人教A版（2019）数学必修第一册1.1集合的概念
一、单选题
1．（2019高一上·凌源月考）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于 的正整数
2．（2019高一上·辽源期中）下列四个区间能表示数集 或 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019高一上·葫芦岛月考）若 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．（2019高一上·葫芦岛月考）方程组 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019高一上·平罗期中）设集合 则下列关系正确的是（ ）.
A． B． C． D．
6．（2019高一上·延安期中）已知集合S={a,b,c,}中的三个元素可构成 ABC的三条边长，那么 ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ）
A．｛1｝ B．｛ ｝
C．｛0，1｝ D．｛ ，0，1｝
8．（2019高一上·张家口月考）有下列说法：
（1）0与 表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 或 ；（3）方程 的所有解的集合可表示为 ；（4）集合 是有限集.其中正确的说法是（ ）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2） D．以上四种说法都不对
9．（2018高一上·遵义月考）函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数， 例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2 已知 定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x]， 若A={y|y=g(x)，0≤x≤1}， 则A中所有元素的和为 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
10．（2018高一上·黄陵期末）设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合A B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A B中所有元素之积为（ ）
A．-8 B．-16 C．8 D．16
二、填空题
11．用符号“∈”或“ ”填空：
（1）若集合P由小于 的实数构成，则2 P；
（2）若集合Q由可表示为n2+1( )的实数构成，则5 Q.
12．下面有四个命题：其中正确命题的个数为 ．
①集合N中最小的数是1；
②若﹣a不属N，a属N；
③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为2；
④x2+1=2x的解可表示为{1，1}．
13．（2018高一上·上海期中）已知集合 ，若 ，则
14．（2018高一上·黄陵期末）定义A-B={x|x∈A且x B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B= ．
15．（2017高一上·南通开学考）已知集合 ，且2∈A，3 A，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
16．已知集合A可表示为{a,a2, },求实数a应满足的条件.
17．（2018高一上·鹤岗期中）已知集合 ，集合 ．若 ，求实数m的值.
18．已知集合 ，其中 .
（1）若 A，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.
19．设集合B＝{x∈ | ∈N}．
（1）试判断元素1,-1与集合B的关系；
（2）用列举法表示集合B.
20．已知集合A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3） B，求m、n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】对A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.
对B, 2019年高考数学难题界定不明确,不能构成集合
对C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合
对D,小于 的正整数分别为1,2,3,能够组成集合
故答案为：B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.
2．【答案】B
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】根据区间的定义可知数集 或 可以用区间 表示.
故答案为：B.
【分析】根据区间的定义，将集合 表示为区间的形式，由此确定正确选项.
3．【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 ，不合题意，舍去；
若 ，则 ，易知当 时满足题意.
故答案为：B
【分析】分 和 两种情况讨论，即得解.
4．【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】由 解得 或
故所求方程组的解集为 .
故答案为：D
【分析】解方程组得 或 即得方程组的解集.
5．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】因为 ，解得 ， ，
所以 ，即 .
故答案为：B
【分析】解一元二次方程求出集合 的元素即可得出选项.
6．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为集合 中的元素是 ABC的三边长，
由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，
所以 ABC一定不是等腰三角形,
故答案为：D.
【分析】由已知利用集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，即可判断三角形的形状.
7．【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此 或 ，故m的取值集合是｛ ，0，1｝.
故答案为:D.
【分析】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,得到m的值.
8．【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】由题意，（1）中， 是一个实数， 表示同一个集合，所以（1）不正确；（2）中，根据集合的表示方法，可得由 组成的集合可表示为 或 ，所以（2）是正确的；（3）中，根据集合的表示方法，得方程 的所有解的集合可表示为 ，所以（3）不正确；（4）中，集合 是无限集，所以（4）不正确.
故答案为：C.
【分析】根据集合的的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
9．【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因此 ，
故答案为：C.
【分析】对x的范围进行讨论，[2x]在[0，2]上取整结果不同。分别写出A中元素，再求和。
10．【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合A B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A B={2，-4，-1}，
故A B中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8．
故答案为：C．
【分析】由定义的集合A⊙B的元素是由集合A,B的的元素的积构成，得到集合A⊙B有3个元素，再求积.
11．【答案】（1）
（2）∈
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】（1）因为2 ，所以2 不在由小于 的实数构成的集合P中，所以2 P.
故答案为： .
（2）因为5=22+1， ，所以5∈Q.
故答案为：∈
【分析】(1)集合P由小于 11 的实数构成，可得到集合P的元素，由与的大小关系得到关系；
(2)集合Q由可表示为n2+1( n ∈ N * )的实数构成，观察5能不能表示为n2+1( n ∈ N * )的形式，得到关系.
12．【答案】0
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于①，因为N中最小的数是0，所以①错
对于②例如﹣0.2 N，但0.2 N，故②错
对于③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为0故③错
对于④因为集合中元素是互异的，故④错
故答案为0
【分析】利用集合N是自然数集，其中最小的自然数是0，判断出①③是错的；通过举反例判断出②错；据集合中元素满足的三要素，判断出④错．
13．【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】∵集合 ，且 ，
∴
当x=1时， ，不满足互异性，舍去；
当 时， ，适合题意；
当 时 ，经检验： 适合题意，
故答案为：
【分析】首先根据已知条件得，对三种情况分别讨论，得出 。
14．【答案】{2}
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】∵A={2，3}，B={1，3，4}，
又∵A-B={x|x∈A且x B}，
∴A-B={2}.
故答案为：{2}.
【分析】由集合A-B的定义,得知其元素是集合A中的元素但不是集合B中的元素组成,得到A-B的元素.
15．【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：∵ ，且2∈A，3 A，
∴ ，
解得： ≤a 或2＜a≤3
故答案为 ．
【分析】利用集合与元素之间的关系得到关于a的不等式解出即可。
16．【答案】解：由题意可得A={a,a2, },由集合中元素的互异性可得 ,解得a≠0,a≠1,a≠-1.故实数a应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1
故答案为:a≠0,a≠1,a≠-1
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】由于集合A有三个元素,由集合元素的互异性得到三个元素之间互不相等,从而 得到a应满足的条件.
17．【答案】解：由 ，
经检验符合集合元素的互异性， 为所求
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】根据集合的包含关系，求出m值，代入相应的集合，验证是否符合集合中元素的互异性，即可求出实数m的值.
18．【答案】（1）解：∵ A，∴ 是方程 的根，
∴ ，解得 .
∴方程为 .
∴x1＝ ，x2＝－ ，此时A＝
（2）解：若a＝0，则方程为2x＋1＝0，x＝ ，A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素，则Δ＝4 4a＝0，
即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝ 1.
∴所求集合B＝{0，1}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)是集合A的元素，则满足方程，先求出a，再解方程得解集；
(2)集合A有且只有一个元素，则方程有且只有一个根，可能的情况有方程退化为一次方程，即a=0，或方程有两个相等的实根.
19．【答案】（1）解：当x＝1时， ＝3∈N.
当x＝-1时， ＝ N.因此1∈B,-1 B
（2）解：∵x∈Z， ∈N，∴3－x＝1,2,3,6.此时x＝2,1,0，－3，
∴B＝{2,1，0,-3}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)检查1,-1满不满足集合中的条件,得集合的关系;
(2)分析满足条件的所有可能值得到集合B.
20．【答案】解：将点（2，3）代入A 中的不等式得到：
4﹣3+m＞0，解得：m＞﹣1；
因为点（2，3）不在B中，
所以将点（2，3）代入B 中的不等式得到：
2+3﹣n≤0不成立，
即2+3﹣n＞0，
解得：n＜5
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】将P（2，3）的坐标代入不等式从而求出m，n的范围即可．
1 / 1人教A版（2019）数学必修第一册1.1集合的概念
一、单选题
1．（2019高一上·凌源月考）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于 的正整数
【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】对A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.
对B, 2019年高考数学难题界定不明确,不能构成集合
对C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合
对D,小于 的正整数分别为1,2,3,能够组成集合
故答案为：B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.
2．（2019高一上·辽源期中）下列四个区间能表示数集 或 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】根据区间的定义可知数集 或 可以用区间 表示.
故答案为：B.
【分析】根据区间的定义，将集合 表示为区间的形式，由此确定正确选项.
3．（2019高一上·葫芦岛月考）若 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 ，不合题意，舍去；
若 ，则 ，易知当 时满足题意.
故答案为：B
【分析】分 和 两种情况讨论，即得解.
4．（2019高一上·葫芦岛月考）方程组 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】由 解得 或
故所求方程组的解集为 .
故答案为：D
【分析】解方程组得 或 即得方程组的解集.
5．（2019高一上·平罗期中）设集合 则下列关系正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】因为 ，解得 ， ，
所以 ，即 .
故答案为：B
【分析】解一元二次方程求出集合 的元素即可得出选项.
6．（2019高一上·延安期中）已知集合S={a,b,c,}中的三个元素可构成 ABC的三条边长，那么 ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为集合 中的元素是 ABC的三边长，
由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，
所以 ABC一定不是等腰三角形,
故答案为：D.
【分析】由已知利用集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，即可判断三角形的形状.
7．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ）
A．｛1｝ B．｛ ｝
C．｛0，1｝ D．｛ ，0，1｝
【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此 或 ，故m的取值集合是｛ ，0，1｝.
故答案为:D.
【分析】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,得到m的值.
8．（2019高一上·张家口月考）有下列说法：
（1）0与 表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 或 ；（3）方程 的所有解的集合可表示为 ；（4）集合 是有限集.其中正确的说法是（ ）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2） D．以上四种说法都不对
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】由题意，（1）中， 是一个实数， 表示同一个集合，所以（1）不正确；（2）中，根据集合的表示方法，可得由 组成的集合可表示为 或 ，所以（2）是正确的；（3）中，根据集合的表示方法，得方程 的所有解的集合可表示为 ，所以（3）不正确；（4）中，集合 是无限集，所以（4）不正确.
故答案为：C.
【分析】根据集合的的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
9．（2018高一上·遵义月考）函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数， 例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2 已知 定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x]， 若A={y|y=g(x)，0≤x≤1}， 则A中所有元素的和为 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因此 ，
故答案为：C.
【分析】对x的范围进行讨论，[2x]在[0，2]上取整结果不同。分别写出A中元素，再求和。
10．（2018高一上·黄陵期末）设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合A B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A B中所有元素之积为（ ）
A．-8 B．-16 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合A B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A B={2，-4，-1}，
故A B中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8．
故答案为：C．
【分析】由定义的集合A⊙B的元素是由集合A,B的的元素的积构成，得到集合A⊙B有3个元素，再求积.
二、填空题
11．用符号“∈”或“ ”填空：
（1）若集合P由小于 的实数构成，则2 P；
（2）若集合Q由可表示为n2+1( )的实数构成，则5 Q.
【答案】（1）
（2）∈
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】（1）因为2 ，所以2 不在由小于 的实数构成的集合P中，所以2 P.
故答案为： .
（2）因为5=22+1， ，所以5∈Q.
故答案为：∈
【分析】(1)集合P由小于 11 的实数构成，可得到集合P的元素，由与的大小关系得到关系；
(2)集合Q由可表示为n2+1( n ∈ N * )的实数构成，观察5能不能表示为n2+1( n ∈ N * )的形式，得到关系.
12．下面有四个命题：其中正确命题的个数为 ．
①集合N中最小的数是1；
②若﹣a不属N，a属N；
③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为2；
④x2+1=2x的解可表示为{1，1}．
【答案】0
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于①，因为N中最小的数是0，所以①错
对于②例如﹣0.2 N，但0.2 N，故②错
对于③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为0故③错
对于④因为集合中元素是互异的，故④错
故答案为0
【分析】利用集合N是自然数集，其中最小的自然数是0，判断出①③是错的；通过举反例判断出②错；据集合中元素满足的三要素，判断出④错．
13．（2018高一上·上海期中）已知集合 ，若 ，则
【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】∵集合 ，且 ，
∴
当x=1时， ，不满足互异性，舍去；
当 时， ，适合题意；
当 时 ，经检验： 适合题意，
故答案为：
【分析】首先根据已知条件得，对三种情况分别讨论，得出 。
14．（2018高一上·黄陵期末）定义A-B={x|x∈A且x B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B= ．
【答案】{2}
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】∵A={2，3}，B={1，3，4}，
又∵A-B={x|x∈A且x B}，
∴A-B={2}.
故答案为：{2}.
【分析】由集合A-B的定义,得知其元素是集合A中的元素但不是集合B中的元素组成,得到A-B的元素.
15．（2017高一上·南通开学考）已知集合 ，且2∈A，3 A，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：∵ ，且2∈A，3 A，
∴ ，
解得： ≤a 或2＜a≤3
故答案为 ．
【分析】利用集合与元素之间的关系得到关于a的不等式解出即可。
三、解答题
16．已知集合A可表示为{a,a2, },求实数a应满足的条件.
【答案】解：由题意可得A={a,a2, },由集合中元素的互异性可得 ,解得a≠0,a≠1,a≠-1.故实数a应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1
故答案为:a≠0,a≠1,a≠-1
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】由于集合A有三个元素,由集合元素的互异性得到三个元素之间互不相等,从而 得到a应满足的条件.
17．（2018高一上·鹤岗期中）已知集合 ，集合 ．若 ，求实数m的值.
【答案】解：由 ，
经检验符合集合元素的互异性， 为所求
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】根据集合的包含关系，求出m值，代入相应的集合，验证是否符合集合中元素的互异性，即可求出实数m的值.
18．已知集合 ，其中 .
（1）若 A，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.
【答案】（1）解：∵ A，∴ 是方程 的根，
∴ ，解得 .
∴方程为 .
∴x1＝ ，x2＝－ ，此时A＝
（2）解：若a＝0，则方程为2x＋1＝0，x＝ ，A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素，则Δ＝4 4a＝0，
即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝ 1.
∴所求集合B＝{0，1}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)是集合A的元素，则满足方程，先求出a，再解方程得解集；
(2)集合A有且只有一个元素，则方程有且只有一个根，可能的情况有方程退化为一次方程，即a=0，或方程有两个相等的实根.
19．设集合B＝{x∈ | ∈N}．
（1）试判断元素1,-1与集合B的关系；
（2）用列举法表示集合B.
【答案】（1）解：当x＝1时， ＝3∈N.
当x＝-1时， ＝ N.因此1∈B,-1 B
（2）解：∵x∈Z， ∈N，∴3－x＝1,2,3,6.此时x＝2,1,0，－3，
∴B＝{2,1，0,-3}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)检查1,-1满不满足集合中的条件,得集合的关系;
(2)分析满足条件的所有可能值得到集合B.
20．已知集合A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3） B，求m、n的取值范围．
【答案】解：将点（2，3）代入A 中的不等式得到：
4﹣3+m＞0，解得：m＞﹣1；
因为点（2，3）不在B中，
所以将点（2，3）代入B 中的不等式得到：
2+3﹣n≤0不成立，
即2+3﹣n＞0，
解得：n＜5
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】将P（2，3）的坐标代入不等式从而求出m，n的范围即可．
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