初中数学人教版七年级上学期 第四章 4.3角
一、单选题
1．（2020七下·河源月考）如果一个角的补角是150°，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2020七下·太原期中）下列叙述正确的是（ ）
A． 是补角 B． 和 互为补角
C． 和 是余角 D． 是余角
3．（2020七下·唐山期中）如图，由 点测量 点方向，得到（ ）
A． 点在 点北偏西30°的方向上
B． 点在 点南偏东30°的方向上
C． 点在 点南偏东60°的方向上
D． 点在 点北偏西60°的方向上
4．（2020七下·海淀月考）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠2=（ ）
A．18° B．54° C．72° D．70°
5．（2020七下·武城期末）直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α-90°；②∠EOB=180°-α；③∠AOF=360°-2α，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2020七下·成都期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝（ ）
A．30° B．45° C．20° D．60°
7．（2020七下·莘县期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC=28°，则∠AOB的度数为（ ）
A．62° B．152° C．118° D．无法确定
8．（2020七下·青山期中）如图，直线 相交于点 平分 ，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020七上·蜀山期末）如果∠1与∠2互为补角，且∠1＞∠2,那么∠2的余角是（ ）
A． ∠1 B． ∠2
C． (∠1-∠2) D． (∠l+∠2)
10．两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
二、填空题
11．（2020七下·高新期末）30°15'= °。
12．（2020七下·甘南期中）如图，∠α与∠β有共同的顶点，且它们的两边分别垂直，已知 ，那么，∠α＝ 度，∠β＝ 度．
13．（2020七下·泗辖期中）已知一个角的余角的度数是40°,那么这个角的补角的度数是 °.
14．时钟的分针1小时转 度，时针1小时转 度；时钟的分针1分钟转 度，时针1分钟转 度．
三、解答题
15．（2020七下·莘县期末）如图所示，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数。
16．（2019七上·香洲期末）如图，以直线AB上的点O为端点作射线OC、OD，满足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度数．
17．如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来．以D为顶点且小于平角的角有几个？把它们表示出来．
18．（2020七上·息县期末）如图， 平分 ， ，已知 ，求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：150°角的补角是：180° 150°=30°，
则这个角的30°，
故答案为：A．
【分析】根据互补的两角之和为180°即可解答．
2．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A. 是个单独的角，不能称为补角，故此选项不符合题意；
B. 和 的和为180°，是互为补角，故此选项符合题意；
C. 和 是互为余角，表述不符合题意，故此选项不符合题意；
D. 是直角，故此选项不符合题意．
【分析】如果两个角的和为180°，那么这两个角叫做互为补角，如果两个角的和为90°，这两个角叫做互为余角，根据定义对选项逐个分析可得．
3．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：∵A在B店的北偏西60°，
∴B点在A点南偏东60°的方向上，
故答案为：C．
【分析】根据方向角的大小不变，方向正好相反，可得答案．
4．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，解得∠1=72°，∠2=18°，
故答案为：A．
【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可．
5．【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠EOF= α ，
∴∠DOF= α -90°，
∵OD平分∠BOD，
∴∠BOD=∠DOF=α -90°，
∴∠AOC=α -90°，
故①正确；
②∵∠BOD=90°，∠DOF=α -90°，
∴∠BOE=90°-（α -90°）=180°-α，
故②正确；
③∵∠BOD=∠DOF=α -90°，
∴∠BOF=2α -180°，
∴∠AOF=180°-（2α -180°）=360°-2α，
故③正确.
综上可知正确的结论有：①②③.
故答案为：D.
【分析】①首先根据垂直的定义得到∠DOE的度数，进而计算出∠DOF的度数，再根据角平分线的定义可得∠BOD的度数，最后利用对顶角的性质求∠AOC的度数；
②根据∠BOE=90°-∠BOD进行计算；
③根据∠AOF=180°-∠BOF进行计算.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝80°，
AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝40°，
∵AD是△AEC的角平分线，
∴∠EAD＝ ∠EAC＝20°．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求解.
7．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据三角板的特点可得∠AOC=∠BOD=90°，
∵∠DOC=28°，
∴∠AOB=90°+90°-28°=152°.
故答案为：B.
【分析】根据三角板的特点可得∠AOC=∠BOD=90°，结合已知角的度数和图中角的关系即可求解.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 平分 ，且 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 与 互为对顶角，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由已知条件可知 ，再结合 可得 ，因此， .
9．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1+∠2=180°．
∴ （∠1+∠2）=90°．
∴∠2=180°-∠1．
∴∠2的余角=90°-（180°-∠1）=∠1-90°
=∠1- （∠1+∠2）= （（∠1-∠2）．
故答案为：C．
【分析】根据补角和余角的定义求解.
10．【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
11．【答案】30.25
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：15′=0.25°，
则30°15′=30.25°.
【分析】先根据1°=60′将15′化成“°”，再加上30°即可将30°15′转化为“°”.
12．【答案】30；150
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】由题意可得： ，且
则
故答案是：30，150.
【分析】根据图形可以判断出 ，然后再结合题中给到的关系 ，将其代入，即可求出 和 的值；
13．【答案】130
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵一个角的余角的度数是40°，
∴这个角的补角的度数是90°+40°=130°，
故答案为：130.
【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大90°得出补角为90°+40°，求出即可．
14．【答案】360；30；6；0.5
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】每过1小时，则分针转360度，每分钟分针转=6度．每过1小时，则时针转30度，每分钟时针转=0.5度； 故答案为： 360，30，6， 0.5
【分析】钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°，钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．则每过1小时，则时针转30度，每分钟时针转0.5度；进而得出分针每小时和每分钟转动的角度
15．【答案】解：∵OE平分∠BON，∴∠BOE=∠NOE，
∵∠EON=20°，∴∠BON=40°，
∵AO⊥BC，∴∠AOB=90°．
∴∠AOM=180°-90°-∠BON=50°
【知识点】角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠BON的度数，根据垂直的定义可得∠AOB的度数，再根据∠BON、∠AOB和∠AOM组成平角即可求解.
16．【答案】解：∵∠AOC＝54°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝126°，
又∵∠BOD＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝ ×126°＝42°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数，再根据∠BOD＝ ∠BOC，即可得到∠BOD的度数．
17．【答案】解：图中以B为顶点的角有∠ABD，∠ABC，∠DBC共3个；
以D为顶点且小于平角的角有∠ADE，∠ADB，∠BDC，∠EDC共4个．
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【分析】有公共端点的两条射线所组成的图形就叫做角，根据定义，即可依次找出图中以B为顶点的角及以D为顶点且小于平角的角的个数。
18．【答案】解：设 ，则 .
所以 .
因为 平分 ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】设∠AOD=3x，∠BOD=5x求出∠AOB=8x，∠AOC=4x，得出 ，即可求出答案．
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一、单选题
1．（2020七下·河源月考）如果一个角的补角是150°，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：150°角的补角是：180° 150°=30°，
则这个角的30°，
故答案为：A．
【分析】根据互补的两角之和为180°即可解答．
2．（2020七下·太原期中）下列叙述正确的是（ ）
A． 是补角 B． 和 互为补角
C． 和 是余角 D． 是余角
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A. 是个单独的角，不能称为补角，故此选项不符合题意；
B. 和 的和为180°，是互为补角，故此选项符合题意；
C. 和 是互为余角，表述不符合题意，故此选项不符合题意；
D. 是直角，故此选项不符合题意．
【分析】如果两个角的和为180°，那么这两个角叫做互为补角，如果两个角的和为90°，这两个角叫做互为余角，根据定义对选项逐个分析可得．
3．（2020七下·唐山期中）如图，由 点测量 点方向，得到（ ）
A． 点在 点北偏西30°的方向上
B． 点在 点南偏东30°的方向上
C． 点在 点南偏东60°的方向上
D． 点在 点北偏西60°的方向上
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：∵A在B店的北偏西60°，
∴B点在A点南偏东60°的方向上，
故答案为：C．
【分析】根据方向角的大小不变，方向正好相反，可得答案．
4．（2020七下·海淀月考）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠2=（ ）
A．18° B．54° C．72° D．70°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，解得∠1=72°，∠2=18°，
故答案为：A．
【分析】根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可．
5．（2020七下·武城期末）直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α-90°；②∠EOB=180°-α；③∠AOF=360°-2α，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠EOF= α ，
∴∠DOF= α -90°，
∵OD平分∠BOD，
∴∠BOD=∠DOF=α -90°，
∴∠AOC=α -90°，
故①正确；
②∵∠BOD=90°，∠DOF=α -90°，
∴∠BOE=90°-（α -90°）=180°-α，
故②正确；
③∵∠BOD=∠DOF=α -90°，
∴∠BOF=2α -180°，
∴∠AOF=180°-（2α -180°）=360°-2α，
故③正确.
综上可知正确的结论有：①②③.
故答案为：D.
【分析】①首先根据垂直的定义得到∠DOE的度数，进而计算出∠DOF的度数，再根据角平分线的定义可得∠BOD的度数，最后利用对顶角的性质求∠AOC的度数；
②根据∠BOE=90°-∠BOD进行计算；
③根据∠AOF=180°-∠BOF进行计算.
6．（2020七下·成都期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝（ ）
A．30° B．45° C．20° D．60°
【答案】C
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝80°，
AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝40°，
∵AD是△AEC的角平分线，
∴∠EAD＝ ∠EAC＝20°．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求解.
7．（2020七下·莘县期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC=28°，则∠AOB的度数为（ ）
A．62° B．152° C．118° D．无法确定
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据三角板的特点可得∠AOC=∠BOD=90°，
∵∠DOC=28°，
∴∠AOB=90°+90°-28°=152°.
故答案为：B.
【分析】根据三角板的特点可得∠AOC=∠BOD=90°，结合已知角的度数和图中角的关系即可求解.
8．（2020七下·青山期中）如图，直线 相交于点 平分 ，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 平分 ，且 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 与 互为对顶角，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由已知条件可知 ，再结合 可得 ，因此， .
9．（2020七上·蜀山期末）如果∠1与∠2互为补角，且∠1＞∠2,那么∠2的余角是（ ）
A． ∠1 B． ∠2
C． (∠1-∠2) D． (∠l+∠2)
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1+∠2=180°．
∴ （∠1+∠2）=90°．
∴∠2=180°-∠1．
∴∠2的余角=90°-（180°-∠1）=∠1-90°
=∠1- （∠1+∠2）= （（∠1-∠2）．
故答案为：C．
【分析】根据补角和余角的定义求解.
10．两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
二、填空题
11．（2020七下·高新期末）30°15'= °。
【答案】30.25
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：15′=0.25°，
则30°15′=30.25°.
【分析】先根据1°=60′将15′化成“°”，再加上30°即可将30°15′转化为“°”.
12．（2020七下·甘南期中）如图，∠α与∠β有共同的顶点，且它们的两边分别垂直，已知 ，那么，∠α＝ 度，∠β＝ 度．
【答案】30；150
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】由题意可得： ，且
则
故答案是：30，150.
【分析】根据图形可以判断出 ，然后再结合题中给到的关系 ，将其代入，即可求出 和 的值；
13．（2020七下·泗辖期中）已知一个角的余角的度数是40°,那么这个角的补角的度数是 °.
【答案】130
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵一个角的余角的度数是40°，
∴这个角的补角的度数是90°+40°=130°，
故答案为：130.
【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大90°得出补角为90°+40°，求出即可．
14．时钟的分针1小时转 度，时针1小时转 度；时钟的分针1分钟转 度，时针1分钟转 度．
【答案】360；30；6；0.5
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】每过1小时，则分针转360度，每分钟分针转=6度．每过1小时，则时针转30度，每分钟时针转=0.5度； 故答案为： 360，30，6， 0.5
【分析】钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°，钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．则每过1小时，则时针转30度，每分钟时针转0.5度；进而得出分针每小时和每分钟转动的角度
三、解答题
15．（2020七下·莘县期末）如图所示，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数。
【答案】解：∵OE平分∠BON，∴∠BOE=∠NOE，
∵∠EON=20°，∴∠BON=40°，
∵AO⊥BC，∴∠AOB=90°．
∴∠AOM=180°-90°-∠BON=50°
【知识点】角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠BON的度数，根据垂直的定义可得∠AOB的度数，再根据∠BON、∠AOB和∠AOM组成平角即可求解.
16．（2019七上·香洲期末）如图，以直线AB上的点O为端点作射线OC、OD，满足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度数．
【答案】解：∵∠AOC＝54°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝126°，
又∵∠BOD＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝ ×126°＝42°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数，再根据∠BOD＝ ∠BOC，即可得到∠BOD的度数．
17．如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来．以D为顶点且小于平角的角有几个？把它们表示出来．
【答案】解：图中以B为顶点的角有∠ABD，∠ABC，∠DBC共3个；
以D为顶点且小于平角的角有∠ADE，∠ADB，∠BDC，∠EDC共4个．
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【分析】有公共端点的两条射线所组成的图形就叫做角，根据定义，即可依次找出图中以B为顶点的角及以D为顶点且小于平角的角的个数。
18．（2020七上·息县期末）如图， 平分 ， ，已知 ，求 的度数.
【答案】解：设 ，则 .
所以 .
因为 平分 ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】设∠AOD=3x，∠BOD=5x求出∠AOB=8x，∠AOC=4x，得出 ，即可求出答案．
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