初中数学人教版八年级上册 第十二章 12.3角的平分线的性质

初中数学人教版八年级上册 第十二章 12.3角的平分线的性质
一、单选题
1．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（　　）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
2．（2020八上·柳州期末）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 、 ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ， ， ，
∴PA=PB，
∵ ，
∴PB=3，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可作答.
3．（2019八上·江阴期中）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12= ×AB×DE+ ×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF=2，进而根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可.
4．（2020八下·深圳期中）现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到这个角两边的距离相等
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质求解即可。
5．（2020八下·曹县月考）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PE⊥OC，PF⊥OD，PG⊥AB
∴PE=PG=PF，即（1）正确；
∴点P在∠COD的平分线上，即（2）正确；
∵∠APB=∠APG+∠BPG=
又∵∠EPF+∠O=180°
∴∠APB=×（180°-∠O）=90°-，即③错误；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质进行判断即可得到答案。
6．（2020八上·奉化期末）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……：∠An-1BC与∠An-1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A.
同理可得：∠A2=∠A=∠A
∠A3=∠A=∠A，
...，
∠An=∠A=，
∵∠An的度数为整数，
∴n=1，2，3，4，5，6，
∴n的最大值为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得 ∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A.同理可得：∠A2=∠A，...，∠An=∠A=，因此找到规律，进而求出n的最大值.
7．（2020八上·德城期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径面弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则 的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝ ×14×4＝28，
故答案为：B．
【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
8．（2019八上·惠东月考）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】①.∵点P为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠P=180°-（∠PBC+∠ACB）=∠A+90°，选项正确，符合题意；
②.当△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立。
③若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A，选项成立。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理进行证明得到答案即可。
二、填空题
9．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为　 　.
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
10．（2019八上·松滋期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是　 　.
【答案】30
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.
又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积 AB DE 15×4＝30.
故答案为：30.
【分析】 过点D作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝CD=4，进而根据三角形的面积计算方法算出答案.
11．（2020八下·郑州月考）如图， 平分 于 于 ， 若 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 于 于 ，
∴
又∵
∴
所以，解得 .
【分析】利用角平分线定理，角平分线上的点到角两边的距离相等.然后通过面积公式便可求出.
12．（2020八上·大洼期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO =　 　。
【答案】3：4：5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50，
∴S△ABO ：S△BCO ：S△CAO
=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）
=AB：BC：AC
=30：40：50
=3：4：5
故答案是：3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是30、40、50，所以面积之比就是3：4：5．
13．（2020八上·徐州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E.△ABC的面积为21，AB=8，BC=6，则DE的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作DF⊥AB交AB于F.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴DF=DE,
∵S△ABC=S△ABD+S△BDC
21=
21=
21=
DE=3.
故答案为:3.
【分析】过点D作DF⊥AB,根据角平分线定义可以得出DF=DE,再利用三角形面积公式即可求出DE.
14．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为　 　。
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
15．（2019八上·江汉期中）如图，AB丄CD于点E,且AB = CD = AC,若点I是三角形ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点.下列结论：①∠AIC= 135°;②BD = BI,③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正确的是　 　（填序号）.
【答案】①③④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K.
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∴∠IAC+∠ICA=∠EAC+∠ECB=45°，
∴∠AIC=180°-45°=135°，故①正确；
∵AB=AC，∠IAB=∠IAC，AI=AI，
∴△AIB≌△AIC（SAS），
∴∠AIB=∠AIC=135°，IA=ID，
∴∠BIC=360°-135°-135°=90°，
同法可证：△ICA≌△ICD（SAS），
∴∠AIC=∠CID=135°，IC=ID，
∴∠AID=360°-135°=90°，
∴∠DIB+∠AIC=180°，
∵DF=FB，IF=FG，
∴四边形JBGD是平行四边形，
∴ID=BG=AI，ID∥BG，
∴∠DIB=∠IBG=180°，
∴∠AIC=∠IBG，
∵IA=ID，IC=IB，
∴△AIC≌△GBI（SAS），
∴∠GIB=∠ACI，S△AIC=S△BGI=S平行四边形DGBI=S△BDI，故③正确；
∵∠GIB+∠CIK=90°，
∴∠CIK+∠ICK=90°，
∴∠IKC=90°，即IF⊥AC，故④正确，
不妨设BI=BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然ID=IB，即AI=IC，显然题目不满足这个条件，故②错误.
故答案为：①③④.
【分析】 见图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K，利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可.
16．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　；
【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
三、解答题
17．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．
求证：AB=AC．
【答案】证明：∵AD平分∠EAD，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵在Rt△AED与Rt△AFD中， ，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB=AC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，从而利用斜边直角边可证得△AED≌△AFD，由全等三角形的对应边相等得到AE=AF，再由等量加等量相等可得AB=AC.
18．（2020八下·茅箭期中）如图，在 中，∠ABC的平分线与∠ACE平分线相交于点D， .求∠BAD的度数.
【答案】∵∠ABC的平分线BM与△ACB的外角∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴∠DCE= ∠ACE，∠DBC= ∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC= ∠ACE- ∠ABC= （∠BAC+∠ABC）- ∠ABC= （∠BAC+ ∠ABC- ∠ABC）= ∠BAC，
∵∠BDC=20°，
∴∠BAC=2×20°=40°，
过D点分别作DE⊥BE交于E点，DG⊥AC交于G点，DF⊥BF交BA的延长线于F点，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DE=DF，DE=DG，
∴DF =DG；
在Rt△DGA与Rt△DFA中，
∵DF =DG，DA=DA，
∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），
∴∠DAG=∠DAF，
又∵∠BAC=40°，
∴∠CAF=140°，
∴∠CAD=70°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =110°.
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质，可得∠BDC= ∠BAC，过D点分别作DE⊥BE交于E点，DG⊥AC交于G点，DF⊥BF交BA的延长线于F点，易证Rt△DGA≌Rt△DFA，从而得∠DAG=∠DAF，进而即可求解.
19．（2019八上·利辛月考）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，垂足为D，BE平分∠ABC．∠A=30°，∠ACB=126°。
求∠DBE的度数。
【答案】解：在△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=126°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=24°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= ∠ABC=12°，
∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠A=60°，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=48°，故∠DBE的度数是48°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和定理，结合角平分线的性质，即可得到∠ABE的度数，在三角形ABD中，根据三角形的内角和定理，即可得到∠ABD的度数，根据作差法求出∠DBE的度数即可。
20．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
21．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十二章 12.3角的平分线的性质
一、单选题
1．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（　　）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
2．（2020八上·柳州期末）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 、 ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2019八上·江阴期中）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．7 D．9
4．（2020八下·深圳期中）现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
5．（2020八下·曹县月考）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2020八上·奉化期末）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……：∠An-1BC与∠An-1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2020八上·德城期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径面弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则 的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019八上·惠东月考）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为　 　.
10．（2019八上·松滋期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是　 　.
11．（2020八下·郑州月考）如图， 平分 于 于 ， 若 ，则 　 　.
12．（2020八上·大洼期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO =　 　。
13．（2020八上·徐州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E.△ABC的面积为21，AB=8，BC=6，则DE的长为　 　.
14．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为　 　。
15．（2019八上·江汉期中）如图，AB丄CD于点E,且AB = CD = AC,若点I是三角形ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点.下列结论：①∠AIC= 135°;②BD = BI,③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正确的是　 　（填序号）.
16．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　；
三、解答题
17．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．
求证：AB=AC．
18．（2020八下·茅箭期中）如图，在 中，∠ABC的平分线与∠ACE平分线相交于点D， .求∠BAD的度数.
19．（2019八上·利辛月考）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，垂足为D，BE平分∠ABC．∠A=30°，∠ACB=126°。
求∠DBE的度数。
20．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
21．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ， ， ，
∴PA=PB，
∵ ，
∴PB=3，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可作答.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12= ×AB×DE+ ×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF=2，进而根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到这个角两边的距离相等
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PE⊥OC，PF⊥OD，PG⊥AB
∴PE=PG=PF，即（1）正确；
∴点P在∠COD的平分线上，即（2）正确；
∵∠APB=∠APG+∠BPG=
又∵∠EPF+∠O=180°
∴∠APB=×（180°-∠O）=90°-，即③错误；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质进行判断即可得到答案。
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A.
同理可得：∠A2=∠A=∠A
∠A3=∠A=∠A，
...，
∠An=∠A=，
∵∠An的度数为整数，
∴n=1，2，3，4，5，6，
∴n的最大值为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得 ∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A.同理可得：∠A2=∠A，...，∠An=∠A=，因此找到规律，进而求出n的最大值.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝ ×14×4＝28，
故答案为：B．
【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】①.∵点P为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠P=180°-（∠PBC+∠ACB）=∠A+90°，选项正确，符合题意；
②.当△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立。
③若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A，选项成立。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理进行证明得到答案即可。
9．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
10．【答案】30
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.
又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积 AB DE 15×4＝30.
故答案为：30.
【分析】 过点D作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝CD=4，进而根据三角形的面积计算方法算出答案.
11．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 于 于 ，
∴
又∵
∴
所以，解得 .
【分析】利用角平分线定理，角平分线上的点到角两边的距离相等.然后通过面积公式便可求出.
12．【答案】3：4：5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50，
∴S△ABO ：S△BCO ：S△CAO
=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）
=AB：BC：AC
=30：40：50
=3：4：5
故答案是：3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是30、40、50，所以面积之比就是3：4：5．
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作DF⊥AB交AB于F.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴DF=DE,
∵S△ABC=S△ABD+S△BDC
21=
21=
21=
DE=3.
故答案为:3.
【分析】过点D作DF⊥AB,根据角平分线定义可以得出DF=DE,再利用三角形面积公式即可求出DE.
14．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
15．【答案】①③④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K.
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∴∠IAC+∠ICA=∠EAC+∠ECB=45°，
∴∠AIC=180°-45°=135°，故①正确；
∵AB=AC，∠IAB=∠IAC，AI=AI，
∴△AIB≌△AIC（SAS），
∴∠AIB=∠AIC=135°，IA=ID，
∴∠BIC=360°-135°-135°=90°，
同法可证：△ICA≌△ICD（SAS），
∴∠AIC=∠CID=135°，IC=ID，
∴∠AID=360°-135°=90°，
∴∠DIB+∠AIC=180°，
∵DF=FB，IF=FG，
∴四边形JBGD是平行四边形，
∴ID=BG=AI，ID∥BG，
∴∠DIB=∠IBG=180°，
∴∠AIC=∠IBG，
∵IA=ID，IC=IB，
∴△AIC≌△GBI（SAS），
∴∠GIB=∠ACI，S△AIC=S△BGI=S平行四边形DGBI=S△BDI，故③正确；
∵∠GIB+∠CIK=90°，
∴∠CIK+∠ICK=90°，
∴∠IKC=90°，即IF⊥AC，故④正确，
不妨设BI=BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然ID=IB，即AI=IC，显然题目不满足这个条件，故②错误.
故答案为：①③④.
【分析】 见图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K，利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可.
16．【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
17．【答案】证明：∵AD平分∠EAD，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵在Rt△AED与Rt△AFD中， ，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB=AC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，从而利用斜边直角边可证得△AED≌△AFD，由全等三角形的对应边相等得到AE=AF，再由等量加等量相等可得AB=AC.
18．【答案】∵∠ABC的平分线BM与△ACB的外角∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴∠DCE= ∠ACE，∠DBC= ∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC= ∠ACE- ∠ABC= （∠BAC+∠ABC）- ∠ABC= （∠BAC+ ∠ABC- ∠ABC）= ∠BAC，
∵∠BDC=20°，
∴∠BAC=2×20°=40°，
过D点分别作DE⊥BE交于E点，DG⊥AC交于G点，DF⊥BF交BA的延长线于F点，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DE=DF，DE=DG，
∴DF =DG；
在Rt△DGA与Rt△DFA中，
∵DF =DG，DA=DA，
∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），
∴∠DAG=∠DAF，
又∵∠BAC=40°，
∴∠CAF=140°，
∴∠CAD=70°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =110°.
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质，可得∠BDC= ∠BAC，过D点分别作DE⊥BE交于E点，DG⊥AC交于G点，DF⊥BF交BA的延长线于F点，易证Rt△DGA≌Rt△DFA，从而得∠DAG=∠DAF，进而即可求解.
19．【答案】解：在△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=126°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=24°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= ∠ABC=12°，
∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠A=60°，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=48°，故∠DBE的度数是48°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和定理，结合角平分线的性质，即可得到∠ABE的度数，在三角形ABD中，根据三角形的内角和定理，即可得到∠ABD的度数，根据作差法求出∠DBE的度数即可。
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
21．【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
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