高数统编版第一册 2.1 等式性质与不等式性质同步训练
一、单选题
1．（2019高一下·滁州月考）设a，b，c∈B，且a>b，则（ ）
A．ac>bc B．a-c
b2 D．a3>b3
2．（2019高一下·慈利期中）设 ，且 ，则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一下·湖北期中）已知 ， ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高三上·潍坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．（2017高二下·乾安期末）设 ，则 的大小顺序是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2018高一下·扶余期末）给出以下四个命题：（ ）
①若a>b，则 ； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>|b|，则a>b；④若a>b，则a2>b2.
其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①② D．①③
二、填空题
7．某地规定本地最低生活保障x元不低于800元，则这种不等关系写成不等式为 ．
8．比较大小 （a+3）（a﹣5） （a+2）（a﹣4）
9．（2018高二下·西湖月考）设 ， ，则 的大小关系为 ．
10．已知a≥0，M为 ﹣ ， ﹣ 中较大的一个，则M= ．
11．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是
三、解答题
12．表示下列不等关系
（1）a是正数
（2）a+b是非负数
（3）a小于3，但不小于﹣1
（4）a与b的差的绝对值不大于5．
13．已知a＞b＞0，d＜c＜0，用不等式性质证明： ．
14．设a= +2 ，b=2+ ，则a、b的大小关系为？并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、c不能保证大于零，所以不等号可能会变，A不符合题意；
B、根据不等式的性质在不等式两边同时加上一个实数不等号不改变方向，B不符合题意；
C、平方后大小不一定，比如a=-2，b=-3,不等号就发生了变化，C不符合题意；
D、结合的增减性即可得出，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意结合不等式的性质逐一判断即可得出结论。
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵0∴a+a∴
∵a∴，即：
∴，即：
∵∴即
又
∴
∴，即：
∴
∴
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是熟记不等式的性质及作差比较大小的方法，然后列式比较即可。
3．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：D.
【分析】采用作差法，结合完全平方公式，即可比较二者大小.
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】对于A，a=8，b=2，c=7，d= 1，此时 ， ，显然不成立；
对于B，当c＜0时， ，显然不成立；
对于C，因为a＞b＞0，∴a+ ﹣b﹣ =（a﹣b）+ =（a﹣b）（1+ ）＞0，
∴a+ ＞b+ ，显然成立；
对于D，当a=b= 1时，显然不成立，
故答案为：C
【分析】对A，取a=8，b=2，c=7，d=-1即得结果不成立，对B，c＜0时不成立，对C，作差即得结果成立，对D，a=b=-1时，不成立。
5．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】三个数不能直接比较大小的，又因为三个数均为正数，所以平方之后再比较大小
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】要比较它们的大小，作差．不等式大小比较的常用方法：作差，作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.
6．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】①若 成立，①错误；
② ，则 ，②正确；
③若 成立，则 成立，③正确；
④若 ， 成立，则 不成立，④错误，
正确的命题为②③，
故答案为：B.
【分析】1选项，当a与b符号互异时不等关系不成立，2选项正确，3选项正确，4选项a=0且b=-1不等关系不成立。
7．【答案】x≥800
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设最低生活保障金为x元，则x≥800．
故答案为：x≥800．
【分析】由某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式即得答案．
8．【答案】＜
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：作差（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）
=a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）
=﹣7＜0，
∴a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．
故答案为：＜．
【分析】作差即可得出大小关系．
9．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
10．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a≥0， ﹣ = = ﹣ ，
∴M= ．
故答案为： ．
【分析】利用分子有理化和不等式的性质即可得出．
11．【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
12．【答案】解：（1）a是正数，用不等式表示为：a＞0；
（2）a+b是非负数，用不等式表示为：a+b≥0；
（3）a小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a＜3；
（4）a与b的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a﹣b|≤5．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．
13．【答案】解：因为a＞b＞0，所以 ．
因为d＜c＜0，所以﹣d＞﹣c＞0，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 成立
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】利用不等式的各种性质进行推理和证明．先将d＜c＜0，变为﹣d＞﹣c＞0，然后利用正号不等式可以同时相乘的性质取证明．
14．【答案】解：a、b的大小关系为：a＜b，证明如下：
∵a= +2 ＞0，b=2+ ＞0，
∴a2=11+4 ，b2=11+4 ，
∵a2＜b2，
∴a＜b
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】由已知求得a2，b2的值并比较大小即可得解．
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一、单选题
1．（2019高一下·滁州月考）设a，b，c∈B，且a>b，则（ ）
A．ac>bc B．a-cb2 D．a3>b3
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、c不能保证大于零，所以不等号可能会变，A不符合题意；
B、根据不等式的性质在不等式两边同时加上一个实数不等号不改变方向，B不符合题意；
C、平方后大小不一定，比如a=-2，b=-3,不等号就发生了变化，C不符合题意；
D、结合的增减性即可得出，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意结合不等式的性质逐一判断即可得出结论。
2．（2019高一下·慈利期中）设 ，且 ，则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵0∴a+a∴
∵a∴，即：
∴，即：
∵∴即
又
∴
∴，即：
∴
∴
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是熟记不等式的性质及作差比较大小的方法，然后列式比较即可。
3．（2019高一下·湖北期中）已知 ， ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：D.
【分析】采用作差法，结合完全平方公式，即可比较二者大小.
4．（2019高三上·潍坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】对于A，a=8，b=2，c=7，d= 1，此时 ， ，显然不成立；
对于B，当c＜0时， ，显然不成立；
对于C，因为a＞b＞0，∴a+ ﹣b﹣ =（a﹣b）+ =（a﹣b）（1+ ）＞0，
∴a+ ＞b+ ，显然成立；
对于D，当a=b= 1时，显然不成立，
故答案为：C
【分析】对A，取a=8，b=2，c=7，d=-1即得结果不成立，对B，c＜0时不成立，对C，作差即得结果成立，对D，a=b=-1时，不成立。
5．（2017高二下·乾安期末）设 ，则 的大小顺序是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】三个数不能直接比较大小的，又因为三个数均为正数，所以平方之后再比较大小
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】要比较它们的大小，作差．不等式大小比较的常用方法：作差，作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.
6．（2018高一下·扶余期末）给出以下四个命题：（ ）
①若a>b，则 ； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>|b|，则a>b；④若a>b，则a2>b2.
其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①② D．①③
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】①若 成立，①错误；
② ，则 ，②正确；
③若 成立，则 成立，③正确；
④若 ， 成立，则 不成立，④错误，
正确的命题为②③，
故答案为：B.
【分析】1选项，当a与b符号互异时不等关系不成立，2选项正确，3选项正确，4选项a=0且b=-1不等关系不成立。
二、填空题
7．某地规定本地最低生活保障x元不低于800元，则这种不等关系写成不等式为 ．
【答案】x≥800
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设最低生活保障金为x元，则x≥800．
故答案为：x≥800．
【分析】由某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式即得答案．
8．比较大小 （a+3）（a﹣5） （a+2）（a﹣4）
【答案】＜
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：作差（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）
=a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）
=﹣7＜0，
∴a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．
故答案为：＜．
【分析】作差即可得出大小关系．
9．（2018高二下·西湖月考）设 ， ，则 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
10．已知a≥0，M为 ﹣ ， ﹣ 中较大的一个，则M= ．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a≥0， ﹣ = = ﹣ ，
∴M= ．
故答案为： ．
【分析】利用分子有理化和不等式的性质即可得出．
11．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是
【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
三、解答题
12．表示下列不等关系
（1）a是正数
（2）a+b是非负数
（3）a小于3，但不小于﹣1
（4）a与b的差的绝对值不大于5．
【答案】解：（1）a是正数，用不等式表示为：a＞0；
（2）a+b是非负数，用不等式表示为：a+b≥0；
（3）a小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a＜3；
（4）a与b的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a﹣b|≤5．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．
13．已知a＞b＞0，d＜c＜0，用不等式性质证明： ．
【答案】解：因为a＞b＞0，所以 ．
因为d＜c＜0，所以﹣d＞﹣c＞0，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 成立
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】利用不等式的各种性质进行推理和证明．先将d＜c＜0，变为﹣d＞﹣c＞0，然后利用正号不等式可以同时相乘的性质取证明．
14．设a= +2 ，b=2+ ，则a、b的大小关系为？并证明你的结论．
【答案】解：a、b的大小关系为：a＜b，证明如下：
∵a= +2 ＞0，b=2+ ＞0，
∴a2=11+4 ，b2=11+4 ，
∵a2＜b2，
∴a＜b
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】由已知求得a2，b2的值并比较大小即可得解．
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