高数统编版第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 同步训练
一、单选题
1．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-9【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
2．（2018高二上·惠来期中）不等式x2+2x﹣3≥0的解集为（ ）
A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3}
C．{x|x≥1或x≤﹣3} D．{x|﹣3≤x≤1}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式x2+2x﹣3≥0，
因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，
可化为： 或：
解得：x≥1或x≤﹣3，
则原不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣3}．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次不等式求解得出结果。
3．（2018高一下·南平期末）不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：∵不等式ax2﹣x+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴a＜0，
故x2﹣ x+ ＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
∴﹣2和1是方程x2﹣ x+ =0的两个根，故﹣2+1= ，﹣2×1= ，解得 a=﹣1，c=2．
故函数y=ax2-x+c=﹣x2 -x+2=﹣（x-1）（x+2），其图象为A，
故答案为：A．
【分析】由不等式的解集可得二次函数的两个零点是-2和1可排除C，D，再由-2到1区间上函数是大于零的排除B。
4．（2017高一下·丰台期末）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣6 0 4 6 6 4 0 ﹣6
则一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x≤﹣2，或x≥3}
C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣2≤x≤3}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值表知，
a＜0，且x=﹣2时，y=0；
x=3时，y=0；
∴一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}．
故选：C．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值表，得出对应一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集．
5．（2018高一上·长春月考）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|2a＜x＜a+3}，且满足A∩B= ，
当B为空集：2a≥a+3；解得：a≥3；
当B非空：可得2a＜a+3，即a＜3，此时2a≥2或a+3≤﹣1，解得1≤a＜3或a≤﹣4．
综上：a∈（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）．
故答案为：D
【分析】先求出集合A的范围，再由已知A∩B= 分两种情况讨论，即可求出a 的取值范围.
6．（2019高一下·南海月考）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 关于 的不等式 的解集是
方程 的解为： 和
由根与系数的关系得： ， ，即
故答案为：
【分析】根据不等式的解集确定方程的实数根，结合韦达定理求出a+b即可.
二、填空题
7．（2018高二上·武邑月考）若对任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】对任意实数 ，不等式 恒成立等价于对任意实数 ，不等式 恒成立，即对任意实数 ，
令
∴ ，即
∴ ，即
∴ ，即
故答案为
【分析】利用二次函数求得的最小值，将不等式转化为，求解即可。
8．（2018高二上·潍坊月考）在R上定义运算 ，若对于 ，使得不等式 成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】根据题意， 即 ，
变形可得： ，
即 ，
又由 ，则 的最小值为2，
则有 ，
解可得： ，
即m的取值范围为 ；
故答案为： ．
【分析】由题设中定义的运算化简后解二次不等式可得m的取值范围.
三、解答题
9．解下列不等式：
（1）2x2﹣3x﹣2＞0；
（2）x﹣x2+6＞0；
（3）4x2﹣4x+1＞0；
（4）﹣x2+2x﹣3＞0．
【答案】（1）解：2x2﹣3x﹣2＞0，因式分解为（2x+1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x ，因此不等式的解集是{x|x＞2或x }；
（2）解：x﹣x2+6＞0变为x2﹣x﹣6＜0，因式分解为（x﹣3）（x+2）＜0，解得3＞x＞﹣2，因此不等式的解集是{x|3＞x＞﹣2}；
（3）解：4x2﹣4x+1＞0，因式分解为（2x﹣1）2＞0，解得x ，因此不等式的解集是{x|x }；
（4）解：﹣x2+2x﹣3＞0变为x2﹣2x+3＜0，化为（x﹣1）2+2＜0，解得x∈ ，因此不等式的解集是 ．
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．
10．（2019高一下·慈利期中）若不等式 对一切 恒成立，试确定实数 的取值范围.
【答案】 解：①当a=2时，不等式恒成立，故a=2成立
②当a≠2时
即：
解得：
综合①②得：
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】这是一道类似于一元二次不等式在恒成立求参数的问题，应分情况讨论，首先考虑a-2是否为零。
11．（2018高二上·烟台期中）自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利 该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用 据市场分析，每辆汽车的营运累计收入 单位：元 与营运天数 满足 ．
（1）要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；
（2）每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
【答案】（1）解：要使营运累计收入高于1400元，
则 ，
即 ，解得： ，
故要使营运累计收入高于1400元，
营运天数的取值范围是
（2）解：每辆汽车每天的平均营运收入为：
，
当且仅当 时“ ”成立，解得： ，
即每辆汽车营运20天时，才能使每天的平均营运收入最大
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据题意有 ，求解不等式即可。
（2）根据基本不等式的性质即得。
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一、单选题
1．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-92．（2018高二上·惠来期中）不等式x2+2x﹣3≥0的解集为（ ）
A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3}
C．{x|x≥1或x≤﹣3} D．{x|﹣3≤x≤1}
3．（2018高一下·南平期末）不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017高一下·丰台期末）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣6 0 4 6 6 4 0 ﹣6
则一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x≤﹣2，或x≥3}
C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣2≤x≤3}
5．（2018高一上·长春月考）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高一下·南海月考）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2018高二上·武邑月考）若对任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 ．
8．（2018高二上·潍坊月考）在R上定义运算 ，若对于 ，使得不等式 成立，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题
9．解下列不等式：
（1）2x2﹣3x﹣2＞0；
（2）x﹣x2+6＞0；
（3）4x2﹣4x+1＞0；
（4）﹣x2+2x﹣3＞0．
10．（2019高一下·慈利期中）若不等式 对一切 恒成立，试确定实数 的取值范围.
11．（2018高二上·烟台期中）自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利 该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用 据市场分析，每辆汽车的营运累计收入 单位：元 与营运天数 满足 ．
（1）要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；
（2）每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式x2+2x﹣3≥0，
因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，
可化为： 或：
解得：x≥1或x≤﹣3，
则原不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣3}．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次不等式求解得出结果。
3．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：∵不等式ax2﹣x+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴a＜0，
故x2﹣ x+ ＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
∴﹣2和1是方程x2﹣ x+ =0的两个根，故﹣2+1= ，﹣2×1= ，解得 a=﹣1，c=2．
故函数y=ax2-x+c=﹣x2 -x+2=﹣（x-1）（x+2），其图象为A，
故答案为：A．
【分析】由不等式的解集可得二次函数的两个零点是-2和1可排除C，D，再由-2到1区间上函数是大于零的排除B。
4．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值表知，
a＜0，且x=﹣2时，y=0；
x=3时，y=0；
∴一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}．
故选：C．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值表，得出对应一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集．
5．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|2a＜x＜a+3}，且满足A∩B= ，
当B为空集：2a≥a+3；解得：a≥3；
当B非空：可得2a＜a+3，即a＜3，此时2a≥2或a+3≤﹣1，解得1≤a＜3或a≤﹣4．
综上：a∈（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）．
故答案为：D
【分析】先求出集合A的范围，再由已知A∩B= 分两种情况讨论，即可求出a 的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 关于 的不等式 的解集是
方程 的解为： 和
由根与系数的关系得： ， ，即
故答案为：
【分析】根据不等式的解集确定方程的实数根，结合韦达定理求出a+b即可.
7．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】对任意实数 ，不等式 恒成立等价于对任意实数 ，不等式 恒成立，即对任意实数 ，
令
∴ ，即
∴ ，即
∴ ，即
故答案为
【分析】利用二次函数求得的最小值，将不等式转化为，求解即可。
8．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】根据题意， 即 ，
变形可得： ，
即 ，
又由 ，则 的最小值为2，
则有 ，
解可得： ，
即m的取值范围为 ；
故答案为： ．
【分析】由题设中定义的运算化简后解二次不等式可得m的取值范围.
9．【答案】（1）解：2x2﹣3x﹣2＞0，因式分解为（2x+1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x ，因此不等式的解集是{x|x＞2或x }；
（2）解：x﹣x2+6＞0变为x2﹣x﹣6＜0，因式分解为（x﹣3）（x+2）＜0，解得3＞x＞﹣2，因此不等式的解集是{x|3＞x＞﹣2}；
（3）解：4x2﹣4x+1＞0，因式分解为（2x﹣1）2＞0，解得x ，因此不等式的解集是{x|x }；
（4）解：﹣x2+2x﹣3＞0变为x2﹣2x+3＜0，化为（x﹣1）2+2＜0，解得x∈ ，因此不等式的解集是 ．
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．
10．【答案】 解：①当a=2时，不等式恒成立，故a=2成立
②当a≠2时
即：
解得：
综合①②得：
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】这是一道类似于一元二次不等式在恒成立求参数的问题，应分情况讨论，首先考虑a-2是否为零。
11．【答案】（1）解：要使营运累计收入高于1400元，
则 ，
即 ，解得： ，
故要使营运累计收入高于1400元，
营运天数的取值范围是
（2）解：每辆汽车每天的平均营运收入为：
，
当且仅当 时“ ”成立，解得： ，
即每辆汽车营运20天时，才能使每天的平均营运收入最大
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据题意有 ，求解不等式即可。
（2）根据基本不等式的性质即得。
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