浙江省绍兴市锡麟中学2021-2022学年八年级上学期国庆假期作业检查数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2017八上·秀洲期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．1.5cm 3.9cm 2.3cm B．3.5cm 7.1cm 3.6cm
C．6cm 1cm 6cm D．4cm 10cm 4cm
2．（2016八上·萧山期中）下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
3．（2021八上·绍兴开学考）已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．（2021八上·绍兴开学考）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．无理数是无限小数 B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
5．（2021八上·绍兴开学考）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．135°
6．（2021八上·绍兴开学考）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
7．（2021八上·绍兴开学考）两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2．则阴影部分面积为（ ）
A．7 B．6 C．14 D．4
8．（2021八上·绍兴开学考）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
9．（2021八上·绍兴开学考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
10．（2021八上·绍兴开学考）如图，已知∠AOB，按下面步骤作图：
（1）在射线OA上任意取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接CE，DE；
（3）作射线OE交CD于点F．根据以上所作图形，有如下结论：
①CE∥OB；②CE＝2CF；③∠AOE＝∠BOE；④CD⊥OE．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（2021七下·庐江期末）“对顶角相等”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
12．（2021八上·绍兴开学考）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 ．
13．（2021八上·绍兴开学考）设三角形的三边为a，b，c化简 = .
14．（2021八上·绍兴开学考）有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 ．
15．（2021八上·绍兴开学考）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
16．（2021八上·绍兴开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 ．
三、解答题（共7小题，共计52分）
17．（2021八上·绍兴开学考）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）
请用尺规在图上找出点P；
（2）
请说明你作图的依据．
18．（2021八上·绍兴开学考）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O.已知∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数.
19．（2021八上·绍兴开学考）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：
（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
20．（2021八上·绍兴开学考）如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB＝AC，∠BAC＝90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．
21．（2021八上·绍兴开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）
求证：△BAD≌△CAE；
（2）
试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
22．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
23．（2021八上·绍兴开学考）已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）
求证：BF＝CD+DE；
（2）
求证：∠FBE＝∠BAC
（3）
若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A.1.5+2.3＜3.9，不能组成三角形，故不符合题意；
B.3.5+3.6=7.1，不能组成三角形，故不符合题意；
C.1+6＞6，能够组成三角形，故符合题意；
D.4+4＜10，不能组成三角形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边关系定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
C、符合命题的定义，是命题；
D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．
故选C．
【分析】根据命题的定义作答．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴这个三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由条件得出∠A=∠B+∠C，然后根据三角形内角和列式求出∠C=90°，即可判断.
4．【答案】D
【知识点】平方根；平行线的性质；无理数的认识；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是：无限小数是无理数；因为无限循环小数是有理数，错误；
B、逆命题是：如果a2＝b2 ，那么a＝b ；因为如果a2＝b2 ，那么a＝±b，错误；
C、逆命题是：相等的角是对顶角；因为相等的角是不一定是对顶角，如两直线平行，内错角相等；错误；
C、逆命题是：同旁内角互补 ，两直线平行；正确；
故答案为：D.
【分析】先分别写出逆命题，然后判别其真假性，若如能举出反例则是假命题，否则就是真命题.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'
∴∠C=∠C'＝24°
∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°，
故答案为：C.
【分析】先根据三角形全等的性质求∠C，再由三角形的内角和为180°求出∠B.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，AC=AC， ∠ACB＝∠DAC，∴△BAC≌△DCA （ASA），正确；
B、∠B=∠D，∠ACB＝∠DAC，AC=AC， ∴ △BAC≌△DCA（AAS） ，正确；
C、 AC=CD ，AC=AC，∠ACB＝∠DAC， SSA不能证明三角形全等，错误；
D、AD=BC，∠ACB＝∠DAC，AC=AC， ∴ △BAC≌△DCA（SAS） ，正确；
故答案为：C.
【分析】三角形全等的判定定理有：SAS，AAS，ASA，SSS，根据条件分别判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：OE=DE-OD=4-1=3，
∵△ABC≌△DEF，
∴S阴影=S△ABC-S△OEC=S△DEF-S△OEC=S梯形ABEO=（AB+OE）×BE=（4+3）×2=7.
故答案为：A.
【分析】先根据线段的和差关系求出OE，然后根据平移的性质，利用分割法推出阴影部分的面积等于梯形ABEO的面积，然后根据梯形的面积计算即可.
8．【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：解： ∵1号杯子左侧出口比右侧高，
∴水先从左侧流出，进入3号杯子，
∵3杯子左侧封闭，水只能从右侧流出，而右侧流入5号杯子，但3号杯子的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯子.
故答案为：A.
【分析】根据水先从位置低的出口流出，可判断先灌满1号杯子左侧的几个杯子，再观察3号杯子的两个出口端的情况，即可判断.
9．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC=6 cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△AEC=S△ADC=3 cm2，
∵F是EC的中点，
∴S△AEF=S△AEC=1.5cm2.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高两三角形面积相等，分步求出△ADC、△AEC和△AEF的面积，即可解答.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得：OC=OD，CE=CD=DE，
在△COE和△DOE中，
∵，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE， ③ 正确；
∵CE=DE，OC=OD，∴OE为CD的垂直平分线，即 CD⊥OE ， ④ 正确；
∵CE=CD=ED，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD=2CF， ② 正确；
∵△CDE为等边三角形，∠CEF=∠DEF=30°，∵∠COD的度数不确定，
∴∠DOE的度数不确定，
∴CE不一定平行OB， ①不正确 .
综上，正确的是 ②③④ .
故答案为：D.
【分析】由作法得OC=OD，CE= DE =CD，根据SSS证明△OCE≌△ODE，得出∠COE=∠DOE，可对③作出判断；利用垂直平分线的性质和△CDE为等边三角形的性质得到EF⊥CD， CF= DF，则可对②④作出判断；由于∠AOB不能确定为60°，所以∠CEO不能确定等于∠DOE，则可对①作出判断.
11．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】定义、命题及定理的概念；逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【分析】根据逆命题的定义求解即可。
12．【答案】105
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∠2=90°-45°=45°，
∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.
故答案为：105°.
【分析】先根据角的和差关系求出∠2，然后根据三角形外角的性质求∠1即可.
13．【答案】3b+c-a
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边为a，b，c ，
∴
=b+c-a+b+c-a+a+b-c
=3b+c-a.
故答案为：3b+c-a.
【分析】根据三角形三边的关系，即两边之和等于第三边，两边之差小于第三边，先去绝对值，然后合并同类项，即可得出结果.
14．【答案】127
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解： ∵第一个数字不是7，
∴第一个数为1或2 ，
∵1和2的位置相邻，
∴前两个数字是1 ， 2或2 ， 1 ，
∴第三位是数字7，
又∵中间的数字不是1，
∴第一个数字只能是1，第二个数字为2，
∴密码为127.
故答案为：127.
【分析】先根据第一个数字不是7，得出第一个数字是1或2，结合1和2相邻，则可得出第三个是7，再由中间的数字不是1，确定第一和第二个数字，即可解答.
15．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线 ，
∴AE=EC，AD=CD，
∴AC=2AE=6，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19.
故答案为：19.
【分析】根据垂直平分线的性质得出AE=EC，AD=CD，则可求出AC和AB+BC的长，最后求△ABC的周长即可.
16．【答案】5或2.5或6
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当P在AC上， Q在BC上时，
∵∠ACB=90°，
∴∠ PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥EF ， QF⊥EF，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，∠PCE=∠CQF ，
∵PC=CQ ，
∴△PEC≌△QFC （AAS），
∵PC=CQ，
∴6-t=8-3t，
解得t=1，
∴CQ=8-3t=5 ；
当P在AC上，Q在AC上时，这时P、Q重合时，则CQ=PC，
∴6-t=3t-8 ，
解得t=3.5，
∴CQ=3t-8=2.5；
当P在BC上，Q在AC上时，这时A、Q重合时，则CQ=AC=6；
综上，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为5或2.5或6 .
故答案为： 5或2.5或6 .
【分析】分三种情况讨论，即(1)当P在AC上，Q在BC上时；(2)当P在AC上， Q在AC上时，即P、Q重合时；(3)当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时；根据全等三角形的条件分别构建关t的方程求解，即可求得CQ的长.
17．【答案】（1）解：如图，点P即为所求．
（2）解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线m与一点P即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质回答即可.
18．【答案】解：∵∠C=30°， ∠A=50°∴∠BDO=∠C +∠A=80°
∵∠BOD=70°∴∠B=180°-∠BOD-∠BDO=30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质求出∠BDO的度数，然后根据三角形内角和定理计算，即可解答.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，
∵在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)证明：先由平行线的性质得出∠B=∠C，然后由线段的和差关系求出BF=CE，再利用ASA证明△ABF≌△DCE，即可得出AF=DE；
(2)由(1)得△ABF≌△DCE， 得出∠AFB＝∠DEC， 然后由三角形的内角和定理推出∠AFE＝∠DEF， 即可证出AF∥DE．
20．【答案】解：结论：DE＝BD+CE．
证明：如右图，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠DAB＝90°，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠D＝∠E＝90°，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△ABD和△CAE中，
∵ ，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据余角的性质求出 ∠EAC＝∠DBA， 然后根据AAS证明 △ABD≌△CAE， 得出 AD＝CE，BD＝AE， 则可根据线段的和差关系，即可解答.
21．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先根据余角的性质求出 ∠BAD＝∠CAE， 然后根据SAS证明 △BAD≌△CAE 即可；
(2) 由（1）知△BAD≌△CAE， 得出 ∠ADB＝∠E，然后根据余角的性质推出∠ADB+∠ADE＝90°，即可得证．
22．【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，
理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2) 设两个角分别为x和2x-30°，
由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得：x=30°或70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°．
【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ；
② 根据①中的结论总结即可；
(2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.
23．【答案】（1）证明：∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，
在△BOF与△COA中， ，
∴△BOF≌△COA（AAS），
∴BF＝CA＝CD+AD，
∵AD＝DE，
∴BF＝CD+DE
（2）证明：∵BD垂直平分AE，
∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC
（3）证明：在△BAC与△EBF中， ，
∴△BAC≌△EBF（SAS），
∴∠BFE＝∠C＝45°，
∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠FEC＝45°
又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，
在△BEG与△BED中，
，
∴△BEG≌△BED（AAS），
∴BG＝BD．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据中线的定义得出BO＝CO，再利用AAS证明△BOF≌△COA ，得出BF=CA，结合AD＝DE，利用线段间的和差关系，即可解答；
(2)由题意得出BD垂直平分AE，则得BA=BE，可知∠BAC＝∠BEA，再结合平行线的性质，即可解答；
(3)利用SAS证明△BAC≌△EBF，结合∠C=45°，推出∠BGE=∠BDE=90°，再利用AAS证明△BEG≌△BED ，则可得出BG=BD.
1 / 1浙江省绍兴市锡麟中学2021-2022学年八年级上学期国庆假期作业检查数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2017八上·秀洲期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．1.5cm 3.9cm 2.3cm B．3.5cm 7.1cm 3.6cm
C．6cm 1cm 6cm D．4cm 10cm 4cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A.1.5+2.3＜3.9，不能组成三角形，故不符合题意；
B.3.5+3.6=7.1，不能组成三角形，故不符合题意；
C.1+6＞6，能够组成三角形，故符合题意；
D.4+4＜10，不能组成三角形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边关系定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
2．（2016八上·萧山期中）下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；
C、符合命题的定义，是命题；
D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．
故选C．
【分析】根据命题的定义作答．
3．（2021八上·绍兴开学考）已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴这个三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由条件得出∠A=∠B+∠C，然后根据三角形内角和列式求出∠C=90°，即可判断.
4．（2021八上·绍兴开学考）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．无理数是无限小数 B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】D
【知识点】平方根；平行线的性质；无理数的认识；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是：无限小数是无理数；因为无限循环小数是有理数，错误；
B、逆命题是：如果a2＝b2 ，那么a＝b ；因为如果a2＝b2 ，那么a＝±b，错误；
C、逆命题是：相等的角是对顶角；因为相等的角是不一定是对顶角，如两直线平行，内错角相等；错误；
C、逆命题是：同旁内角互补 ，两直线平行；正确；
故答案为：D.
【分析】先分别写出逆命题，然后判别其真假性，若如能举出反例则是假命题，否则就是真命题.
5．（2021八上·绍兴开学考）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．60° B．100° C．120° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'
∴∠C=∠C'＝24°
∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°，
故答案为：C.
【分析】先根据三角形全等的性质求∠C，再由三角形的内角和为180°求出∠B.
6．（2021八上·绍兴开学考）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，AC=AC， ∠ACB＝∠DAC，∴△BAC≌△DCA （ASA），正确；
B、∠B=∠D，∠ACB＝∠DAC，AC=AC， ∴ △BAC≌△DCA（AAS） ，正确；
C、 AC=CD ，AC=AC，∠ACB＝∠DAC， SSA不能证明三角形全等，错误；
D、AD=BC，∠ACB＝∠DAC，AC=AC， ∴ △BAC≌△DCA（SAS） ，正确；
故答案为：C.
【分析】三角形全等的判定定理有：SAS，AAS，ASA，SSS，根据条件分别判断即可.
7．（2021八上·绍兴开学考）两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2．则阴影部分面积为（ ）
A．7 B．6 C．14 D．4
【答案】A
【知识点】平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：OE=DE-OD=4-1=3，
∵△ABC≌△DEF，
∴S阴影=S△ABC-S△OEC=S△DEF-S△OEC=S梯形ABEO=（AB+OE）×BE=（4+3）×2=7.
故答案为：A.
【分析】先根据线段的和差关系求出OE，然后根据平移的性质，利用分割法推出阴影部分的面积等于梯形ABEO的面积，然后根据梯形的面积计算即可.
8．（2021八上·绍兴开学考）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
【答案】A
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：解： ∵1号杯子左侧出口比右侧高，
∴水先从左侧流出，进入3号杯子，
∵3杯子左侧封闭，水只能从右侧流出，而右侧流入5号杯子，但3号杯子的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯子.
故答案为：A.
【分析】根据水先从位置低的出口流出，可判断先灌满1号杯子左侧的几个杯子，再观察3号杯子的两个出口端的情况，即可判断.
9．（2021八上·绍兴开学考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC=6 cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△AEC=S△ADC=3 cm2，
∵F是EC的中点，
∴S△AEF=S△AEC=1.5cm2.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高两三角形面积相等，分步求出△ADC、△AEC和△AEF的面积，即可解答.
10．（2021八上·绍兴开学考）如图，已知∠AOB，按下面步骤作图：
（1）在射线OA上任意取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接CE，DE；
（3）作射线OE交CD于点F．根据以上所作图形，有如下结论：
①CE∥OB；②CE＝2CF；③∠AOE＝∠BOE；④CD⊥OE．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得：OC=OD，CE=CD=DE，
在△COE和△DOE中，
∵，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE， ③ 正确；
∵CE=DE，OC=OD，∴OE为CD的垂直平分线，即 CD⊥OE ， ④ 正确；
∵CE=CD=ED，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD=2CF， ② 正确；
∵△CDE为等边三角形，∠CEF=∠DEF=30°，∵∠COD的度数不确定，
∴∠DOE的度数不确定，
∴CE不一定平行OB， ①不正确 .
综上，正确的是 ②③④ .
故答案为：D.
【分析】由作法得OC=OD，CE= DE =CD，根据SSS证明△OCE≌△ODE，得出∠COE=∠DOE，可对③作出判断；利用垂直平分线的性质和△CDE为等边三角形的性质得到EF⊥CD， CF= DF，则可对②④作出判断；由于∠AOB不能确定为60°，所以∠CEO不能确定等于∠DOE，则可对①作出判断.
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（2021七下·庐江期末）“对顶角相等”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】定义、命题及定理的概念；逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【分析】根据逆命题的定义求解即可。
12．（2021八上·绍兴开学考）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 ．
【答案】105
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∠2=90°-45°=45°，
∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.
故答案为：105°.
【分析】先根据角的和差关系求出∠2，然后根据三角形外角的性质求∠1即可.
13．（2021八上·绍兴开学考）设三角形的三边为a，b，c化简 = .
【答案】3b+c-a
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边为a，b，c ，
∴
=b+c-a+b+c-a+a+b-c
=3b+c-a.
故答案为：3b+c-a.
【分析】根据三角形三边的关系，即两边之和等于第三边，两边之差小于第三边，先去绝对值，然后合并同类项，即可得出结果.
14．（2021八上·绍兴开学考）有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【答案】127
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解： ∵第一个数字不是7，
∴第一个数为1或2 ，
∵1和2的位置相邻，
∴前两个数字是1 ， 2或2 ， 1 ，
∴第三位是数字7，
又∵中间的数字不是1，
∴第一个数字只能是1，第二个数字为2，
∴密码为127.
故答案为：127.
【分析】先根据第一个数字不是7，得出第一个数字是1或2，结合1和2相邻，则可得出第三个是7，再由中间的数字不是1，确定第一和第二个数字，即可解答.
15．（2021八上·绍兴开学考）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线 ，
∴AE=EC，AD=CD，
∴AC=2AE=6，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19.
故答案为：19.
【分析】根据垂直平分线的性质得出AE=EC，AD=CD，则可求出AC和AB+BC的长，最后求△ABC的周长即可.
16．（2021八上·绍兴开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 ．
【答案】5或2.5或6
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当P在AC上， Q在BC上时，
∵∠ACB=90°，
∴∠ PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥EF ， QF⊥EF，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，∠PCE=∠CQF ，
∵PC=CQ ，
∴△PEC≌△QFC （AAS），
∵PC=CQ，
∴6-t=8-3t，
解得t=1，
∴CQ=8-3t=5 ；
当P在AC上，Q在AC上时，这时P、Q重合时，则CQ=PC，
∴6-t=3t-8 ，
解得t=3.5，
∴CQ=3t-8=2.5；
当P在BC上，Q在AC上时，这时A、Q重合时，则CQ=AC=6；
综上，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为5或2.5或6 .
故答案为： 5或2.5或6 .
【分析】分三种情况讨论，即(1)当P在AC上，Q在BC上时；(2)当P在AC上， Q在AC上时，即P、Q重合时；(3)当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时；根据全等三角形的条件分别构建关t的方程求解，即可求得CQ的长.
三、解答题（共7小题，共计52分）
17．（2021八上·绍兴开学考）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）
请用尺规在图上找出点P；
（2）
请说明你作图的依据．
【答案】（1）解：如图，点P即为所求．
（2）解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线m与一点P即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质回答即可.
18．（2021八上·绍兴开学考）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O.已知∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数.
【答案】解：∵∠C=30°， ∠A=50°∴∠BDO=∠C +∠A=80°
∵∠BOD=70°∴∠B=180°-∠BOD-∠BDO=30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质求出∠BDO的度数，然后根据三角形内角和定理计算，即可解答.
19．（2021八上·绍兴开学考）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：
（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，
∵在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)证明：先由平行线的性质得出∠B=∠C，然后由线段的和差关系求出BF=CE，再利用ASA证明△ABF≌△DCE，即可得出AF=DE；
(2)由(1)得△ABF≌△DCE， 得出∠AFB＝∠DEC， 然后由三角形的内角和定理推出∠AFE＝∠DEF， 即可证出AF∥DE．
20．（2021八上·绍兴开学考）如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB＝AC，∠BAC＝90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．
【答案】解：结论：DE＝BD+CE．
证明：如右图，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠DAB＝90°，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠D＝∠E＝90°，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△ABD和△CAE中，
∵ ，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据余角的性质求出 ∠EAC＝∠DBA， 然后根据AAS证明 △ABD≌△CAE， 得出 AD＝CE，BD＝AE， 则可根据线段的和差关系，即可解答.
21．（2021八上·绍兴开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）
求证：△BAD≌△CAE；
（2）
试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先根据余角的性质求出 ∠BAD＝∠CAE， 然后根据SAS证明 △BAD≌△CAE 即可；
(2) 由（1）知△BAD≌△CAE， 得出 ∠ADB＝∠E，然后根据余角的性质推出∠ADB+∠ADE＝90°，即可得证．
22．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，
理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2) 设两个角分别为x和2x-30°，
由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得：x=30°或70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°．
【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ；
② 根据①中的结论总结即可；
(2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.
23．（2021八上·绍兴开学考）已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）
求证：BF＝CD+DE；
（2）
求证：∠FBE＝∠BAC
（3）
若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
【答案】（1）证明：∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，
在△BOF与△COA中， ，
∴△BOF≌△COA（AAS），
∴BF＝CA＝CD+AD，
∵AD＝DE，
∴BF＝CD+DE
（2）证明：∵BD垂直平分AE，
∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC
（3）证明：在△BAC与△EBF中， ，
∴△BAC≌△EBF（SAS），
∴∠BFE＝∠C＝45°，
∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠FEC＝45°
又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，
在△BEG与△BED中，
，
∴△BEG≌△BED（AAS），
∴BG＝BD．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据中线的定义得出BO＝CO，再利用AAS证明△BOF≌△COA ，得出BF=CA，结合AD＝DE，利用线段间的和差关系，即可解答；
(2)由题意得出BD垂直平分AE，则得BA=BE，可知∠BAC＝∠BEA，再结合平行线的性质，即可解答；
(3)利用SAS证明△BAC≌△EBF，结合∠C=45°，推出∠BGE=∠BDE=90°，再利用AAS证明△BEG≌△BED ，则可得出BG=BD.
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