；
∴该选项正确．
故选D．
【分析】根据不等式的性质，配方法求二次函数的值域，反比例函数的值域便可求出每个选项的函数的值域，从而找出正确选项．
8．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：对任意的 ，有 恒成立，
所以 或 ，故 ，
故答案为：A.
【分析】由题意知-mx2-mx+10在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起．
9．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数f（x）=+x的定义域为[，+∞）
∵y=[，+∞）和y=x在[，+∞）上均为增函数
故f（x）=+x在[，+∞）上为增函数
∴当x=时，函数取最小值，无最大值，
故函数f（x）=+x的值域是[，+∞）
故答案为：[，+∞）
【分析】由y=[，+∞）和y=x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）=+x在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域
10．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+ ﹣ =（x﹣ ）2﹣
定义域为〔0，m〕
那么在x=0时函数值最大
即y最大=（0﹣ ）2﹣ = ﹣ =﹣4
又值域为〔﹣ ，﹣4〕
即当x=m时，函数最小且y最小=﹣
即﹣ ≤（m﹣ ）2﹣ ≤﹣4
0≤（m﹣ ）2≤
即m≥ （1）
即（m﹣ ）2≤
m﹣ ≥﹣3 且m﹣ ≤
0≤m≤3 （2）
所以： ≤m≤3
故选：C．
【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．
11．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题意 ，得 ，
因为 ，
则 ，
，
故答案为 .
【分析】采用换元法，设 ，用t表示x，代入相应的表达式，即可求出f（x）.
12．【答案】-2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f（x）=ax3-2x可得f（-1）=-a+2=4a=-2。
【分析】本题考查内容单一，由f（-1）=4可直接求得a的值，因此可以说本题是一道基础题，但要注意运算的准确性，由于填空题没有中间分，一步出错，就得零分，故运算要特别细心.
13．【答案】 x2﹣1
【知识点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f（2x）=x2﹣1，
得到f（2x）= （2x）2﹣1
故f（x）= x2﹣1
故答案为： x2﹣1．
【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．
14．【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意：设t= （t≥0），则 ．
那么y=2x﹣3﹣ 转化为：y=
整理：y= （t≥0），
由二次函数图象及性质可知：函数y= 图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）；
∵t≥0，
∴当t=0 时，函数y= 取得最大值，即 ；
所以函数y=2x﹣3﹣ 的值域为（﹣∞， ]．
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．
15．【答案】[﹣4， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数y= +2x，
令：x=2cosα，[0，π]，则函数y= +2x转化为：y=sinα+4cosα；
化简得：y= sin（α+φ），sinφ= ，
∵ ＞φ＞0，
∴当α=π时，π＜α+φ＜ π．
故得y= sin（α+φ）=﹣ ×sinφ=﹣4．
当α+φ= 时，y取得最大值 ．
故得函数y= +2x的值域为[﹣4， ]；
故答案为：[﹣4， ]；
【分析】利用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．
16．【答案】（1）解：由，
∴
令x+1=t
则
∴
（2）解：由（1）f（x）的对称轴为x=2在给定的区间范围内
则当x=2时f（x）有最小值为f（2）=2
当x=-3时f（x）有最大值为f（-3）=27
所以f（x）在[－3，3]的值域为 [2，27]
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）通过整体配凑(x+1)进而采用换元法，令x+1=t，即可求出f（x）的表达式；
（2）结合（1）求出f（x）的表达式，讨论二次函数在闭区间的单调性，即可求出f（x）在该区间的值域.
17．【答案】（1）解：令 ，则 ， 所以 ， 即函数
（2）解：设 ，则由 ， 得 ，即 ， 所以 ，解得 . 所以 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）本题主要考查解析式的求法，只需用换元法令，可得出，再根据函数相等，即可得出结果；
（2）本题主要考查待定系数法来求函数的解析式，由f(x)是一次函数，可设，再由展开，根据对应系数相等即可取出结果。
18．【答案】（1）解：y= ；
化简：y= = =﹣1
∵1+x2≥1，
∴
故得函数y的范围是﹣1＜y≤1，即函数的值域为（﹣1，1]
（2）解：y= ．
∵﹣2x2+x+3≥0，
∴y≥0
∵﹣2x2+x+3=
∴y≤ =
故得函数y的范围是0≤y≤ ，即函数的值域为[0， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【分析】（1）利用分离常数法转化为二次函数求函数的值域．（2）利用配方求二次函数来求函数的值域．
19．【答案】（1）解：由题意可设 ，由 ，可得 ，所以 的解析式为
，化为一般式即为
（2）解： 图像的对称轴为 ，顶点坐标为（2，1），
当 时， 在区间 上单调递增，此时 ，
当 时， 在区间 上单调递减，此时 ，
当m+2>2,且m<2时，即0所以
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)根据 ， 的最小值为1，设 ，代入x=0，得a=2．即可求解（2）f（x）= ，顶点是（2，1），由于抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论
1 / 1苏教版高中数学必修一2.1函数的概念
一、单选题
1．（2020高一上·林芝期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，解得x≥ 且x≠2．
∴函数 的定义域为 ．
故答案为：C．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
2．若函数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】令，则，所以，即。答案为B
【点评】若已知复合函数f[g(x)]的解析式，求函数f(x)的解析式，常用换元法。令g(x)=" t" ，求f（t)的解析式，然后t换为x即可。 但要注意换元后，应再求新变量的取值范围，即为函数的定义域。
3．函数 （x∈R）的值域是（ ）
A．（0,1） B．（0,1] C．[0,1） D．[0,1]
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由于x∈R，所以x2＋2≥2，0＜ ≤ ，则 ，即0＜f（x）≤1．
故答案为:B.
【分析】通过范围的变换求函数的值域.
4．（2019高一上·嘉兴期末）设函数 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式首先求出 ，进而得出 。
5．已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（ ）
A．[﹣1，1] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．[﹣2，2]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，得﹣1≤x≤0．
∴﹣1≤2x+1≤1，即函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，
再由﹣1≤x+1≤1，得：﹣2≤x≤0．
∴函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，0]．
故选：C．
【分析】由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，求出函数f（x）的定义域，再由x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得到函数y=f（x+1）的定义域，．
6．下列函数中，与函数有相同图象的一个是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】选项A中函数的定义域为，定义域不相同，故选项A错；选项B中函数可化为，故B正确；选项C中函数的定义域为，故选项C错；选项D中函数的定义域为，故选项D错.所以正确答案为B.
7．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）
A．y=2x+1（x＞1） B．y=x2﹣x+1
C． D．y=
【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：A．x＞1；
∴2x+1＞3；即y＞3；
∴该函数的值域为（3，+∞）；
∴该选项错误；
B. ；
∴该函数的值域为 ；
∴该选项错误；
C. ，x≠0；
∴y≠0；
∴该函数的值域为{y|y≠0}；
D. ，x2＞0；
∴ ；
即y＞0；
∴该函数的值域为（0，+∞）；
∴该选项正确．
故选D．
【分析】根据不等式的性质，配方法求二次函数的值域，反比例函数的值域便可求出每个选项的函数的值域，从而找出正确选项．
8．（2018高一下·柳州期末）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：对任意的 ，有 恒成立，
所以 或 ，故 ，
故答案为：A.
【分析】由题意知-mx2-mx+10在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起．
9．函数f（x）=+x的值域是（ ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数f（x）=+x的定义域为[，+∞）
∵y=[，+∞）和y=x在[，+∞）上均为增函数
故f（x）=+x在[，+∞）上为增函数
∴当x=时，函数取最小值，无最大值，
故函数f（x）=+x的值域是[，+∞）
故答案为：[，+∞）
【分析】由y=[，+∞）和y=x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）=+x在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域
10．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [，-4]，则m的取值范围是（ ）
A．（0，4] B．[，-4] C．[,3] D．[，+∞]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+ ﹣ =（x﹣ ）2﹣
定义域为〔0，m〕
那么在x=0时函数值最大
即y最大=（0﹣ ）2﹣ = ﹣ =﹣4
又值域为〔﹣ ，﹣4〕
即当x=m时，函数最小且y最小=﹣
即﹣ ≤（m﹣ ）2﹣ ≤﹣4
0≤（m﹣ ）2≤
即m≥ （1）
即（m﹣ ）2≤
m﹣ ≥﹣3 且m﹣ ≤
0≤m≤3 （2）
所以： ≤m≤3
故选：C．
【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．
二、填空题
11．（2018高一上·杭州期中）已知 ，则
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题意 ，得 ，
因为 ，
则 ，
，
故答案为 .
【分析】采用换元法，设 ，用t表示x，代入相应的表达式，即可求出f（x）.
12．已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点（-1，4），则a= .
【答案】-2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f（x）=ax3-2x可得f（-1）=-a+2=4a=-2。
【分析】本题考查内容单一，由f（-1）=4可直接求得a的值，因此可以说本题是一道基础题，但要注意运算的准确性，由于填空题没有中间分，一步出错，就得零分，故运算要特别细心.
13．已知f（2x）=x2﹣1，则f（x）= ．
【答案】 x2﹣1
【知识点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f（2x）=x2﹣1，
得到f（2x）= （2x）2﹣1
故f（x）= x2﹣1
故答案为： x2﹣1．
【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．
14．函数y=2x﹣3﹣ 的值域是 ．
【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意：设t= （t≥0），则 ．
那么y=2x﹣3﹣ 转化为：y=
整理：y= （t≥0），
由二次函数图象及性质可知：函数y= 图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）；
∵t≥0，
∴当t=0 时，函数y= 取得最大值，即 ；
所以函数y=2x﹣3﹣ 的值域为（﹣∞， ]．
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．
15．函数y= +2x的值域为 ．
【答案】[﹣4， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数y= +2x，
令：x=2cosα，[0，π]，则函数y= +2x转化为：y=sinα+4cosα；
化简得：y= sin（α+φ），sinφ= ，
∵ ＞φ＞0，
∴当α=π时，π＜α+φ＜ π．
故得y= sin（α+φ）=﹣ ×sinφ=﹣4．
当α+φ= 时，y取得最大值 ．
故得函数y= +2x的值域为[﹣4， ]；
故答案为：[﹣4， ]；
【分析】利用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．
三、解答题
16．（2018高一上·鹤岗期中）二次函数f(x)满足f(x＋1)＝ -2x＋3
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在[－3，3]上的值域；
【答案】（1）解：由，
∴
令x+1=t
则
∴
（2）解：由（1）f（x）的对称轴为x=2在给定的区间范围内
则当x=2时f（x）有最小值为f（2）=2
当x=-3时f（x）有最大值为f（-3）=27
所以f（x）在[－3，3]的值域为 [2，27]
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）通过整体配凑(x+1)进而采用换元法，令x+1=t，即可求出f（x）的表达式；
（2）结合（1）求出f（x）的表达式，讨论二次函数在闭区间的单调性，即可求出f（x）在该区间的值域.
17．（2018高一上·滁州期中）
（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式.
【答案】（1）解：令 ，则 ， 所以 ， 即函数
（2）解：设 ，则由 ， 得 ，即 ， 所以 ，解得 . 所以 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）本题主要考查解析式的求法，只需用换元法令，可得出，再根据函数相等，即可得出结果；
（2）本题主要考查待定系数法来求函数的解析式，由f(x)是一次函数，可设，再由展开，根据对应系数相等即可取出结果。
18．求下列函数的值域：
（1）y= ；
（2）y= ．
【答案】（1）解：y= ；
化简：y= = =﹣1
∵1+x2≥1，
∴
故得函数y的范围是﹣1＜y≤1，即函数的值域为（﹣1，1]
（2）解：y= ．
∵﹣2x2+x+3≥0，
∴y≥0
∵﹣2x2+x+3=
∴y≤ =
故得函数y的范围是0≤y≤ ，即函数的值域为[0， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【分析】（1）利用分离常数法转化为二次函数求函数的值域．（2）利用配方求二次函数来求函数的值域．
19．（2019高一上·榆林期中）已知二次函数 的最小值为1，且满足
（1）求 的解析式；
（2）设 在区间 上的最小值为 ，求函数 的表达式。
【答案】（1）解：由题意可设 ，由 ，可得 ，所以 的解析式为
，化为一般式即为
（2）解： 图像的对称轴为 ，顶点坐标为（2，1），
当 时， 在区间 上单调递增，此时 ，
当 时， 在区间 上单调递减，此时 ，
当m+2>2,且m<2时，即0所以
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)根据 ， 的最小值为1，设 ，代入x=0，得a=2．即可求解（2）f（x）= ，顶点是（2，1），由于抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论
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