【精品解析】人教A版（2019）数学必修第一册3.3幂函数

人教A版（2019）数学必修第一册3.3幂函数
一、单选题
1．（2019高一上·榆林期中）下列函数为幂函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·吉林期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为 （　　）
A． B．1 C．2 D．8
3．（2018高一上·河南月考）设 它们的大小关系是（　　）
A．c4．（2019高一上·西安期中）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－3
5．（2019高一上·鹤壁期中）若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（–∞，0） D．（1，+∞）
6．（2018高二下·定远期末）在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（　　）
A．c8．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列结论中，正确的是（　　）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
二、填空题
9．（2019高一上·石嘴山期中）已知关于 的函数 是幂函数，则 　 　．
10．（2018高一上·山西期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为　 　函数．（填奇偶性）
11．（2018高一上·南京期中）幂函数y= 的图象是　 　（填序号）．
①. ②.
③. ④.
12．（2019高二下·邗江月考）已知幂函数 的图象过点 ，则此函数的解析式为　 　．
13．（2019高一上·忻州月考）幂函数 在 时为减函数，则m=　 　。
三、解答题
14．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）2.3 ，2.4 ；
（2） ， ；
（3）(－0.31) ，0.35 .
15．（2019高一上·杭州期中）已知幂函数 的图象过点 和 ．
（1）求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求实数 的值．
16．（幂函数的概念、解析式、定义域、值域+38）已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）
17．（2019高一上·南充期中）已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由幂函数的定义 可知，
故答案为：A。
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据幂函数过点可求出幂函数解析式，即可计算求值.
3．【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】y= 在（0，+∞）上是增函数，而 ，
由 ，可知c故答案为：D.
【分析】首先可以假设一个幂函数，根据幂函数的单调性得a，b，c的大小。
4．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知 ，由此能求出n的值．
5．【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α= >0，故函数
f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．
故答案为：D．
【分析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α= >0，再根据幂函数的单调性得到06．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】若 在 递增，排除 选项，
递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，
即 时，不合题意；
若 ， 在 递减，可排除 选项，
由 递减可排除 ，
故答案为：B.
【分析】解决本题时，针对每一个选项进行证明，对于A选项，由幂函数的图象，知，所以直线斜率为负，对于C选项，x为偶数，所以直线与y轴的截距为正，对于D选项，x为奇数，直线斜率为正，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
8．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
9．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】关于 的函数 是幂函数，则 .
【分析】由已知利用幂函数的概念，得到，即可求出m的值.
10．【答案】偶
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 是幂函数，所以可设 ，
又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，
∴ ，∴ ，
∴f（x）为偶函数．
故答案为：偶．
【分析】先设 ，得到a=2，再利用幂函数的性质，即可判断f（x）为偶函数.
11．【答案】③
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，在(0，+∞)单调递增，比y=x增长的慢则选③.
故答案为：③
【分析】由已知利用幂函数的性质，即可得到幂函数的图象.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ，图象过点 ，则 ，函数的解析式为 .
【分析】将点的坐标代入，求出n，即可得到幂函数的表达式.
13．【答案】2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为 是幂函数，所以 =1，故m=2或m=-1，又幂函数 在 时为减函数，所以-5m-3<0，所以m=2．
【分析】由已知函数 是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
14．【答案】（1）解：∵y＝ 为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3 <2.4
（2）解：∵y＝ 为(0，＋∞)上的减函数，又 < ，
∴( ) >( )
（3）解：∵y＝ 为R上的偶函数，∴ ＝ .
又函数y＝ 为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，∴0.31 <0.35 ，即(－0.31) <0.35 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】(1)结合幂函数的单调性的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。
15．【答案】（1）解：因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ；
所以
又点 也在幂函数上 ，所以
（2）解：由（1）知， ，
①当 时，函数 在区间 上单调递增．
由题意可得： ，
解得 ；
②当 时，函数 在区间 上单调递减．
∴ ，
解得 ．
综上所述， 或 ．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先由幂函数 的图象过点 ，求出解析式，再由图像过点 ，即可求出结果；（2）先由题意得到 ，分别讨论 ， 两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.
16．【答案】（1）解：函数f（x）是幂函数，则m3﹣m+1=1，
解得：m=0，或1或﹣1，
又f（x）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴f（x）=x﹣4；
（2）解：由（1）得：f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）递增，
故|x+1|＜|x﹣2|，|x+1|≠0，解得：x＜ 且x≠﹣1，
故不等式的解集是： ．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，求出函数f（x）的解析式即可；（2）根据函数的单调性、奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
17．【答案】（1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得 ，再利用 在 上单调递增，即可得出 范围；（2）由于 在区间 ， 上都是减函数，且 ，分三种情况讨论，即可得出．
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一、单选题
1．（2019高一上·榆林期中）下列函数为幂函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由幂函数的定义 可知，
故答案为：A。
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
2．（2019高一上·吉林期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为 （　　）
A． B．1 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据幂函数过点可求出幂函数解析式，即可计算求值.
3．（2018高一上·河南月考）设 它们的大小关系是（　　）
A．c【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】y= 在（0，+∞）上是增函数，而 ，
由 ，可知c故答案为：D.
【分析】首先可以假设一个幂函数，根据幂函数的单调性得a，b，c的大小。
4．（2019高一上·西安期中）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－3
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知 ，由此能求出n的值．
5．（2019高一上·鹤壁期中）若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（–∞，0） D．（1，+∞）
【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α= >0，故函数
f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．
故答案为：D．
【分析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α= >0，再根据幂函数的单调性得到06．（2018高二下·定远期末）在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】若 在 递增，排除 选项，
递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，
即 时，不合题意；
若 ， 在 递减，可排除 选项，
由 递减可排除 ，
故答案为：B.
【分析】解决本题时，针对每一个选项进行证明，对于A选项，由幂函数的图象，知，所以直线斜率为负，对于C选项，x为偶数，所以直线与y轴的截距为正，对于D选项，x为奇数，直线斜率为正，即可得出答案。
7．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（　　）
A．c【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
8．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列结论中，正确的是（　　）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
二、填空题
9．（2019高一上·石嘴山期中）已知关于 的函数 是幂函数，则 　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】关于 的函数 是幂函数，则 .
【分析】由已知利用幂函数的概念，得到，即可求出m的值.
10．（2018高一上·山西期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为　 　函数．（填奇偶性）
【答案】偶
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 是幂函数，所以可设 ，
又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，
∴ ，∴ ，
∴f（x）为偶函数．
故答案为：偶．
【分析】先设 ，得到a=2，再利用幂函数的性质，即可判断f（x）为偶函数.
11．（2018高一上·南京期中）幂函数y= 的图象是　 　（填序号）．
①. ②.
③. ④.
【答案】③
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，在(0，+∞)单调递增，比y=x增长的慢则选③.
故答案为：③
【分析】由已知利用幂函数的性质，即可得到幂函数的图象.
12．（2019高二下·邗江月考）已知幂函数 的图象过点 ，则此函数的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数 ，图象过点 ，则 ，函数的解析式为 .
【分析】将点的坐标代入，求出n，即可得到幂函数的表达式.
13．（2019高一上·忻州月考）幂函数 在 时为减函数，则m=　 　。
【答案】2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为 是幂函数，所以 =1，故m=2或m=-1，又幂函数 在 时为减函数，所以-5m-3<0，所以m=2．
【分析】由已知函数 是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
三、解答题
14．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）2.3 ，2.4 ；
（2） ， ；
（3）(－0.31) ，0.35 .
【答案】（1）解：∵y＝ 为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3 <2.4
（2）解：∵y＝ 为(0，＋∞)上的减函数，又 < ，
∴( ) >( )
（3）解：∵y＝ 为R上的偶函数，∴ ＝ .
又函数y＝ 为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，∴0.31 <0.35 ，即(－0.31) <0.35 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】(1)结合幂函数的单调性的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。
15．（2019高一上·杭州期中）已知幂函数 的图象过点 和 ．
（1）求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求实数 的值．
【答案】（1）解：因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ；
所以
又点 也在幂函数上 ，所以
（2）解：由（1）知， ，
①当 时，函数 在区间 上单调递增．
由题意可得： ，
解得 ；
②当 时，函数 在区间 上单调递减．
∴ ，
解得 ．
综上所述， 或 ．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先由幂函数 的图象过点 ，求出解析式，再由图像过点 ，即可求出结果；（2）先由题意得到 ，分别讨论 ， 两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.
16．（幂函数的概念、解析式、定义域、值域+38）已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）
【答案】（1）解：函数f（x）是幂函数，则m3﹣m+1=1，
解得：m=0，或1或﹣1，
又f（x）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴f（x）=x﹣4；
（2）解：由（1）得：f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）递增，
故|x+1|＜|x﹣2|，|x+1|≠0，解得：x＜ 且x≠﹣1，
故不等式的解集是： ．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，求出函数f（x）的解析式即可；（2）根据函数的单调性、奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
17．（2019高一上·南充期中）已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得 ，再利用 在 上单调递增，即可得出 范围；（2）由于 在区间 ， 上都是减函数，且 ，分三种情况讨论，即可得出．
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