初中数学苏科版八年级上册2.4.1 线段的轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·龙岗期中）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条边的中线的交点
2．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若△BCE的周长为17，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．15 D．17
3．（2020八下·宝安期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
4．（2019八上·武安期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
5．（2020八上·大冶期末）如图，DE是OABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．26 D．28
6．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
7．（2019八下·靖远期中）如图在△ABC中，BC＝8，AB，AC的垂直平分线与BC分别交于E，F两点，则△AEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．不能确定
8．（2019八上·大洼月考）如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点。若AB=6，AC=4，BC=7。则△APC周长的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．11.5 D．13
二、填空题
9．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
10．（2020八上·德江期末）如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为24,BC=10则AB的长为
11．（2019八上·施秉月考）如图,△ABC中,AB边的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E两点,AE=3cm,△ADC的周长为10cm,则△ABC的周长是 .
12．（2019八下·洪泽期中）如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 .
13．（2019八下·靖远期中）如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为 .
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
15．（2019八上·通化期末）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 12，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交AB，AC 于点 E、F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为
三、解答题
16．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
17．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
18．（2018八上·龙湖期中）如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值为 （直接写出结果）。
四、综合题
19．（2019八上·霸州期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
22．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC=10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC=128°，求∠FAE的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为17，
∴BC+BE+CE=17，
∴BC+AE+CE=AC+BC=17，
∵BC=8，
∴AC=9.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△BCE的周长可转化为AC+BC，结合BC的长度即可求解.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故答案为：B．
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，可得DA＝DC，根据已知条件和等边对等角可求得∠DCA的度数，即可进一步求得∠BDC的度数.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故答案为：D．
【分析】ED垂直平分AB，BE＝AE，在通过△ACE的周长为30计算即可
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线
∴AE＝CE
∴AE＋BE＝CE＋BE＝10
∴△EBC的周长＝BC＋BE＋CE＝10＋8＝18.
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答。
【解答】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角。
故选C．
【点评】准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF，
∵BC＝8，
∴△AEF的周长=BC=8
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AF=CF，由△AEF的周长为AE+EF+AF，利用等量代换即可求出.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
9．【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
10．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为24，
∴BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24.
∵BC=10.
∴AC=14.
∵AB=AC，
∴AB=14.
【分析】根据“线段垂直平分线的性质定理”即可得到AE=BE，由于△BCE的周长为24，利用线段的等量代换即可得到AC+BC的值；已知BC的长度，即可得到AC的长度，由于AB=AC，则问题得解．
11．【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 垂直平分
的周长为10
的周长为16
【分析】要求 的周长，就是求 的值，已知 ，则 ，根据垂直平分线的性质可知 ，则 的周长可转化为 ，则 的周长可求.
12．【答案】5cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出△ABE的周长=AB+AD，再由平行四边形的周长为10cm，即可得出答案.
∵点O是BD中点，EO⊥BD，
∴EO是线段BD的中垂线，
∴BE=ED，
故可得△ABE的周长=AB+AD，
又∵平行四边形的周长为10cm，
∴AB+AD=5cm.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=ED即可求解.
13．【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案为：23.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据△BCE的周长及等量代换即可求出BC的长 .
14．【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵EF垂直平分AB，
∴点A、B关于直线EF对称，
连接AD与EF相交，则当点M移到交点处时，DM+BM的值最小，此时DM+BM=DM+AM=AD，
∴C△BDM最小=AD+BD.
∵D为等腰△ABC的底边BC的中点，BC=4，
∴BD=2，AD⊥BC，
∴S△ABC= BC·AD=12，即2AD=12，解得AD=6，
∴BD+AD=2+6=8.
即：△BDM的周长最小为8.
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC。根据三角形面积公式求出AD，再由EF是AB 的垂直平分线 ，得点B关于直线EF的对称点为A，故AD的长为BM+MD的最小值。
16．【答案】解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，
则P即为售票中心。
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接AB和AC，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可通过两条垂直平分线的交点找到售票中心的位置。
17．【答案】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
18．【答案】（1）解：∵AB=BC，AD=CD
∴ BD垂直平分AC.
（2）解：∵BD=8，DE=2
∴BE=6
（3）6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得出结论。
（2）根据已知的长度，可得出BE的长度。
（3）根据垂直平分线的性质，可得出最小值。
19．【答案】（1）解： 分别是线段 的垂直平分线，
的周长为 ，
即
（2）解： 边的垂直平分线 交 于 ， 边的垂直平分线 交 于 ，
的周长为 即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出 再根据 即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出 再由 的周长为 求出 的长，进而得出结论．
20．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm
（2）解：∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．
21．【答案】（1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP
（2）解：连接PE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
22．【答案】（1）解：∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10
（2）解：∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=52°，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52°，
∴∠FAE=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF周长=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册2.4.1 线段的轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·龙岗期中）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条边的中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
2．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E。若△BCE的周长为17，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．15 D．17
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为17，
∴BC+BE+CE=17，
∴BC+AE+CE=AC+BC=17，
∵BC=8，
∴AC=9.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△BCE的周长可转化为AC+BC，结合BC的长度即可求解.
3．（2020八下·宝安期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（ ）
A．68° B．112° C．124° D．146°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故答案为：B．
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，可得DA＝DC，根据已知条件和等边对等角可求得∠DCA的度数，即可进一步求得∠BDC的度数.
4．（2019八上·武安期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故答案为：D．
【分析】ED垂直平分AB，BE＝AE，在通过△ACE的周长为30计算即可
5．（2020八上·大冶期末）如图，DE是OABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．26 D．28
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线
∴AE＝CE
∴AE＋BE＝CE＋BE＝10
∴△EBC的周长＝BC＋BE＋CE＝10＋8＝18.
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长.
6．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答。
【解答】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角。
故选C．
【点评】准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势。
7．（2019八下·靖远期中）如图在△ABC中，BC＝8，AB，AC的垂直平分线与BC分别交于E，F两点，则△AEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．不能确定
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF，
∵BC＝8，
∴△AEF的周长=BC=8
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AF=CF，由△AEF的周长为AE+EF+AF，利用等量代换即可求出.
8．（2019八上·大洼月考）如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点。若AB=6，AC=4，BC=7。则△APC周长的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．11.5 D．13
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
二、填空题
9．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
10．（2020八上·德江期末）如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为24,BC=10则AB的长为
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为24，
∴BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24.
∵BC=10.
∴AC=14.
∵AB=AC，
∴AB=14.
【分析】根据“线段垂直平分线的性质定理”即可得到AE=BE，由于△BCE的周长为24，利用线段的等量代换即可得到AC+BC的值；已知BC的长度，即可得到AC的长度，由于AB=AC，则问题得解．
11．（2019八上·施秉月考）如图,△ABC中,AB边的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E两点,AE=3cm,△ADC的周长为10cm,则△ABC的周长是 .
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 垂直平分
的周长为10
的周长为16
【分析】要求 的周长，就是求 的值，已知 ，则 ，根据垂直平分线的性质可知 ，则 的周长可转化为 ，则 的周长可求.
12．（2019八下·洪泽期中）如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 .
【答案】5cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出△ABE的周长=AB+AD，再由平行四边形的周长为10cm，即可得出答案.
∵点O是BD中点，EO⊥BD，
∴EO是线段BD的中垂线，
∴BE=ED，
故可得△ABE的周长=AB+AD，
又∵平行四边形的周长为10cm，
∴AB+AD=5cm.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=ED即可求解.
13．（2019八下·靖远期中）如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为 .
【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案为：23.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据△BCE的周长及等量代换即可求出BC的长 .
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。
15．（2019八上·通化期末）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 12，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交AB，AC 于点 E、F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵EF垂直平分AB，
∴点A、B关于直线EF对称，
连接AD与EF相交，则当点M移到交点处时，DM+BM的值最小，此时DM+BM=DM+AM=AD，
∴C△BDM最小=AD+BD.
∵D为等腰△ABC的底边BC的中点，BC=4，
∴BD=2，AD⊥BC，
∴S△ABC= BC·AD=12，即2AD=12，解得AD=6，
∴BD+AD=2+6=8.
即：△BDM的周长最小为8.
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC。根据三角形面积公式求出AD，再由EF是AB 的垂直平分线 ，得点B关于直线EF的对称点为A，故AD的长为BM+MD的最小值。
三、解答题
16．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
【答案】解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，
则P即为售票中心。
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接AB和AC，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可通过两条垂直平分线的交点找到售票中心的位置。
17．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
【答案】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
18．（2018八上·龙湖期中）如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值为 （直接写出结果）。
【答案】（1）解：∵AB=BC，AD=CD
∴ BD垂直平分AC.
（2）解：∵BD=8，DE=2
∴BE=6
（3）6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得出结论。
（2）根据已知的长度，可得出BE的长度。
（3）根据垂直平分线的性质，可得出最小值。
四、综合题
19．（2019八上·霸州期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
【答案】（1）解： 分别是线段 的垂直平分线，
的周长为 ，
即
（2）解： 边的垂直平分线 交 于 ， 边的垂直平分线 交 于 ，
的周长为 即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出 再根据 即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出 再由 的周长为 求出 的长，进而得出结论．
20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm
（2）解：∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
【答案】（1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP
（2）解：连接PE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
22．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC=10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC=128°，求∠FAE的度数．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10
（2）解：∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=52°，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52°，
∴∠FAE=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=76°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF周长=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．
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