初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.5 确定圆的条件
一、单选题
1．（2018九上·下城期中）给定下列条件可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
【分析】确定一个圆需要两个条件：圆心和半径，其中圆心确定位置，半径确定大小。不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据确定圆的条件和性质即可判断求解。
2．（2020九上·景县期末）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形外心的含义进行判断即可得到答案。
3．（2019九上·龙湾期中）现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案
4．（2019九上·德清期末）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是（ ）．
A．D是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．D不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】 解：连结OA、OB、OD，如图，
∵O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OC=OE，
∴OA=OB=OE，
∴O为△ABE的外心，
又∵OA=OE≠OD，
∴O不是△ADE的外心.
故答案为：D.
【分析】连结OA、OB、OD，由三角形外心性质得OA=OB=OC，由正方形性质得OA=OB=OE，根据三角形外心定义可得O为△ABE的外心，由OA=OE≠OD，根据三角形外心定义可得O不是△ADE的外心.
5．（2018八上·新疆期末）如图，有 、 、 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．在AC、BC两边高线的交点处
D．在AC、BC两边中线的交点处
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
∴超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选择：B.
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理，满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，即可得到答案.
6．（2018九上·根河月考）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【答案】D
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心．
故答案为：D.
【分析】作弦AB，BC的垂直平分线，交点H即为圆心。
7．（2018九上·义乌期中）如图，小明为检验四边形MNPQ四个顶点是否在同一圆上，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点O为线段MN、MQ的垂直平分线交点，
∴ON=OM=OQ，
∴点M、N、Q一定在以O为圆心，OM为半径的圆上，
∴点P不在以O为圆心，OM为半径的圆上.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，再由三角形的外接圆性质即可得出答案.
8．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
9．（2017九上·武邑月考）给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中符合题意的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故本选项不符合题意;
②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项符合题意;
③圆上有无数个点,任意连接3个点即是圆的一个内接三角形,故本选项不符合题意;
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,所以到三角形三个顶点的距离相等,故本选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】在同一直线上的三点不能作圆，据此判断①；任意一个三角形都有一个外接圆，而一个圆会有无数个内接三角形，外接圆的圆心是三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等，据此判断②③④.
二、填空题
10．（2019九上·秀洲期中） 的两直角边长分别为6和8，则该 的外接圆的半径为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 的两直角边长分别为6和8，
斜边 ，
的外接圆的半径 ，
故答案为：5
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长，再由斜边为外接圆的直径计算 的外接圆的半径即可
11．（2019九上·龙湾期中）在平面直角坐标系中有 ， ， 三点， ， ， ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
【答案】（2，0）
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ， ， 不在同一直线上
经过点 ， ， 可以确定一个圆
该圆圆心必在线段 的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点 在线段 的垂直平分线上
由勾股定理得：
圆心坐标为
故答案为：
【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解
三、作图题
12．（2019九上·柯桥月考）如图，已知△ABC中，AC=6，∠ABC=45°.
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出结论，不写画法）；
（2）求出△ABC的外接圆半径.
【答案】（1）解：如图，圆O即为所求
（2）解：连接OA，OC
∵∠ABC=45°
∠AOC=90°
△AOC是Rt△
∵AC=6，OA=OC;
OC=3
∴圆O的半径为3
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由三角形三边中垂线的交点就是三角形的外接圆的圆心可知：作出三角形三边中垂线，其交点即为所求；
（2）连接OA、OC，由已知易得三角形AOC是直角三角形，用勾股定理可求得OC的长即可.
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一、单选题
1．（2018九上·下城期中）给定下列条件可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
2．（2020九上·景县期末）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
3．（2019九上·龙湾期中）现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019九上·德清期末）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是（ ）．
A．D是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．D不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
5．（2018八上·新疆期末）如图，有 、 、 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．在AC、BC两边高线的交点处
D．在AC、BC两边中线的交点处
6．（2018九上·根河月考）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
7．（2018九上·义乌期中）如图，小明为检验四边形MNPQ四个顶点是否在同一圆上，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
9．（2017九上·武邑月考）给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中符合题意的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
10．（2019九上·秀洲期中） 的两直角边长分别为6和8，则该 的外接圆的半径为 ．
11．（2019九上·龙湾期中）在平面直角坐标系中有 ， ， 三点， ， ， ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
三、作图题
12．（2019九上·柯桥月考）如图，已知△ABC中，AC=6，∠ABC=45°.
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出结论，不写画法）；
（2）求出△ABC的外接圆半径.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
【分析】确定一个圆需要两个条件：圆心和半径，其中圆心确定位置，半径确定大小。不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据确定圆的条件和性质即可判断求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形外心的含义进行判断即可得到答案。
3．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案
4．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】 解：连结OA、OB、OD，如图，
∵O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OC=OE，
∴OA=OB=OE，
∴O为△ABE的外心，
又∵OA=OE≠OD，
∴O不是△ADE的外心.
故答案为：D.
【分析】连结OA、OB、OD，由三角形外心性质得OA=OB=OC，由正方形性质得OA=OB=OE，根据三角形外心定义可得O为△ABE的外心，由OA=OE≠OD，根据三角形外心定义可得O不是△ADE的外心.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
∴超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选择：B.
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理，满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心．
故答案为：D.
【分析】作弦AB，BC的垂直平分线，交点H即为圆心。
7．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点O为线段MN、MQ的垂直平分线交点，
∴ON=OM=OQ，
∴点M、N、Q一定在以O为圆心，OM为半径的圆上，
∴点P不在以O为圆心，OM为半径的圆上.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，再由三角形的外接圆性质即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
9．【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故本选项不符合题意;
②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项符合题意;
③圆上有无数个点,任意连接3个点即是圆的一个内接三角形,故本选项不符合题意;
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,所以到三角形三个顶点的距离相等,故本选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】在同一直线上的三点不能作圆，据此判断①；任意一个三角形都有一个外接圆，而一个圆会有无数个内接三角形，外接圆的圆心是三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等，据此判断②③④.
10．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 的两直角边长分别为6和8，
斜边 ，
的外接圆的半径 ，
故答案为：5
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长，再由斜边为外接圆的直径计算 的外接圆的半径即可
11．【答案】（2，0）
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ， ， 不在同一直线上
经过点 ， ， 可以确定一个圆
该圆圆心必在线段 的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点 在线段 的垂直平分线上
由勾股定理得：
圆心坐标为
故答案为：
【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解
12．【答案】（1）解：如图，圆O即为所求
（2）解：连接OA，OC
∵∠ABC=45°
∠AOC=90°
△AOC是Rt△
∵AC=6，OA=OC;
OC=3
∴圆O的半径为3
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由三角形三边中垂线的交点就是三角形的外接圆的圆心可知：作出三角形三边中垂线，其交点即为所求；
（2）连接OA、OC，由已知易得三角形AOC是直角三角形，用勾股定理可求得OC的长即可.
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