初中数学北师大版七年级上学期 第五章 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
一、单选题
1．（2019七上·琼中期末）一块黎锦的周长为80cm；已知这块黎锦的长比宽多5cm，求它的长和宽.设这块黎锦的宽为xcm，则所列方程正确的是（ ）
A．x+(x+5)＝40 B．x+(x﹣5)＝40
C．x+(x+5)＝80 D．x+(x﹣5)＝80
2．（2018七上·宁波期中）如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018七上·天台月考）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形．设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x＋1＝(30－x)－2 B．x＋1＝(15－x)－2
C．x－1＝(30－x)＋2 D．x－1＝(15－x)＋2
4．一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形．设长方形的长为x cm，可列方程是（ ）
A．x-1=（30-x）+2 B．x-1=（15-x）+2
C．x+1=（30-x）-2 D．x+1=（15-x）-2
二、填空题
5．（2019七上·东阳期末）已知两个完全相同的大长方形，长为 ，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①、图②，那么，图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 （用含a的代数式表示）.
6．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
7．用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长与宽各多少米．如果设长方形的宽为x米，那么可得方程为 ．
8．一小圆柱形油桶的直径是8 cm，高为6 cm，另一大圆柱形的油桶的直径是10 cm，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为x cm，可建立方程为 ．
三、解答题
9．（2018七上·河南月考）在一个底面直径为 5cm，高为 18cm 的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内得水倒入一个底面直径为 6cm，高为 10cm
的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下 若装不下，那么瓶内水面还有多高 若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
四、综合题
10．（2019七下·卫辉期中）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面.
现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】由题意可得，
2[x+（x+5）]＝80，
得x+（x+5）＝40，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得矩形的周长=2（长+宽）可列方程.
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，
ax=1 bx，
解得
∴酒的体积为：
∴酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为：
故答案为：C.
【分析】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，则啤酒瓶中液体的体积可以表示为ax或1 bx，根据用两个不同的式子表示同一个量，这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可求出x的值，进而算出酒瓶内液体的体积，从而即可求出 酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比 。
3．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题可得：
长方形的宽为：30÷2-x=15-x，
∴x-1=（15-x）+2，
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长结合题意可得长方形的宽为：15-x，再由正方形的边长相等即可列出方程.
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为x cm，则宽为（15-x）cm，
由题意得，x-1=（15-x）+2．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的周长，可求出长+宽=15，可表示出长方形的宽，再根据正方形的边长相等即长方形的长-1=长方形的宽+2，列方程可得出答案。
5．【答案】a
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，
根据题意，得：x+2y=a、x=2y，
则4y=a，
图（1）中阴影部分周长为2b+2（a-x）+2x=2a+2b，图（2）中阴影部分的周长为2（a+b-2y）=2a+2b-4y，
图（1）阴影部分周长与图（2）阴影部分周长之差为：（2a+2b）-（2a+2b-4y）=4y=a.
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，根据已知图形可得方程：x+2y=a①、x=2y②，把②代入方程①可得4y=a，则可将图①和图②中的阴影部分周长用含y的的代数式表示出来，然后根据整式的加减法则求差即可求解。
6．【答案】 ， ，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： ∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升 cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升 cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣ t=0.5，
解得：t= 分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵ t﹣1=0.5，
解得：t= ，
∵ × =6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷ = 分钟， = ，即经过 分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升 ，
∴ ，解得：t= ；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为； 分钟，
∴5﹣1﹣2× （t﹣ ）=0.5，
解得：t= ，
综上所述开始注入 ， ， 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【分析】由题意甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1；根据注水1分钟，乙的水位上升 cm可知，注水1分钟，丙的水位上升 cm，由甲与乙的水位高度之差是0.5cm可分三种情况讨论求解：①当乙的水位低于甲的水位时，甲的水位-乙的水位=0.5可列方程求解；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，乙的水位-甲的水位=0.5可列方程求解；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，先计算乙的水位到达管子底部的时间，再根据题意可得相等关系：5-甲中原有的水的高度-丙的水位每分钟上升的高度X经过的时间=0.5，根据这个相等关系列方程即可求解。
7．【答案】2（x+x+0.6）=5.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的宽为x米，
可得方程：2（x+x+0.6）=5.2，
故答案为：2（x+x+0.6）=5.2
【分析】等量关系为：长=宽+0.6，；2（长+宽）5.2，列方程可解答。
8．【答案】π 52x=2.5π×42×6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设大圆柱油桶的高为x cm，则大圆柱形油桶的容积为：π×52×x，小圆柱形油桶的容积为π×42×6，根据等量关系列方程得：π 52x=2.5π×42×6
【分析】根据圆柱的体积=底面积×高，此题的等量关系为：大圆柱的体积=小圆柱的体积×2.5，列方程可解答。
9．【答案】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据题意得：
π （ ）2 x＝π （ ）2 18
解得：x＝12.5.
∵12.5＞10，∴不能完全装下
设瓶内水面还有ycm， 根据题意得： π×（5÷2） y=π×（5÷2） ×18-π×（6÷2） ×10，解得y=3.6.答： 不能完全装下 ， 瓶内水面还有3.6cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据倒入前后水的体积不变列出方程π （ ）2 x＝π （ ）2 18，解方程求出x=12.5，由 12.5＞10可知不能完全装下 ；再根据圆柱形瓶的底面积× 瓶内水的高度=两圆柱体积之差即可求出瓶内水面的高度.
10．【答案】（1）解：∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（38-x）张用B方法.
∴侧面的个数为：6x+4（38-x）=（2x+152）个，
底面的个数为：5（38-x）=（190-5x）个
（2）解：由题意，得（2x+152）：（190-5x）=3：2，
解得：x=14，
∴盒子的个数为： .
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由x张用A方法，就有（38-x）张用B方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3∶2建立方程求出x的值，于是可求出侧面的总数即可求解。
1 / 1初中数学北师大版七年级上学期 第五章 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
一、单选题
1．（2019七上·琼中期末）一块黎锦的周长为80cm；已知这块黎锦的长比宽多5cm，求它的长和宽.设这块黎锦的宽为xcm，则所列方程正确的是（ ）
A．x+(x+5)＝40 B．x+(x﹣5)＝40
C．x+(x+5)＝80 D．x+(x﹣5)＝80
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】由题意可得，
2[x+（x+5）]＝80，
得x+（x+5）＝40，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得矩形的周长=2（长+宽）可列方程.
2．（2018七上·宁波期中）如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，
ax=1 bx，
解得
∴酒的体积为：
∴酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为：
故答案为：C.
【分析】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，则啤酒瓶中液体的体积可以表示为ax或1 bx，根据用两个不同的式子表示同一个量，这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可求出x的值，进而算出酒瓶内液体的体积，从而即可求出 酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比 。
3．（2018七上·天台月考）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形．设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x＋1＝(30－x)－2 B．x＋1＝(15－x)－2
C．x－1＝(30－x)＋2 D．x－1＝(15－x)＋2
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题可得：
长方形的宽为：30÷2-x=15-x，
∴x-1=（15-x）+2，
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长结合题意可得长方形的宽为：15-x，再由正方形的边长相等即可列出方程.
4．一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形．设长方形的长为x cm，可列方程是（ ）
A．x-1=（30-x）+2 B．x-1=（15-x）+2
C．x+1=（30-x）-2 D．x+1=（15-x）-2
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为x cm，则宽为（15-x）cm，
由题意得，x-1=（15-x）+2．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的周长，可求出长+宽=15，可表示出长方形的宽，再根据正方形的边长相等即长方形的长-1=长方形的宽+2，列方程可得出答案。
二、填空题
5．（2019七上·东阳期末）已知两个完全相同的大长方形，长为 ，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①、图②，那么，图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 （用含a的代数式表示）.
【答案】a
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，
根据题意，得：x+2y=a、x=2y，
则4y=a，
图（1）中阴影部分周长为2b+2（a-x）+2x=2a+2b，图（2）中阴影部分的周长为2（a+b-2y）=2a+2b-4y，
图（1）阴影部分周长与图（2）阴影部分周长之差为：（2a+2b）-（2a+2b-4y）=4y=a.
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，根据已知图形可得方程：x+2y=a①、x=2y②，把②代入方程①可得4y=a，则可将图①和图②中的阴影部分周长用含y的的代数式表示出来，然后根据整式的加减法则求差即可求解。
6．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【答案】 ， ，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： ∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升 cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升 cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣ t=0.5，
解得：t= 分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵ t﹣1=0.5，
解得：t= ，
∵ × =6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷ = 分钟， = ，即经过 分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升 ，
∴ ，解得：t= ；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为； 分钟，
∴5﹣1﹣2× （t﹣ ）=0.5，
解得：t= ，
综上所述开始注入 ， ， 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【分析】由题意甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1；根据注水1分钟，乙的水位上升 cm可知，注水1分钟，丙的水位上升 cm，由甲与乙的水位高度之差是0.5cm可分三种情况讨论求解：①当乙的水位低于甲的水位时，甲的水位-乙的水位=0.5可列方程求解；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，乙的水位-甲的水位=0.5可列方程求解；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，先计算乙的水位到达管子底部的时间，再根据题意可得相等关系：5-甲中原有的水的高度-丙的水位每分钟上升的高度X经过的时间=0.5，根据这个相等关系列方程即可求解。
7．用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长与宽各多少米．如果设长方形的宽为x米，那么可得方程为 ．
【答案】2（x+x+0.6）=5.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的宽为x米，
可得方程：2（x+x+0.6）=5.2，
故答案为：2（x+x+0.6）=5.2
【分析】等量关系为：长=宽+0.6，；2（长+宽）5.2，列方程可解答。
8．一小圆柱形油桶的直径是8 cm，高为6 cm，另一大圆柱形的油桶的直径是10 cm，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为x cm，可建立方程为 ．
【答案】π 52x=2.5π×42×6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设大圆柱油桶的高为x cm，则大圆柱形油桶的容积为：π×52×x，小圆柱形油桶的容积为π×42×6，根据等量关系列方程得：π 52x=2.5π×42×6
【分析】根据圆柱的体积=底面积×高，此题的等量关系为：大圆柱的体积=小圆柱的体积×2.5，列方程可解答。
三、解答题
9．（2018七上·河南月考）在一个底面直径为 5cm，高为 18cm 的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内得水倒入一个底面直径为 6cm，高为 10cm
的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下 若装不下，那么瓶内水面还有多高 若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
【答案】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据题意得：
π （ ）2 x＝π （ ）2 18
解得：x＝12.5.
∵12.5＞10，∴不能完全装下
设瓶内水面还有ycm， 根据题意得： π×（5÷2） y=π×（5÷2） ×18-π×（6÷2） ×10，解得y=3.6.答： 不能完全装下 ， 瓶内水面还有3.6cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据倒入前后水的体积不变列出方程π （ ）2 x＝π （ ）2 18，解方程求出x=12.5，由 12.5＞10可知不能完全装下 ；再根据圆柱形瓶的底面积× 瓶内水的高度=两圆柱体积之差即可求出瓶内水面的高度.
四、综合题
10．（2019七下·卫辉期中）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面.
现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
【答案】（1）解：∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（38-x）张用B方法.
∴侧面的个数为：6x+4（38-x）=（2x+152）个，
底面的个数为：5（38-x）=（190-5x）个
（2）解：由题意，得（2x+152）：（190-5x）=3：2，
解得：x=14，
∴盒子的个数为： .
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由x张用A方法，就有（38-x）张用B方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3∶2建立方程求出x的值，于是可求出侧面的总数即可求解。
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