初中数学人教版八年级上学期 第十一章 11.1.1 三角形的边
一、基础巩固
1．（2019七下·郑州期末）小颖有两根长度为 6cm和 9cm 的木条，桌上有下列长度的几根木条，从中选出一根使三根木条首尾顺次相连，钉成三角形木框，她应该选择长度为（ ）的木条
A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm
2．（2019八上·西湖期末）如图所示，若△ABC的周长为20，则AB的长可能为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．一个三角形的两边b＝4，c＝7，试确定第三边a的范围．当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的边长各是多少？
二、强化提升
4．（2019七下·卫辉期末）已知 是 的三边长，化简 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
6．（2019七下·吴江期末）若三角形三条边长分别是1、a、3(其中a为整数)，则a= .
7．（2019七下·苏州期末）若二元一次方程组 的解 ， 的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则 的值为 .
8．如图，佳佳和音音住在同一小区(A点)，每天一块去学校(B点)上学．一天，佳佳要先去文具店(C点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D点)买书再去学校．这天两人从家到学校谁走的路远？为什么？
9．已知△ABC的周长是20，三边分别为a，b，c.
（1）若b是最大边，求b的取值范围；
（2）若△ABC是三边均不相等的三角形，b是最大边，c是最小边，且b＝3c，a，b，c均为整数，求△ABC的三边长．
三、真题演练
10．（2019·台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
11．（2019·扬州）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设木条的长度为lcm，则9-6
故答案为：C。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求出第三边的取值范围，再判断出在这个取值范围内的整数即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】 解：∵ △ABC的周长为20，
∴AB的长小于10，
∴AB的长可能为8,.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边即可得出答案.
3．【答案】解：当一个三角形的两边b＝4，c＝7时，第三边a的范围为7－4＜a＜7＋4，即3＜a＜11.
当各边均为整数时，第三边可能为4，5，6，7，8，9，10.
因此共有7个三角形．
当a＝4或a＝7时，这个三角形为等腰三角形，其各边长分别为4，7，4；4，7，7.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先根据已知的两边利用三角形的三边关系定理确定b的取值范围，然后根据边长为整数确定第三边可能出现的情况，即可确定等腰三角形的边长和三角形的个数.
4．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得
a+b-c>0，b -a -c <0.
∴原式= a+b-c (a +c b)= .故选择B项.
【分析】由三角形三边关系定理可得a+b＞c，变形可得a+b-c>0，b -a -c <0，再根据绝对值的非负性即可去绝对值求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系，尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄，进行计算可求解。
6．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为1和3，
∴第三边长x的取值范围是：3 1即：2∴a的值为3。
故答案为：3。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式组3 17．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
① ②得：y=3 m，
将y=3 m代入②得：x=3m 3，
根据x与y为三角形边长，得到 ，即1若x为腰，则有2x+y=6m 6+3 m=7，
解得：m=2；
若x为底，则有x+2y=3m 3+6 2m=7，
解得：m=4，不合题意，舍去，
则m的值为2，
【分析】利用加减消元法解方程组，求出x、y的值，再根据x、y是等腰三角形的两边，可知x＞0，y＞0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，然后分情况讨论，利用三角形三边关系定理及此三角形的周长，可确定出m的值。
8．【答案】解：小明从家到学校走的路远，
理由：∵在△ACD中，
AC+CD＞AD，
∴小明从家到学校走的路是AC+CD+BD，小刚从家到学校走的路是AD+BD，
∴AC+CD+BD＞AD+BD，
即小明从家到学校走的路远．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先确定两个同学行走的路线，然后根据三角形的三边关系进行比较即可确定结论.
9．【答案】（1）解：依题意有b≥a，b≥c，又a+c＞b，
则a+b+c≤3b且a+b+c＞2b，
得2b＜20≤3b，
得 ≤b＜10.
（2）解：∵ ≤b＜10，b为整数，
∴b=7，8，9，
∵b=3c，c为整数，
∴b=9，c=3，
∴a=20-b-c=8．
故△ABC的三边长为c=3，a=8，b=9.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形的三边关系进行推导即可得出b的范围；
（2）根据（1）中b的范围和整数的条件确定b的值，利用b=3c，可得b、c的值，根据周长可得a的值.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】方法一：∵n是正整数
∴n=1时，三边为3，9，3构不成三角形，不符合
n=2时，三边为4，10，6构不成三角形，不符合
n=3时，三边为5，11，9可以构成三角形，符合
n=4时，三边为6，12，12可以构成三角形，符合
n=5时，三边为7，13，15可以构成三角形，符合
n=6时，三边为8，14，18可以构成三角形，符合
n=7时，三边为9，15，21可以构成三角形，符合
n=8时，三边为10，16，24可以构成三角形，符合
n=9时，三边为11，17，27可以构成三角形，符合
n=10时，三边为12，18，30不可以构成三角形，不符合
∴总共7个
方法二：当n+8最大时 ∴n=3
当3n最大时 ∴n=4，5，6，7，8，9
综上：n总共有7个
故答案为：D
【分析】方法一：分别根据n=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的时候，由有理数的加法及乘法运算算出三条线段的长度，再根据三角形三边关系判断这三条线段能否围成三角形，即可得出结论；方法二：分别根据n+8最大与3n最大两种情况，由三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式组，求解得出其整数解即可。
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一、基础巩固
1．（2019七下·郑州期末）小颖有两根长度为 6cm和 9cm 的木条，桌上有下列长度的几根木条，从中选出一根使三根木条首尾顺次相连，钉成三角形木框，她应该选择长度为（ ）的木条
A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设木条的长度为lcm，则9-6故答案为：C。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求出第三边的取值范围，再判断出在这个取值范围内的整数即可。
2．（2019八上·西湖期末）如图所示，若△ABC的周长为20，则AB的长可能为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】 解：∵ △ABC的周长为20，
∴AB的长小于10，
∴AB的长可能为8,.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边即可得出答案.
3．一个三角形的两边b＝4，c＝7，试确定第三边a的范围．当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的边长各是多少？
【答案】解：当一个三角形的两边b＝4，c＝7时，第三边a的范围为7－4＜a＜7＋4，即3＜a＜11.
当各边均为整数时，第三边可能为4，5，6，7，8，9，10.
因此共有7个三角形．
当a＝4或a＝7时，这个三角形为等腰三角形，其各边长分别为4，7，4；4，7，7.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先根据已知的两边利用三角形的三边关系定理确定b的取值范围，然后根据边长为整数确定第三边可能出现的情况，即可确定等腰三角形的边长和三角形的个数.
二、强化提升
4．（2019七下·卫辉期末）已知 是 的三边长，化简 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得
a+b-c>0，b -a -c <0.
∴原式= a+b-c (a +c b)= .故选择B项.
【分析】由三角形三边关系定理可得a+b＞c，变形可得a+b-c>0，b -a -c <0，再根据绝对值的非负性即可去绝对值求解。
5．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系，尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄，进行计算可求解。
6．（2019七下·吴江期末）若三角形三条边长分别是1、a、3(其中a为整数)，则a= .
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为1和3，
∴第三边长x的取值范围是：3 1即：2∴a的值为3。
故答案为：3。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式组3 17．（2019七下·苏州期末）若二元一次方程组 的解 ， 的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则 的值为 .
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
① ②得：y=3 m，
将y=3 m代入②得：x=3m 3，
根据x与y为三角形边长，得到 ，即1若x为腰，则有2x+y=6m 6+3 m=7，
解得：m=2；
若x为底，则有x+2y=3m 3+6 2m=7，
解得：m=4，不合题意，舍去，
则m的值为2，
【分析】利用加减消元法解方程组，求出x、y的值，再根据x、y是等腰三角形的两边，可知x＞0，y＞0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，然后分情况讨论，利用三角形三边关系定理及此三角形的周长，可确定出m的值。
8．如图，佳佳和音音住在同一小区(A点)，每天一块去学校(B点)上学．一天，佳佳要先去文具店(C点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D点)买书再去学校．这天两人从家到学校谁走的路远？为什么？
【答案】解：小明从家到学校走的路远，
理由：∵在△ACD中，
AC+CD＞AD，
∴小明从家到学校走的路是AC+CD+BD，小刚从家到学校走的路是AD+BD，
∴AC+CD+BD＞AD+BD，
即小明从家到学校走的路远．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先确定两个同学行走的路线，然后根据三角形的三边关系进行比较即可确定结论.
9．已知△ABC的周长是20，三边分别为a，b，c.
（1）若b是最大边，求b的取值范围；
（2）若△ABC是三边均不相等的三角形，b是最大边，c是最小边，且b＝3c，a，b，c均为整数，求△ABC的三边长．
【答案】（1）解：依题意有b≥a，b≥c，又a+c＞b，
则a+b+c≤3b且a+b+c＞2b，
得2b＜20≤3b，
得 ≤b＜10.
（2）解：∵ ≤b＜10，b为整数，
∴b=7，8，9，
∵b=3c，c为整数，
∴b=9，c=3，
∴a=20-b-c=8．
故△ABC的三边长为c=3，a=8，b=9.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形的三边关系进行推导即可得出b的范围；
（2）根据（1）中b的范围和整数的条件确定b的值，利用b=3c，可得b、c的值，根据周长可得a的值.
三、真题演练
10．（2019·台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
11．（2019·扬州）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】方法一：∵n是正整数
∴n=1时，三边为3，9，3构不成三角形，不符合
n=2时，三边为4，10，6构不成三角形，不符合
n=3时，三边为5，11，9可以构成三角形，符合
n=4时，三边为6，12，12可以构成三角形，符合
n=5时，三边为7，13，15可以构成三角形，符合
n=6时，三边为8，14，18可以构成三角形，符合
n=7时，三边为9，15，21可以构成三角形，符合
n=8时，三边为10，16，24可以构成三角形，符合
n=9时，三边为11，17，27可以构成三角形，符合
n=10时，三边为12，18，30不可以构成三角形，不符合
∴总共7个
方法二：当n+8最大时 ∴n=3
当3n最大时 ∴n=4，5，6，7，8，9
综上：n总共有7个
故答案为：D
【分析】方法一：分别根据n=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的时候，由有理数的加法及乘法运算算出三条线段的长度，再根据三角形三边关系判断这三条线段能否围成三角形，即可得出结论；方法二：分别根据n+8最大与3n最大两种情况，由三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式组，求解得出其整数解即可。
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