2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册1.4 整式的乘法 同步练习
一、单选题
1．（2018·湖州）计算﹣3a （2b），正确的结果是（ ）
A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab
2．（2018八上·如皋期中）若 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．-2 C．5 D．2
3．（2018八上·海口期中）如果单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·毕节）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．a3+a4=a7
C．a3 a2=a5 D．23=6
5．（2018八上·甘肃期中）若（x﹣2）（x+3）=x2+ax+b，则a、b的值分别为（ ）
A．a=5，b=6 B．a=1，b=﹣6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6
6．（2018八上·重庆期中）若（x+a）（x+2）的计算结果中不含x的一次项，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
7．已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6
8．（2018八上·双清月考）已知（x﹣m）（x+n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
9．（2018八上·南召期中）由 ，可得：
，
即 ．①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．
下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2018八上·南召期中）计算： ．
11．（2018·临沂）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）= ．
12．（2018八上·双清月考）一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是 ．
13．（2018七下·市南区期中）多项式(mx+4)(2-3x)展开后不含x项，则m= .
14．已知：x=2a-b-c，y=2b-c-a，z=2c-a-b，则：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z的值是 。
三、解答题
15．（2018八上·孝感月考）计算：
（1）6mn2·(2－mn4)＋(－mn3)2；
（2） (1＋a)(1－a)＋(a－2)2
（3）(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝.
16．（2017八下·容县期末）先化简，再求值：2(a＋ )(a－ )－a(a－6)＋6，其中a＝ －1.
17．（2018七上·普陀期末）计算： ．
18．如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
19．一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图1或图2等图形的面积来表示．
（1）请写出下图所表示的代数恒等式： ；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．
20．（2017七下·苏州期中）对于任意有理数 ，我们规定符号 = ，
例如： = = ．
（1）求 的值；
（2）求 的值，其中 =0．
21．（2018·宁晋模拟）已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：-3a （2b）=-6ab，
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作积的系数，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式。
2．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由 ，
比较系数，得m=3+n，-15=3n，
解得m=-2.
故答案为：B.
【分析】将等式右边展开，使得等式两边关于x的对应项系数相等即可列出关于m，n的方程，解方程即可求得n，m的值.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】由同类项的定义,得 ，
解得： ，
∴原单项式为： x3y2与x3y2,其积是 x6y4.
故答案为：D.
【分析】根据同类项中，相同字母的指数分别相同即可列出方程组，求解得出a,b的值，从而得出两个单项式，再根据单项式的乘法法则即可算出答案。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；乘方的相关概念；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、原式=（﹣a2﹣b2+2ab）=-a2﹣b2+2ab，不符合题意；
B、a3+a4=a7，底数相同，指数不同不能相加，不符合题意；
C、a3 a2=a5，运算正确，符合题意；
D、23=2×2×2=8，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；根据乘方的意义，23表示3个相乘，应该等于8；根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加，利用法则，一一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6=x2+ax+b，
∴a=1，b=﹣6．
故答案为：B．
【分析】将等式的右边去括号，可转化为x2+x﹣6=x2+ax+b，利用对应项的系数相等，就可得出a、b的值。
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+a）（x+2）=x2+（2+a）x+2a．
又∵结果中不含x的项，
∴2+a=0，
解得a=-2．
故答案为：D.
【分析】先根据多项式乘以多项式去括号，再合并同类项，由于题中告知计算的结果不含有x的项，从而得出x项的系数应该为0，从而列出方程，求解即可。
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，得
2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2x2－4x－6．
b＝－4，c＝－6
故答案为：D．
【分析】先将2(x-3)(x+1)进行计算可得2x2-4x-6，再由多项式2x2+bx+c=2x2-4x-6，即可知b=-4，c=-6。
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，
∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，
∴n-m=-3，
则m-n=3，
故答案为：D.
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，合并同类项，直接求出m﹣n的值.
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】A、（x+4y）（x2-4xy+16y2）=x3+64y3，不符合题意；
B、（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3+y3，不符合题意；
C、x3+27=（x+3）（x2-3x+9），不符合题意；
D、（a+1）（a2-a+1）=a3+1，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据立方公式的结构形式：①是一个二项式乘以一个三项式，二项式是两个数的和，三项式是这两个数的平方和与这两个数积的差；②是一个二项式乘以一个三项式，二项式是两个数的差，三项式是这两个数的平方和与这两个数积的和，根据结论特点即可一一判断。
10．【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】 = .
故答案为： .
【分析】单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，相同的字母按同底数幂的乘法法则进行计算，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式。
11．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，
故答案为1．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，去括号合并后，整体代入即可解答。
12．【答案】3a2+4ab﹣15b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】S=0.5*（2a+6b）*（3a﹣5b）=3a2+4ab﹣15b2
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd计算即可.
13．【答案】6
【知识点】单项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：(mx+4)(2-3x)
=2mx-3mx2+8-12x
=-3mx2+（2m-12）x+8
∵多项式(mx+4)(2-3x)展开后不含x项，
∴2m-12=0
解之：m=6
故答案为：6
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则，将括号展开，合并同类项，再根据题意得出一次项系数为0，建立方程求解即可。
14．【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z
=（b-c）(2a-b-c)+（c-a）(2b-c-a)+（a-b）(2c-a-b)
=2ab-b2-bc-2ac+bc+c2+2bc-c2-ac-2ab+ac+a2+2ac-a2-ab-2bc+ab+b2
=0
【分析】多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，求出并化简整式.
15．【答案】（1）解：原式=12mn2- 6m2n6-m2n6
=12mn2- 7m2n6
（2）解：原式=1-a2+a2-4a+4
=-4a+5
（3）解：原式=x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2－4y2
=-x2+8xy
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式
【解析】【分析】利用分配律，乘法公式，同底数幂乘法，合并同类项，注意细节。
16．【答案】解：原式＝2（a2-3）-a2+6a+6 =2a2-6-a2+6a+6 =a2+6a当a＝ －1时，原式＝4 －3
【知识点】代数式求值；单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
17．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd.
18．【答案】解：长方形地块的长为：(3a+2b)+(2a-b)，宽为4a，
这块地的面积为：4a·[(3a+2b)+(2a-b)]
=4a·(5a+b)=4a·5a+4a·b=20a2+4ab.
答：这块地的面积为20a2+4ab.
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】根据图形得到长方形地块的长和宽，由长方形的面积公式得到单项式乘以多项式；化简整式.
19．【答案】（1）(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
（2）解：如图所示：
（3）解：如a(a＋2b)＝a2＋2ab，与之对应的几何图形如图．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】根据数形结合思想和长方形的面积公式，得到多项式乘以多项式的代数式；（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd.
20．【答案】（1）解：（ - 2 ， 3 ） （ 4 ， 5 ）=（-2）×5-3×4=-10-12=-22.
（2）解：（ 3 a+ 1 ， a- 2 ） （ a+ 2 ， a- 3 ） =（3a+1）(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-8a-3-a2+4=2a2-8a+1,
因为a2 - 4 a+ 1 =0，所以a2-4a=-1,
则原式=2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题中的新定义，得（ - 2 ， 3 ） （ 4 ， 5 ）=（-2）×5-3×4；
（2）根据新定义化简（ 3 a+ 1 ， a- 2 ） （ a+ 2 ， a- 3 ） ，根据a2 - 4 a+ 1 =0，得a2-4a=-1,
21．【答案】解：∵a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），
∴M﹣N=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014）
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣[（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2015）]
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1 a2015
=a1 a2015＞0，
∴M＞N
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】要比较M，N的大小，只需要求出M，N之差即可比较大小。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版七年级下册1.4 整式的乘法 同步练习
一、单选题
1．（2018·湖州）计算﹣3a （2b），正确的结果是（ ）
A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：-3a （2b）=-6ab，
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作积的系数，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式。
2．（2018八上·如皋期中）若 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．-2 C．5 D．2
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由 ，
比较系数，得m=3+n，-15=3n，
解得m=-2.
故答案为：B.
【分析】将等式右边展开，使得等式两边关于x的对应项系数相等即可列出关于m，n的方程，解方程即可求得n，m的值.
3．（2018八上·海口期中）如果单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】由同类项的定义,得 ，
解得： ，
∴原单项式为： x3y2与x3y2,其积是 x6y4.
故答案为：D.
【分析】根据同类项中，相同字母的指数分别相同即可列出方程组，求解得出a,b的值，从而得出两个单项式，再根据单项式的乘法法则即可算出答案。
4．（2018·毕节）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．a3+a4=a7
C．a3 a2=a5 D．23=6
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；乘方的相关概念；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、原式=（﹣a2﹣b2+2ab）=-a2﹣b2+2ab，不符合题意；
B、a3+a4=a7，底数相同，指数不同不能相加，不符合题意；
C、a3 a2=a5，运算正确，符合题意；
D、23=2×2×2=8，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；根据乘方的意义，23表示3个相乘，应该等于8；根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加，利用法则，一一判断即可。
5．（2018八上·甘肃期中）若（x﹣2）（x+3）=x2+ax+b，则a、b的值分别为（ ）
A．a=5，b=6 B．a=1，b=﹣6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6=x2+ax+b，
∴a=1，b=﹣6．
故答案为：B．
【分析】将等式的右边去括号，可转化为x2+x﹣6=x2+ax+b，利用对应项的系数相等，就可得出a、b的值。
6．（2018八上·重庆期中）若（x+a）（x+2）的计算结果中不含x的一次项，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+a）（x+2）=x2+（2+a）x+2a．
又∵结果中不含x的项，
∴2+a=0，
解得a=-2．
故答案为：D.
【分析】先根据多项式乘以多项式去括号，再合并同类项，由于题中告知计算的结果不含有x的项，从而得出x项的系数应该为0，从而列出方程，求解即可。
7．已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，得
2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2x2－4x－6．
b＝－4，c＝－6
故答案为：D．
【分析】先将2(x-3)(x+1)进行计算可得2x2-4x-6，再由多项式2x2+bx+c=2x2-4x-6，即可知b=-4，c=-6。
8．（2018八上·双清月考）已知（x﹣m）（x+n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，
∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，
∴n-m=-3，
则m-n=3，
故答案为：D.
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，合并同类项，直接求出m﹣n的值.
9．（2018八上·南召期中）由 ，可得：
，
即 ．①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．
下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】A、（x+4y）（x2-4xy+16y2）=x3+64y3，不符合题意；
B、（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3+y3，不符合题意；
C、x3+27=（x+3）（x2-3x+9），不符合题意；
D、（a+1）（a2-a+1）=a3+1，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据立方公式的结构形式：①是一个二项式乘以一个三项式，二项式是两个数的和，三项式是这两个数的平方和与这两个数积的差；②是一个二项式乘以一个三项式，二项式是两个数的差，三项式是这两个数的平方和与这两个数积的和，根据结论特点即可一一判断。
二、填空题
10．（2018八上·南召期中）计算： ．
【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】 = .
故答案为： .
【分析】单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，相同的字母按同底数幂的乘法法则进行计算，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式。
11．（2018·临沂）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）= ．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，
故答案为1．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，去括号合并后，整体代入即可解答。
12．（2018八上·双清月考）一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是 ．
【答案】3a2+4ab﹣15b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】S=0.5*（2a+6b）*（3a﹣5b）=3a2+4ab﹣15b2
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd计算即可.
13．（2018七下·市南区期中）多项式(mx+4)(2-3x)展开后不含x项，则m= .
【答案】6
【知识点】单项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：(mx+4)(2-3x)
=2mx-3mx2+8-12x
=-3mx2+（2m-12）x+8
∵多项式(mx+4)(2-3x)展开后不含x项，
∴2m-12=0
解之：m=6
故答案为：6
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则，将括号展开，合并同类项，再根据题意得出一次项系数为0，建立方程求解即可。
14．已知：x=2a-b-c，y=2b-c-a，z=2c-a-b，则：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z的值是 。
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z
=（b-c）(2a-b-c)+（c-a）(2b-c-a)+（a-b）(2c-a-b)
=2ab-b2-bc-2ac+bc+c2+2bc-c2-ac-2ab+ac+a2+2ac-a2-ab-2bc+ab+b2
=0
【分析】多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，求出并化简整式.
三、解答题
15．（2018八上·孝感月考）计算：
（1）6mn2·(2－mn4)＋(－mn3)2；
（2） (1＋a)(1－a)＋(a－2)2
（3）(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝.
【答案】（1）解：原式=12mn2- 6m2n6-m2n6
=12mn2- 7m2n6
（2）解：原式=1-a2+a2-4a+4
=-4a+5
（3）解：原式=x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2－4y2
=-x2+8xy
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式
【解析】【分析】利用分配律，乘法公式，同底数幂乘法，合并同类项，注意细节。
16．（2017八下·容县期末）先化简，再求值：2(a＋ )(a－ )－a(a－6)＋6，其中a＝ －1.
【答案】解：原式＝2（a2-3）-a2+6a+6 =2a2-6-a2+6a+6 =a2+6a当a＝ －1时，原式＝4 －3
【知识点】代数式求值；单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
17．（2018七上·普陀期末）计算： ．
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd.
18．如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
【答案】解：长方形地块的长为：(3a+2b)+(2a-b)，宽为4a，
这块地的面积为：4a·[(3a+2b)+(2a-b)]
=4a·(5a+b)=4a·5a+4a·b=20a2+4ab.
答：这块地的面积为20a2+4ab.
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】根据图形得到长方形地块的长和宽，由长方形的面积公式得到单项式乘以多项式；化简整式.
19．一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图1或图2等图形的面积来表示．
（1）请写出下图所表示的代数恒等式： ；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．
【答案】（1）(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
（2）解：如图所示：
（3）解：如a(a＋2b)＝a2＋2ab，与之对应的几何图形如图．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】根据数形结合思想和长方形的面积公式，得到多项式乘以多项式的代数式；（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd.
20．（2017七下·苏州期中）对于任意有理数 ，我们规定符号 = ，
例如： = = ．
（1）求 的值；
（2）求 的值，其中 =0．
【答案】（1）解：（ - 2 ， 3 ） （ 4 ， 5 ）=（-2）×5-3×4=-10-12=-22.
（2）解：（ 3 a+ 1 ， a- 2 ） （ a+ 2 ， a- 3 ） =（3a+1）(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-8a-3-a2+4=2a2-8a+1,
因为a2 - 4 a+ 1 =0，所以a2-4a=-1,
则原式=2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题中的新定义，得（ - 2 ， 3 ） （ 4 ， 5 ）=（-2）×5-3×4；
（2）根据新定义化简（ 3 a+ 1 ， a- 2 ） （ a+ 2 ， a- 3 ） ，根据a2 - 4 a+ 1 =0，得a2-4a=-1,
21．（2018·宁晋模拟）已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．
【答案】解：∵a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），
∴M﹣N=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014）
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣[（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2015）]
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1 a2015
=a1 a2015＞0，
∴M＞N
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】要比较M，N的大小，只需要求出M，N之差即可比较大小。
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