2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册4.3公式法 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·兴仁期末）下列因式分解结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、原式=5a2（2a+1），故A不符合题意；
B、原式=（2x+3）（2x-3），故B不符合题意；
C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；
D、原式=（x-6）（x+1），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】A可以利用提公因式法分解因式（必须分解到不能再分解为止），可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合题意完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案。
2．（2018·百色）因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1）
C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．
故答案为：C．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
3．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除 单元检测a卷）若x﹣y+3=0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
【答案】A
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x﹣y+3=0，
∴x﹣y=﹣3，
∴x（x﹣4y）+y（2x+y）
=x2﹣4xy+2xy+y2
=x2﹣2xy+y2
=（x﹣y）2
=（﹣3）2
=9．
故答案为：A
【分析】由已知条件可求得x﹣y=﹣3，将所求代数式展开后再分解因式可得原式=，整体代换即可求解。
4．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b)
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2－b2，
拼成的矩形的面积是：(a＋b)(a－b)，
∴根据剩余部分的面积相等得：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故答案为：B．
【分析】由第一个图中可知阴影部分的面积为a2-b2，由第二个图中可知阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，即a2-b2=(a+b)(a-b)。
5．（2018八上·双清月考）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得到这个指数可能的结果是偶数.
6．（2018·河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故答案为：C．
【分析】由9.5=10-05，利用完全平方公式将等式的右边分解因数，可得出答案。
7．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）对于非零的两个实数a，b，规定 ，那么将 结果再进行分解因式，则为（ ）
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故答案为：B.
【分析】先根据新定义运算法则可得， =a3-16a，再利用提公因式法和公式法因式分解即可。
8．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（2）同步练习）下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（ ）
A． ﹣5 B． +5x+3
C．0.25 ﹣16 D． +9
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：0.25x2-16y2=（0.5x+4y）（0.5x-4y）．
故答案为：C．
【分析】在有理数范围内进行因式分解，所以符合选项的只有C选项，利用平方差公式进行因式分解。A选项会涉及无理数，所以不符合题意，B选项和D选项不符合利用完全平方公式进行因式分解的要求。
9．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）若n为任意正整数，(n+11)2-n2的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵（n+11）2-n2，
=（n+11+n）（n+11-n），
=11（2n+11），
∴（n+11）2-n2的值总可以被11整除．
故答案为：A
【分析】利用平方差公式将代数式分解因式，然后将其整理成两个因式之积的形式，可知其中一个因数是11，即可求得k的值。
10．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是（ ）
A．x3-x=x(x2-1) B．x2y-y3=y(x+y)(x-y)
C．-m2+4n2=(2n+m)(2n-m) D．3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q)
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x3-x=x(x2-1)=x（x+1）（x-1），分解不彻底，故A符合题意；
B、x2y-y3=y(x+y)(x-y)，故B不符合题意；
C、-m2+4n2=(2n+m)(2n-m)，故C不符合题意；
D、3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q)，故D不符合题意。
故答案为：A
【分析】此题利用提公因式法和平方差公式分解，对每个选项判断即可。注意：因式分解必须分解到不能再分解为止。
二、填空题
11．（2019八上·澄海期末）分解因式： = ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】==.
故答案为：.
【分析】先提取公因数，再用完全平方公式分解。
12．（2019八上·澄海期末）已知 ，那么 的值为 ．
【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵
∴原式=（）（）-
=2（）-
=-
=
=4
故答案为：4.
【分析】先将原式中的因式分解，再将代入化简，然后再对所得整式进行化简求值即可。
13．（2018八上·天台月考）把多项式3x2﹣12因式分解的结果是 ．
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3x2-12=3（x2-4）=3（x+2）（x-2），
故答案为：3（x+2）（x-2）.
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可.
14．（2018八上·天台月考）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4－y4＝(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，当x＝9，y＝9时，x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，则密码018162. 对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是 (写出一个即可).
【答案】103010或301010或101030（写出一个即可）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
∵x=10,y=10，
∴2x+y=30,2x-y=10。
∴可以产生密码：103010或301010或101030.
故答案为：103010或301010或101030（写出一个即可）。
【分析】先将因式分解，可知该多项式所含的一次因式，将x,y的值分别代入，求得各因式的值，按不同顺序即可写出不同的几种密码。
15．（2018九上·宁县期中）设a,b是直角三角形的两条直角边的长，且 ，则直角三角形的斜边长为 .
【答案】2
【知识点】因式分解的应用；勾股定理
【解析】【解答】∵（a2+b2）（a2+b2+1）=20，
∴（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，
∴（a2+b2-4）（a2+b2+5）=0，
解得：a2+b2=4或a2+b2=-5（舍），
则c2=a2+b2=4，
∴这个直角三角形的斜边长为2，
故答案为：2．
【分析】将原方程转化为（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，利用因式分解乘法求出a2+b2的值，再根据a2+b2＞0，就可得出斜边的长。
16．（2018·金华模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式= = ．故答案为： ．
【分析】由题意可知先提公因式x，再将括号内的因式用完全平方公式即可求解。
三、解答题
17．（数与式+—+因式分解—+因式分解的应用（容易））如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2，请你求出大小两个圆盘的半径．
【答案】解：设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得：
πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，
所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，
解得
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为5πcm2，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
18．（2018八上·海口期中）把下列多项式分解因式
（1）2x2y-6xy；
（2）x2+4x+4;
（3）16a2-4b2.
【答案】（1）解：原式=2xy(x 3)
（2）解：原式=(x+2)2
（3）解：原式=4（4a2-b2）=4(2a+b)(2a b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式；
（2）利用完全平方公式法分解因式；
（3）先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
19．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）因式分解：
（1）20a3﹣30a2
（2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
【答案】（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）
（3）解：﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）
（4）解：5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法即可分解；
（2）运用平方差公式即可分解；
（3）运用提公因式法即可分解；
（4）运用提公因式法即可分解。
20．（2018·新北模拟）已知（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求 的值．
【答案】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】将已知条件移项分组分解因式，整理得=0，于是根据平方的非负性可得x=y=z，代入所求代数式即可求解。
21．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）综合题
（1）利用因式分解证明:257-512能被250整除.
（2）233-2被11至20之间的两个数整除,求这两个数.
【答案】（1）证明:∵257-512=(52)7-(56)2
=(57)2-(56)2
=(57+56)×(57-56)
=(57+56)×62 500
=(57+56)×2502,
∴257-512能被250整除.
（2）解:233-2=2×(232-1)=2×(216+1)×(216-1)=2×(216+1)×(28+1)×(28-1)=2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)=2×(216+1)×(28+1)×17×15.
∴这两个数分别是17,15.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先将257化成底数是5的幂，再根据平方差公式分解因数，得出(57+56)×(57-56)，然后利用提取公因数将原数转化为(57+56)×2502,即可证得结论。
（2）先提取公因数得到2×(232-1)，再利用平方差公式分解因数，将原数转化为2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)，然后计算得到2×(216+1)×(28+1)×17×15，即可证得结论。
22．（2019八上·遵义期末）已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想 该三角形的形状，并证明你的猜想．
【答案】 解：该三角形为等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，
即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c，
∴该三角形为等边三角形.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】等式两边同时乘以2，移项，完全平方差公式，根据平方的非负性，计算即可得出答案.
23．（数与式—+因式分解+—+因式分解的应用（普通））把一个边长a=84m的正方形广场的四角均留出一个边长b=8m的正方形修建花坛，其余地方种草，草坪的面积有多大如果种草坪每平方米需5元，那么给这个广场种草至少要投资多少钱元．
【答案】解：广场种草坪面积为a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），
当a=84m，b=8m时，
a2﹣4b2=（84+2×8）（84﹣2×8）=100×68=6 800m2，5×6 800=34 000元．
答：给广场上种草坪至少需34 000元
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先利用分解因式的方法求出广场种草坪面积为a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），再把a，b的值代入求出面积；再求算出投资多少钱．
24．（2018八上·天台月考）下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果 (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果： ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行分解．
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解： 设x2－2x =y，
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=（x2-2x+1）2=(x-1)4。
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）第二步到第三步的过程是：
y2＋8y＋16＝(y＋4)2，符合两数和的完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.
故答案为：C。
(2) (x2－4x＋4)2=[（x-2）2]2=(x-2)4.
故答案为：不彻底；（x-2）4；
【分析】（1）由三项多项式因式分解成两数的和完全平方式；
（2）因式分解不彻底，其中 x2－4x＋4 可以继续分解因式；
（3）设x2－2x =y，将原式转化为关于y的多项式，先因式分解，再将设x2－2x=y替代进去。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册4.3公式法 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·兴仁期末）下列因式分解结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2018·百色）因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1）
C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
3．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除 单元检测a卷）若x﹣y+3=0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
4．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b)
5．（2018八上·双清月考）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．（2018·河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
7．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）对于非零的两个实数a，b，规定 ，那么将 结果再进行分解因式，则为（ ）
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
8．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（2）同步练习）下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（ ）
A． ﹣5 B． +5x+3
C．0.25 ﹣16 D． +9
9．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）若n为任意正整数，(n+11)2-n2的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
10．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是（ ）
A．x3-x=x(x2-1) B．x2y-y3=y(x+y)(x-y)
C．-m2+4n2=(2n+m)(2n-m) D．3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q)
二、填空题
11．（2019八上·澄海期末）分解因式： = ．
12．（2019八上·澄海期末）已知 ，那么 的值为 ．
13．（2018八上·天台月考）把多项式3x2﹣12因式分解的结果是 ．
14．（2018八上·天台月考）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4－y4＝(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，当x＝9，y＝9时，x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，则密码018162. 对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是 (写出一个即可).
15．（2018九上·宁县期中）设a,b是直角三角形的两条直角边的长，且 ，则直角三角形的斜边长为 .
16．（2018·金华模拟）分解因式： ．
三、解答题
17．（数与式+—+因式分解—+因式分解的应用（容易））如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2，请你求出大小两个圆盘的半径．
18．（2018八上·海口期中）把下列多项式分解因式
（1）2x2y-6xy；
（2）x2+4x+4;
（3）16a2-4b2.
19．（人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习）因式分解：
（1）20a3﹣30a2
（2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
20．（2018·新北模拟）已知（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求 的值．
21．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.3 公式法 课时1）综合题
（1）利用因式分解证明:257-512能被250整除.
（2）233-2被11至20之间的两个数整除,求这两个数.
22．（2019八上·遵义期末）已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想 该三角形的形状，并证明你的猜想．
23．（数与式—+因式分解+—+因式分解的应用（普通））把一个边长a=84m的正方形广场的四角均留出一个边长b=8m的正方形修建花坛，其余地方种草，草坪的面积有多大如果种草坪每平方米需5元，那么给这个广场种草至少要投资多少钱元．
24．（2018八上·天台月考）下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果 (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果： ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行分解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、原式=5a2（2a+1），故A不符合题意；
B、原式=（2x+3）（2x-3），故B不符合题意；
C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；
D、原式=（x-6）（x+1），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】A可以利用提公因式法分解因式（必须分解到不能再分解为止），可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合题意完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．
故答案为：C．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
3．【答案】A
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x﹣y+3=0，
∴x﹣y=﹣3，
∴x（x﹣4y）+y（2x+y）
=x2﹣4xy+2xy+y2
=x2﹣2xy+y2
=（x﹣y）2
=（﹣3）2
=9．
故答案为：A
【分析】由已知条件可求得x﹣y=﹣3，将所求代数式展开后再分解因式可得原式=，整体代换即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2－b2，
拼成的矩形的面积是：(a＋b)(a－b)，
∴根据剩余部分的面积相等得：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故答案为：B．
【分析】由第一个图中可知阴影部分的面积为a2-b2，由第二个图中可知阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，即a2-b2=(a+b)(a-b)。
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得到这个指数可能的结果是偶数.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故答案为：C．
【分析】由9.5=10-05，利用完全平方公式将等式的右边分解因数，可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故答案为：B.
【分析】先根据新定义运算法则可得， =a3-16a，再利用提公因式法和公式法因式分解即可。
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：0.25x2-16y2=（0.5x+4y）（0.5x-4y）．
故答案为：C．
【分析】在有理数范围内进行因式分解，所以符合选项的只有C选项，利用平方差公式进行因式分解。A选项会涉及无理数，所以不符合题意，B选项和D选项不符合利用完全平方公式进行因式分解的要求。
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵（n+11）2-n2，
=（n+11+n）（n+11-n），
=11（2n+11），
∴（n+11）2-n2的值总可以被11整除．
故答案为：A
【分析】利用平方差公式将代数式分解因式，然后将其整理成两个因式之积的形式，可知其中一个因数是11，即可求得k的值。
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x3-x=x(x2-1)=x（x+1）（x-1），分解不彻底，故A符合题意；
B、x2y-y3=y(x+y)(x-y)，故B不符合题意；
C、-m2+4n2=(2n+m)(2n-m)，故C不符合题意；
D、3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q)，故D不符合题意。
故答案为：A
【分析】此题利用提公因式法和平方差公式分解，对每个选项判断即可。注意：因式分解必须分解到不能再分解为止。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】==.
故答案为：.
【分析】先提取公因数，再用完全平方公式分解。
12．【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵
∴原式=（）（）-
=2（）-
=-
=
=4
故答案为：4.
【分析】先将原式中的因式分解，再将代入化简，然后再对所得整式进行化简求值即可。
13．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3x2-12=3（x2-4）=3（x+2）（x-2），
故答案为：3（x+2）（x-2）.
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可.
14．【答案】103010或301010或101030（写出一个即可）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
∵x=10,y=10，
∴2x+y=30,2x-y=10。
∴可以产生密码：103010或301010或101030.
故答案为：103010或301010或101030（写出一个即可）。
【分析】先将因式分解，可知该多项式所含的一次因式，将x,y的值分别代入，求得各因式的值，按不同顺序即可写出不同的几种密码。
15．【答案】2
【知识点】因式分解的应用；勾股定理
【解析】【解答】∵（a2+b2）（a2+b2+1）=20，
∴（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，
∴（a2+b2-4）（a2+b2+5）=0，
解得：a2+b2=4或a2+b2=-5（舍），
则c2=a2+b2=4，
∴这个直角三角形的斜边长为2，
故答案为：2．
【分析】将原方程转化为（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，利用因式分解乘法求出a2+b2的值，再根据a2+b2＞0，就可得出斜边的长。
16．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式= = ．故答案为： ．
【分析】由题意可知先提公因式x，再将括号内的因式用完全平方公式即可求解。
17．【答案】解：设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得：
πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，
所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，
解得
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为5πcm2，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
18．【答案】（1）解：原式=2xy(x 3)
（2）解：原式=(x+2)2
（3）解：原式=4（4a2-b2）=4(2a+b)(2a b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式；
（2）利用完全平方公式法分解因式；
（3）先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
19．【答案】（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）
（3）解：﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）
（4）解：5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法即可分解；
（2）运用平方差公式即可分解；
（3）运用提公因式法即可分解；
（4）运用提公因式法即可分解。
20．【答案】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】将已知条件移项分组分解因式，整理得=0，于是根据平方的非负性可得x=y=z，代入所求代数式即可求解。
21．【答案】（1）证明:∵257-512=(52)7-(56)2
=(57)2-(56)2
=(57+56)×(57-56)
=(57+56)×62 500
=(57+56)×2502,
∴257-512能被250整除.
（2）解:233-2=2×(232-1)=2×(216+1)×(216-1)=2×(216+1)×(28+1)×(28-1)=2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)=2×(216+1)×(28+1)×17×15.
∴这两个数分别是17,15.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先将257化成底数是5的幂，再根据平方差公式分解因数，得出(57+56)×(57-56)，然后利用提取公因数将原数转化为(57+56)×2502,即可证得结论。
（2）先提取公因数得到2×(232-1)，再利用平方差公式分解因数，将原数转化为2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)，然后计算得到2×(216+1)×(28+1)×17×15，即可证得结论。
22．【答案】 解：该三角形为等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，
即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c，
∴该三角形为等边三角形.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】等式两边同时乘以2，移项，完全平方差公式，根据平方的非负性，计算即可得出答案.
23．【答案】解：广场种草坪面积为a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），
当a=84m，b=8m时，
a2﹣4b2=（84+2×8）（84﹣2×8）=100×68=6 800m2，5×6 800=34 000元．
答：给广场上种草坪至少需34 000元
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先利用分解因式的方法求出广场种草坪面积为a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），再把a，b的值代入求出面积；再求算出投资多少钱．
24．【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解： 设x2－2x =y，
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=（x2-2x+1）2=(x-1)4。
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）第二步到第三步的过程是：
y2＋8y＋16＝(y＋4)2，符合两数和的完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.
故答案为：C。
(2) (x2－4x＋4)2=[（x-2）2]2=(x-2)4.
故答案为：不彻底；（x-2）4；
【分析】（1）由三项多项式因式分解成两数的和完全平方式；
（2）因式分解不彻底，其中 x2－4x＋4 可以继续分解因式；
（3）设x2－2x =y，将原式转化为关于y的多项式，先因式分解，再将设x2－2x=y替代进去。
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