人教A版（2019）数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2019高一下·滁州月考）设a，b，c∈B，且a>b，则（ ）
A．ac>bc B．a-cb2 D．a3>b3
2．（2019高二下·虹口期末）已知 ，记 ，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（2019高一下·慈利期中）若 下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一下·湖北期中）已知 ， ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018高一下·六安期末）已知 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018高一下·应县期末）已知 ，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 且 ，则
D．若 且 ，则
7．（2018高一下·平原期末）设 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017高二上·广东月考）已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
9．设x＞1，﹣1＜y＜0，试将x，y，﹣y按从小到大的顺序排列如下：
10．已知实数a＞b，当a、b满足 条件时，不等式＜成立．
11．（2018高二下·西湖月考）设 ， ，则 的大小关系为 ．
12．已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么2a﹣b的取值范围是 ．
13．已知a≥0，M为 ﹣ ， ﹣ 中较大的一个，则M= ．
14．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是
三、解答题
15．（2018高一下·六安期末）若 ， ， ，比较 ， ， 的大小.
16．（2017高二下·桃江期末）（Ⅰ）比较下列两组实数的大小：
① ﹣1与2﹣ ；②2﹣ 与 ﹣ ；
（Ⅱ）类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、c不能保证大于零，所以不等号可能会变，A不符合题意；
B、根据不等式的性质在不等式两边同时加上一个实数不等号不改变方向，B不符合题意；
C、平方后大小不一定，比如a=-2，b=-3,不等号就发生了变化，C不符合题意；
D、结合的增减性即可得出，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意结合不等式的性质逐一判断即可得出结论。
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由题意可得M-N= = = = ，
∵ ，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（ -1）∈（-1，0），
∴（b-1）（ -1）＞0，∴M＞N
故答案为：B.
【分析】采用作差法，确定M-N>0，即可得到M>N.
3．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a>b
在不等式的两边同时乘以-1得：
-a<-b
即：-b>-a
∴c-b>c-a
又∵c>d
∴c-a>d-a
∴c-b>d-a
故答案为：A
【分析】本题可以利用不等式的基本性质，运用已知条件进行推导，即可得出结论。
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：D.
【分析】采用作差法，结合完全平方公式，即可比较二者大小.
5．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）
=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得 ，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
故答案为：A
【分析】根据题意，将所求的表示成与相加，并求出，利用不等式的基本性质，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 中，当 时， 不成立，故 错误；
中，当 时， ，故 错误；
中，若 ， ，则 ，所以 ，故 正确；
中，当 ， 时， 不成立，故 错误．
综上所述，故答案为： ．
【分析】A选项可以设定当c=0的时候不成立，B选项当c为一个负数的时候不成立，C选项依据条件判断出a与b的符号，正确，D选项取a与b都为一个负数不成立。
7．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】取 ，则 ， ，只有B符合．
故答案为：B．
【分析】取特殊值a = 4 ， b = 16验证选项即可。
8．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】判断M-N的符号，即可得出答案。
9．【答案】y＜﹣y＜x
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵﹣1＜y＜0，∴0＜﹣y＜1．
又x＞1，
∴x＞﹣y＞y．
故答案为：y＜﹣y＜x．
【分析】由﹣1＜y＜0，可得0＜﹣y＜1．即可判断出．
10．【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 : 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
11．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
12．【答案】（﹣2，4）
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵1＜a＜3，
∴2＜2a＜6，
∵2＜b＜4，
∴﹣4＜﹣b＜﹣2，
则﹣2＜2a﹣b＜4．
故答案为：（﹣2，4）．
【分析】直接利用不等式的性质求出2a的范围和﹣b的范围，采用不等式的可加性得答案．
13．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a≥0， ﹣ = = ﹣ ，
∴M= ．
故答案为： ．
【分析】利用分子有理化和不等式的性质即可得出．
14．【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
15．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
综上可得： .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】解决本题时，分别相互作差，并将结果与0做比较，判断大小，即可得出答案。
16．【答案】解：（Ⅰ）①（ + ）2﹣（2+1）2=2 ﹣4＞0．
故 + ＞2+1，即 ﹣1＞2﹣ ．
②（2+ ）2﹣（ + ）2=4 ﹣2 =2 ﹣2 ＞0．
故2+ ＞ + ，即2﹣ ＞ ﹣ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则 ﹣ ＞ ﹣ ．
证明如下：左﹣右=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）= ﹣ = ＞0，
则有 ﹣ ＞ ﹣
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，对于①、②，将不等式的左右两边同时平方，再作差比较大小，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则 ﹣ ＞ ﹣ ，利用作差法证明即可得证明．
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一、单选题
1．（2019高一下·滁州月考）设a，b，c∈B，且a>b，则（ ）
A．ac>bc B．a-cb2 D．a3>b3
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、c不能保证大于零，所以不等号可能会变，A不符合题意；
B、根据不等式的性质在不等式两边同时加上一个实数不等号不改变方向，B不符合题意；
C、平方后大小不一定，比如a=-2，b=-3,不等号就发生了变化，C不符合题意；
D、结合的增减性即可得出，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意结合不等式的性质逐一判断即可得出结论。
2．（2019高二下·虹口期末）已知 ，记 ，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由题意可得M-N= = = = ，
∵ ，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（ -1）∈（-1，0），
∴（b-1）（ -1）＞0，∴M＞N
故答案为：B.
【分析】采用作差法，确定M-N>0，即可得到M>N.
3．（2019高一下·慈利期中）若 下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a>b
在不等式的两边同时乘以-1得：
-a<-b
即：-b>-a
∴c-b>c-a
又∵c>d
∴c-a>d-a
∴c-b>d-a
故答案为：A
【分析】本题可以利用不等式的基本性质，运用已知条件进行推导，即可得出结论。
4．（2019高一下·湖北期中）已知 ， ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：D.
【分析】采用作差法，结合完全平方公式，即可比较二者大小.
5．（2018高一下·六安期末）已知 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）
=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得 ，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
故答案为：A
【分析】根据题意，将所求的表示成与相加，并求出，利用不等式的基本性质，即可得出答案。
6．（2018高一下·应县期末）已知 ，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 且 ，则
D．若 且 ，则
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 中，当 时， 不成立，故 错误；
中，当 时， ，故 错误；
中，若 ， ，则 ，所以 ，故 正确；
中，当 ， 时， 不成立，故 错误．
综上所述，故答案为： ．
【分析】A选项可以设定当c=0的时候不成立，B选项当c为一个负数的时候不成立，C选项依据条件判断出a与b的符号，正确，D选项取a与b都为一个负数不成立。
7．（2018高一下·平原期末）设 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】取 ，则 ， ，只有B符合．
故答案为：B．
【分析】取特殊值a = 4 ， b = 16验证选项即可。
8．（2017高二上·广东月考）已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】判断M-N的符号，即可得出答案。
二、填空题
9．设x＞1，﹣1＜y＜0，试将x，y，﹣y按从小到大的顺序排列如下：
【答案】y＜﹣y＜x
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵﹣1＜y＜0，∴0＜﹣y＜1．
又x＞1，
∴x＞﹣y＞y．
故答案为：y＜﹣y＜x．
【分析】由﹣1＜y＜0，可得0＜﹣y＜1．即可判断出．
10．已知实数a＞b，当a、b满足 条件时，不等式＜成立．
【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 : 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
11．（2018高二下·西湖月考）设 ， ，则 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
12．已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么2a﹣b的取值范围是 ．
【答案】（﹣2，4）
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵1＜a＜3，
∴2＜2a＜6，
∵2＜b＜4，
∴﹣4＜﹣b＜﹣2，
则﹣2＜2a﹣b＜4．
故答案为：（﹣2，4）．
【分析】直接利用不等式的性质求出2a的范围和﹣b的范围，采用不等式的可加性得答案．
13．已知a≥0，M为 ﹣ ， ﹣ 中较大的一个，则M= ．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a≥0， ﹣ = = ﹣ ，
∴M= ．
故答案为： ．
【分析】利用分子有理化和不等式的性质即可得出．
14．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是
【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
三、解答题
15．（2018高一下·六安期末）若 ， ， ，比较 ， ， 的大小.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
综上可得： .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】解决本题时，分别相互作差，并将结果与0做比较，判断大小，即可得出答案。
16．（2017高二下·桃江期末）（Ⅰ）比较下列两组实数的大小：
① ﹣1与2﹣ ；②2﹣ 与 ﹣ ；
（Ⅱ）类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．
【答案】解：（Ⅰ）①（ + ）2﹣（2+1）2=2 ﹣4＞0．
故 + ＞2+1，即 ﹣1＞2﹣ ．
②（2+ ）2﹣（ + ）2=4 ﹣2 =2 ﹣2 ＞0．
故2+ ＞ + ，即2﹣ ＞ ﹣ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则 ﹣ ＞ ﹣ ．
证明如下：左﹣右=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）= ﹣ = ＞0，
则有 ﹣ ＞ ﹣
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，对于①、②，将不等式的左右两边同时平方，再作差比较大小，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则 ﹣ ＞ ﹣ ，利用作差法证明即可得证明．
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