初中数学人教版八年级上册 第十四章 14.2乘法公式
一、单选题
1．（2019八上·渝中期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C．（ +y）（y﹣ ） D．（x﹣2）（x+1）
2．（2019八上·白云期末）计算： ＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2018八上·定西期末）计算(x﹣y+z)(x+y﹣z)的正确结果为（ ）
A．x2﹣y2+2xy﹣z2 B．x2﹣2xy+y2﹣z2
C．x2+2xy+y2﹣z2 D．x2+y2﹣2xy+z2
4．（2019八上·临洮期末）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
6．（2018八上·如皋期中）若x2+kx+81是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18 B．﹣18 C．±9 D．±18
7．如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
8．（2020八下·涡阳月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2020八下·佛山期中）下列各数能整除 212-1的是（ ）
A．11 B．13 C．63 D．64
10．（2020八上·丹江口期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020八上·许昌期末）计算： .
12．（2020八下·太原月考）某多项式可以因式分解为a(a+2b)(-2b+a)，则该多项式为 。
13．（2020八下·重庆月考）若 ， ， ，则代数式 的值为 .
14．已知x2+=2，则+x9++x= ．
三、计算题
15．（2019八上·孝南月考）已知a－b＝7，ab＝－10.求：
（1）a2＋b2的值；
（2）(a＋b)2＋2(a－b)2的值.
16．（2020八上·景县期末）用简便方法计算：
（1）1002-200×99+992
（2）2018×2020-20192
四、解答题
17．试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数．
18．（2019八上·湛江期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
19．阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：995×1005
=（1000﹣5）（1000+5）①
=10002﹣52②
=999975．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①9×11×101×10 001；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式中没有完全相同的项，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
B、两个二项式中，所有的项都是完全相同的，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
C、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，故可以使用平方差公式进行计算，正确；
D、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项不只有符号不同，故不可以使用平方差公式进行计算，错误.
故答案为：C.
【分析】两个二项式相乘，如果这两个二项式满足有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式进行计算.
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式＝y2﹣y+ ，
故答案为：A．
【分析】将式子利用完全平方公式进行展开即可得到答案。
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】（x-y+z）（x+y-z）
=[x-（y-z）][x+（y-z）]
=x2-（y-z）2
=x2-y2-z2+2yz．
故选：A．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A.符合题意.
B. 不符合题意.
C. 不符合题意.
D. 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】（1）符合平方差公式的特征：a2-b2=(a+b)(a-b)，结合平方差公式分解因式即可得原式（a+2b）（a-2b）;
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”即可判断；
（3）根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”即可判断；
（4）根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”即可得原式=x2-9y2.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，
∴x2﹣xy+2+y2﹣xy﹣4=0，
∴（x﹣y）2=2，
∴x﹣y的值是：± ．
故答案为：D
【分析】将已知的等式左右两边分别相加，合并同类项后，用完全平方公式整理可得，两边开平方即可求解。
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 是完全平方式，
.
故答案为：D.
【分析】完全平方公式为：.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3.
故答案为：A.
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】由于大正方形的边长为 ，又大正方形的面积为13，
即 ，而小正方形的面积表达式为 ，而小正方形的面积表达式为
故本题符合题意答案为C．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
9．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
∴所给的各数中能整除 212-1 的是63．
故答案为：C．
【分析】把 212-1 用平方差公式分解因数可求解．
10．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积-小正方形的面积= ，
矩形的面积= ，
故 ，
故答案为：A．
【分析】由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
11．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后运用平方差公式计算即可.
12．【答案】a3-4ab2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 a(a+2b)(-2b+a)=a（a2-4b2）=a3-4ab2
【分析】根据平方差公式，可进行求解。
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： +ab-bc+ac
= （ +2ab-2bc+2ac）
= [ ]
∵ ， ，
∴原式= [ （-1）2+（-4）2+32]
= ×26
=13
故答案为：13.
【分析】首先把 +ab-bc+ac变形为 （ +2ab-2bc+2ac），利用完全平方公式，再把a、b、c代入求值即可.
14．【答案】±4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2+=2，
∴﹣2x =2，
∴=4，
∴x+=±2，
①x+=2时，
x3+=（x+）（x2-x +）=2×（2-1）=2，
∴两边平方得：x6+2x3 +=4，
∴x6+=4-2=2，
x9+=（x3）3+=（x3+）（x6﹣x3 +）=2×（2-1）=2，
∴+x9++x=2+2=4；
②x+=-2时，同法可求+x9++x=-2-2=-4．
故答案为：±4．
【分析】本题考查了完全平方公式和立方和公式的应用，关键是灵活运用公式：立方和公式x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．进行计算．
15．【答案】（1）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49.
∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29
（2）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab.
∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2
=9+2×49
=9+98
=107
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题.
16．【答案】（1） 原式=1002-2×100×99+992=（100-99）2=1
（2） 原式=（2019-1）×（2019+1）-20192=（20192-1）-20192=-1.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据式子可知，此为完全平方式的展开式，将其变为完全平方式即可简便计算；
（2）将2018×2020利用平方差公式展开简便运算，再与后面的平方相减即可。
17．【答案】解答：证明：x2+y2+6x-4y+15 = x2 +6x+9+y2-4y+4+2 =(x+3)2+(y-2)2+2， 因为：(x+3)2≥0, (y-2)2≥0 所以(x+3)2+(y-2)2+2>0， 所以代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式将代数式变形，再根据平方的定义得出结论．
18．【答案】解：证明：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
a=b，a=c，b=c
即可a=b=c
∴△ABC是等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】通过”拆项法“将原式利用完全平方公式分组因式分解，然后利用非负数的性质得到三边关系，从而可判定该三角形形状。
19．【答案】（1）平方差公式
（2）解：①9×11×101×10 001
=（10﹣1）（10+1）×101×10 001
=99×101×10 001
=（100﹣1）（100+1）×10 001
=9999×10 001
=（10000﹣1）（10000+1）
=99999999；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；
故答案为：平方差公式；
【分析】（1）通过观察，利用平方差公式进行化简。（2）利用平方差公式，进行拆分，通过观察规律，进行化简。
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十四章 14.2乘法公式
一、单选题
1．（2019八上·渝中期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C．（ +y）（y﹣ ） D．（x﹣2）（x+1）
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式中没有完全相同的项，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
B、两个二项式中，所有的项都是完全相同的，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
C、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，故可以使用平方差公式进行计算，正确；
D、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项不只有符号不同，故不可以使用平方差公式进行计算，错误.
故答案为：C.
【分析】两个二项式相乘，如果这两个二项式满足有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式进行计算.
2．（2019八上·白云期末）计算： ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式＝y2﹣y+ ，
故答案为：A．
【分析】将式子利用完全平方公式进行展开即可得到答案。
3．（2018八上·定西期末）计算(x﹣y+z)(x+y﹣z)的正确结果为（ ）
A．x2﹣y2+2xy﹣z2 B．x2﹣2xy+y2﹣z2
C．x2+2xy+y2﹣z2 D．x2+y2﹣2xy+z2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】（x-y+z）（x+y-z）
=[x-（y-z）][x+（y-z）]
=x2-（y-z）2
=x2-y2-z2+2yz．
故选：A．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．
4．（2019八上·临洮期末）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A.符合题意.
B. 不符合题意.
C. 不符合题意.
D. 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】（1）符合平方差公式的特征：a2-b2=(a+b)(a-b)，结合平方差公式分解因式即可得原式（a+2b）（a-2b）;
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”即可判断；
（3）根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”即可判断；
（4）根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”即可得原式=x2-9y2.
5．若x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，
∴x2﹣xy+2+y2﹣xy﹣4=0，
∴（x﹣y）2=2，
∴x﹣y的值是：± ．
故答案为：D
【分析】将已知的等式左右两边分别相加，合并同类项后，用完全平方公式整理可得，两边开平方即可求解。
6．（2018八上·如皋期中）若x2+kx+81是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18 B．﹣18 C．±9 D．±18
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 是完全平方式，
.
故答案为：D.
【分析】完全平方公式为：.
7．如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3.
故答案为：A.
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
8．（2020八下·涡阳月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】由于大正方形的边长为 ，又大正方形的面积为13，
即 ，而小正方形的面积表达式为 ，而小正方形的面积表达式为
故本题符合题意答案为C．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
9．（2020八下·佛山期中）下列各数能整除 212-1的是（ ）
A．11 B．13 C．63 D．64
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
∴所给的各数中能整除 212-1 的是63．
故答案为：C．
【分析】把 212-1 用平方差公式分解因数可求解．
10．（2020八上·丹江口期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积-小正方形的面积= ，
矩形的面积= ，
故 ，
故答案为：A．
【分析】由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
二、填空题
11．（2020八上·许昌期末）计算： .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后运用平方差公式计算即可.
12．（2020八下·太原月考）某多项式可以因式分解为a(a+2b)(-2b+a)，则该多项式为 。
【答案】a3-4ab2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 a(a+2b)(-2b+a)=a（a2-4b2）=a3-4ab2
【分析】根据平方差公式，可进行求解。
13．（2020八下·重庆月考）若 ， ， ，则代数式 的值为 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： +ab-bc+ac
= （ +2ab-2bc+2ac）
= [ ]
∵ ， ，
∴原式= [ （-1）2+（-4）2+32]
= ×26
=13
故答案为：13.
【分析】首先把 +ab-bc+ac变形为 （ +2ab-2bc+2ac），利用完全平方公式，再把a、b、c代入求值即可.
14．已知x2+=2，则+x9++x= ．
【答案】±4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2+=2，
∴﹣2x =2，
∴=4，
∴x+=±2，
①x+=2时，
x3+=（x+）（x2-x +）=2×（2-1）=2，
∴两边平方得：x6+2x3 +=4，
∴x6+=4-2=2，
x9+=（x3）3+=（x3+）（x6﹣x3 +）=2×（2-1）=2，
∴+x9++x=2+2=4；
②x+=-2时，同法可求+x9++x=-2-2=-4．
故答案为：±4．
【分析】本题考查了完全平方公式和立方和公式的应用，关键是灵活运用公式：立方和公式x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．进行计算．
三、计算题
15．（2019八上·孝南月考）已知a－b＝7，ab＝－10.求：
（1）a2＋b2的值；
（2）(a＋b)2＋2(a－b)2的值.
【答案】（1）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49.
∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29
（2）解：∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab.
∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2
=9+2×49
=9+98
=107
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题.
16．（2020八上·景县期末）用简便方法计算：
（1）1002-200×99+992
（2）2018×2020-20192
【答案】（1） 原式=1002-2×100×99+992=（100-99）2=1
（2） 原式=（2019-1）×（2019+1）-20192=（20192-1）-20192=-1.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据式子可知，此为完全平方式的展开式，将其变为完全平方式即可简便计算；
（2）将2018×2020利用平方差公式展开简便运算，再与后面的平方相减即可。
四、解答题
17．试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数．
【答案】解答：证明：x2+y2+6x-4y+15 = x2 +6x+9+y2-4y+4+2 =(x+3)2+(y-2)2+2， 因为：(x+3)2≥0, (y-2)2≥0 所以(x+3)2+(y-2)2+2>0， 所以代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式将代数式变形，再根据平方的定义得出结论．
18．（2019八上·湛江期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
【答案】解：证明：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
a=b，a=c，b=c
即可a=b=c
∴△ABC是等边三角形
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】通过”拆项法“将原式利用完全平方公式分组因式分解，然后利用非负数的性质得到三边关系，从而可判定该三角形形状。
19．阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：995×1005
=（1000﹣5）（1000+5）①
=10002﹣52②
=999975．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①9×11×101×10 001；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
【答案】（1）平方差公式
（2）解：①9×11×101×10 001
=（10﹣1）（10+1）×101×10 001
=99×101×10 001
=（100﹣1）（100+1）×10 001
=9999×10 001
=（10000﹣1）（10000+1）
=99999999；
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；
故答案为：平方差公式；
【分析】（1）通过观察，利用平方差公式进行化简。（2）利用平方差公式，进行拆分，通过观察规律，进行化简。
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