高数统编版第一册 1.1 集合的概念同步训练
一、单选题
1．（2018高一上·林芝月考）下列各组对象能组成一个集合的是（ ）
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④ 的所有近似值.
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】①④不符合集合中元素的确定性.
故答案为：C.
【分析】结合集合中元素的确定性、互异性、无序性逐一判断即可.
2．（2018高一上·黄陵期末）以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．周长为 的三角形
C．方程 的实数解 D．地球上的小河流
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，
故答案为：D.
【分析】集合的元素具有确定性,地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合.
3．下列表示正确的是（ ）
A．{1}∈{1，3} B．1 {1，2}
C． ∈{0} D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于A：{1}是一个集合，{1，3}也是一个集合，它们是{1} {1，3}．∴A不对；
对于B：1是一个元素，{1，2}是一个集合，它们是1∈{1，2}，．∴B不对；
对于C： 表示是一个集合，{0}也是一个集合，它们是 {0}．∴C不对；
对于D，： 表示是一个集合，任何一个集合是它本身的子集，∴ 正确．
故选D
【分析】根据元素与集合的关系进行判断.
4．（2018高一上·遵义期中）1．若集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】把x=-2，-1,0,1，2代入 得y=0,1,2,3，
故答案为：C．
【分析】把x=-2，-1,0,1，2代入 可得结果.
5．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ）
A．｛1｝ B．｛ ｝
C．｛0，1｝ D．｛ ，0，1｝
【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此 或 ，故m的取值集合是｛ ，0，1｝.
故答案为:D.
【分析】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,得到m的值.
6．下列说法正确的是 （ ）
A．某班年龄较小的同学能够组成一个集合
B．分别有1，2，3和 组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程（x﹣1）（x+1）2=0的所有解构成的集合中有3个元素
【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，不满足集合的确定性，故A错
对于B， =3， =2，故有1，2，3和 组成的集合相等，故B错
对于D，方程（x﹣1）（x+1）2=0的所有解有1，﹣1，故D错
故选：C．
【分析】利用集合元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性即可判断出正确选项．
7．设集合A={面积为1的矩形}，B={面积为1的正三角形}，则正确的是（ ）
A．A、B都是有限集 B．A、B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集
【答案】C
【知识点】集合的分类
【解析】【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，
而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．
故选C
【分析】根据面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．
8．（2018高一上·江津月考）以下说法中正确的个数是（ ）
①0与 表示同一个集合；②集合 与 表示同一个集合；③方程 的所有解的集合可表示为 ；④集合 不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】由题意，可知①中，0不是一个集合，所以0与集合 表示同一个集合是不正确的；
②中，集合 是表示含有两个元素的集合，而集合 表示仅含有一个运算的集合，所以集合 表示不同的集合，所以不正确；
③中，方程 的解构成的集合为 ，所以不正确；
④中，集合 表示一个无限数集，所以不能用列举法表示，所以是正确的，
故答案为：B.
【分析】根据集合的定义①，②不正确；求解方程得知③不正确；根据集合的表示方法得知④正确，故有1个正确。
二、填空题
9．下列对象组成的集体：
①不超过45的正整数；
②鲜艳的颜色；
③中国的大城市；
④绝对值最小的实数；
⑤高一（2）班中考500分以上的学生，
其中为集合的是 ．
【答案】①④⑤
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：①不超过45的正整数的全体是确定的，能构成集合，所以选项①正确；
②鲜艳的颜色是不确定的，所以构不成集合，选项②不正确；
③中国的大城市是不确定的，所以选项③不正确；
④绝对值最小的实数是0，确定，所以选项④正确．
⑤高一（2）班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，所以选项⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【分析】题目中的五句自然语言，其中选项②③中描述的对象都是不确定的，违背了集合中元素的确定性．
10．用符号“∈”或“ ”填空：
（1）若集合P由小于 的实数构成，则2 P；
（2）若集合Q由可表示为n2+1( )的实数构成，则5 Q.
【答案】（1）
（2）∈
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】（1）因为2 ，所以2 不在由小于 的实数构成的集合P中，所以2 P.
故答案为： .
（2）因为5=22+1， ，所以5∈Q.
故答案为：∈
【分析】(1)集合P由小于 11 的实数构成，可得到集合P的元素，由与的大小关系得到关系；
(2)集合Q由可表示为n2+1( n ∈ N * )的实数构成，观察5能不能表示为n2+1( n ∈ N * )的形式，得到关系.
11．下列集合中，是有限集的题目序号为
①{x|0＜x＜10﹣100}；②所有的有限小数组成的集合；③{N， }．
【答案】③
【知识点】集合的分类
【解析】【解答】解：根据①，该集合的元素为0＜x＜10﹣100的实数，为无限个；
②中则有无数个元素，不合题意；
③中N则作为该集合的一个元素，
也是它的一元素，
所以该集合含有两个元素，为有限集，
故答案为③．
【分析】首先，确定给定的集合的元素个数，然后，逐个进行判断，对于③，注意以集合为元素的集合的理解．
12．（2018高一上·唐山月考）若 ， ，用列举法表示 .
【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为集合 ，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即
，那么用列举法表示 。
【分析】令t分别为-2，2，3，4代入计算B，得出答案。
13．定义M﹣N={x|x∈M且x N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N= ．
【答案】{1，7，9}
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为定义M﹣N={x|x∈M且x N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，
所以M﹣N={1，7，9}．
故答案为：{1，7，9}．
【分析】直接利用新定义，求出M﹣N即可．
三、解答题
14．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x﹣4=0}，
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是 ，且a≠0}
（2）解：当a=0时，方程为﹣3x﹣4=0，
∴集合A= ；
当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时 ；
若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0没有实数根，则A没有元素，此时 ，
综合知此时所求的范围是 ，或a=0}
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．（2）当a=0时，方程为﹣3x﹣4=0，所以集合A= ；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时 ；若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0没有实数根，则A没有元素，此时 ．由此能求出实数a的取值范围．
15．设集合B＝{x∈ | ∈N}．
（1）试判断元素1,-1与集合B的关系；
（2）用列举法表示集合B.
【答案】（1）解：当x＝1时， ＝3∈N.
当x＝-1时， ＝ N.因此1∈B,-1 B
（2）解：∵x∈Z， ∈N，∴3－x＝1,2,3,6.此时x＝2,1,0，－3，
∴B＝{2,1，0,-3}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)检查1,-1满不满足集合中的条件,得集合的关系;
(2)分析满足条件的所有可能值得到集合B.
1 / 1高数统编版第一册 1.1 集合的概念同步训练
一、单选题
1．（2018高一上·林芝月考）下列各组对象能组成一个集合的是（ ）
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④ 的所有近似值.
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
2．（2018高一上·黄陵期末）以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．周长为 的三角形
C．方程 的实数解 D．地球上的小河流
3．下列表示正确的是（ ）
A．{1}∈{1，3} B．1 {1，2}
C． ∈{0} D．
4．（2018高一上·遵义期中）1．若集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
5．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ）
A．｛1｝ B．｛ ｝
C．｛0，1｝ D．｛ ，0，1｝
6．下列说法正确的是 （ ）
A．某班年龄较小的同学能够组成一个集合
B．分别有1，2，3和 组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程（x﹣1）（x+1）2=0的所有解构成的集合中有3个元素
7．设集合A={面积为1的矩形}，B={面积为1的正三角形}，则正确的是（ ）
A．A、B都是有限集 B．A、B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集
8．（2018高一上·江津月考）以下说法中正确的个数是（ ）
①0与 表示同一个集合；②集合 与 表示同一个集合；③方程 的所有解的集合可表示为 ；④集合 不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．下列对象组成的集体：
①不超过45的正整数；
②鲜艳的颜色；
③中国的大城市；
④绝对值最小的实数；
⑤高一（2）班中考500分以上的学生，
其中为集合的是 ．
10．用符号“∈”或“ ”填空：
（1）若集合P由小于 的实数构成，则2 P；
（2）若集合Q由可表示为n2+1( )的实数构成，则5 Q.
11．下列集合中，是有限集的题目序号为
①{x|0＜x＜10﹣100}；②所有的有限小数组成的集合；③{N， }．
12．（2018高一上·唐山月考）若 ， ，用列举法表示 .
13．定义M﹣N={x|x∈M且x N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N= ．
三、解答题
14．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x﹣4=0}，
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
15．设集合B＝{x∈ | ∈N}．
（1）试判断元素1,-1与集合B的关系；
（2）用列举法表示集合B.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】①④不符合集合中元素的确定性.
故答案为：C.
【分析】结合集合中元素的确定性、互异性、无序性逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，
故答案为：D.
【分析】集合的元素具有确定性,地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合.
3．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于A：{1}是一个集合，{1，3}也是一个集合，它们是{1} {1，3}．∴A不对；
对于B：1是一个元素，{1，2}是一个集合，它们是1∈{1，2}，．∴B不对；
对于C： 表示是一个集合，{0}也是一个集合，它们是 {0}．∴C不对；
对于D，： 表示是一个集合，任何一个集合是它本身的子集，∴ 正确．
故选D
【分析】根据元素与集合的关系进行判断.
4．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】把x=-2，-1,0,1，2代入 得y=0,1,2,3，
故答案为：C．
【分析】把x=-2，-1,0,1，2代入 可得结果.
5．【答案】D
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此 或 ，故m的取值集合是｛ ，0，1｝.
故答案为:D.
【分析】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,得到m的值.
6．【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，不满足集合的确定性，故A错
对于B， =3， =2，故有1，2，3和 组成的集合相等，故B错
对于D，方程（x﹣1）（x+1）2=0的所有解有1，﹣1，故D错
故选：C．
【分析】利用集合元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性即可判断出正确选项．
7．【答案】C
【知识点】集合的分类
【解析】【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，
而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．
故选C
【分析】根据面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．
8．【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】由题意，可知①中，0不是一个集合，所以0与集合 表示同一个集合是不正确的；
②中，集合 是表示含有两个元素的集合，而集合 表示仅含有一个运算的集合，所以集合 表示不同的集合，所以不正确；
③中，方程 的解构成的集合为 ，所以不正确；
④中，集合 表示一个无限数集，所以不能用列举法表示，所以是正确的，
故答案为：B.
【分析】根据集合的定义①，②不正确；求解方程得知③不正确；根据集合的表示方法得知④正确，故有1个正确。
9．【答案】①④⑤
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：①不超过45的正整数的全体是确定的，能构成集合，所以选项①正确；
②鲜艳的颜色是不确定的，所以构不成集合，选项②不正确；
③中国的大城市是不确定的，所以选项③不正确；
④绝对值最小的实数是0，确定，所以选项④正确．
⑤高一（2）班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，所以选项⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【分析】题目中的五句自然语言，其中选项②③中描述的对象都是不确定的，违背了集合中元素的确定性．
10．【答案】（1）
（2）∈
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】（1）因为2 ，所以2 不在由小于 的实数构成的集合P中，所以2 P.
故答案为： .
（2）因为5=22+1， ，所以5∈Q.
故答案为：∈
【分析】(1)集合P由小于 11 的实数构成，可得到集合P的元素，由与的大小关系得到关系；
(2)集合Q由可表示为n2+1( n ∈ N * )的实数构成，观察5能不能表示为n2+1( n ∈ N * )的形式，得到关系.
11．【答案】③
【知识点】集合的分类
【解析】【解答】解：根据①，该集合的元素为0＜x＜10﹣100的实数，为无限个；
②中则有无数个元素，不合题意；
③中N则作为该集合的一个元素，
也是它的一元素，
所以该集合含有两个元素，为有限集，
故答案为③．
【分析】首先，确定给定的集合的元素个数，然后，逐个进行判断，对于③，注意以集合为元素的集合的理解．
12．【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为集合 ，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即
，那么用列举法表示 。
【分析】令t分别为-2，2，3，4代入计算B，得出答案。
13．【答案】{1，7，9}
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为定义M﹣N={x|x∈M且x N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，
所以M﹣N={1，7，9}．
故答案为：{1，7，9}．
【分析】直接利用新定义，求出M﹣N即可．
14．【答案】（1）解：∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是 ，且a≠0}
（2）解：当a=0时，方程为﹣3x﹣4=0，
∴集合A= ；
当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时 ；
若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0没有实数根，则A没有元素，此时 ，
综合知此时所求的范围是 ，或a=0}
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．（2）当a=0时，方程为﹣3x﹣4=0，所以集合A= ；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时 ；若关于x的方程ax2﹣3x﹣4=0没有实数根，则A没有元素，此时 ．由此能求出实数a的取值范围．
15．【答案】（1）解：当x＝1时， ＝3∈N.
当x＝-1时， ＝ N.因此1∈B,-1 B
（2）解：∵x∈Z， ∈N，∴3－x＝1,2,3,6.此时x＝2,1,0，－3，
∴B＝{2,1，0,-3}
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】(1)检查1,-1满不满足集合中的条件,得集合的关系;
(2)分析满足条件的所有可能值得到集合B.
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