2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第11讲 一元一次不等式组
一、单选题
1．（2020八下·郑州月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【解析】【解答】A、是二元一次不等式组，故A错误；
B、是一元一次不等式组，故B正确；
C、是一元二次不等式组，故C错误；
D、不是一元一次不等式组，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案.
2．（2020八下·灯塔月考）若不等式组 的解集为 ，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a＝0 C．a＞4 D．a＝4
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由（1）得：x＜ ，
由（2）得：x＜4，
又∵x＜0，
∴ =0，
解得：a=0.
故答案为：B.
【分析】解出不等式组的解集，然后与x＜0比较，从而得出a的范围.
3．（2020八下·西安月考）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥15”为一次运行过程.如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．3≤x＜7 C．3＜x≤7 D．x≤7
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
解得：3≤x＜7.
故答案为：B.
【分析】根据计算机程序建立关于x的不等式组，再求出不等式组的解集。
4．（2020八下·西安月考）已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5或a＜﹣2 B．﹣2≤a≤5
C．﹣2＜a＜5 D．a≥5或a≤﹣2
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解 ，得
a﹣1＜x＜a+2，
由不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，得
a+2≤0或a﹣1≥4，
解得a≥5或a≤﹣2，
故答案为：D.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，可得到a+2≤0或a﹣1≥4，分别求出不等式的解集即可。
5．（2018八上·重庆期末）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且一次函数 的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 得， ，
不等式组有且只有四个整数解，
其整数解为： ，0，1，2，
，即 ．
一次函数 的图象不经过第三象限，
，解得 ，
，
的整数解有 ， ， ．
符合题意的整数k的和为 ，
故选：C．
【分析】根据关于x不等式组 有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数 的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集即可．
6．已知关于x的不等式组﹣1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，则b满足的条件是（ ）
A．0＜b＜2 B．﹣3＜b＜﹣1 C．﹣3≤b≤﹣1 D．b=﹣1或﹣3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵-1＜2x+b＜1
∴ ，
∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，
∴ ，
解得：-3≤b≤-1，
故答案为：C．
【分析】将不等式组通过移项用x表示出，解出b的范围即可。
7．公司计划用不超过500万元的资金购买单价分别为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有（ ）种
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购乙种设备y台，依题意得：
2≤y≤32/7
∵ y为整数，
∴y=2，3，4
当y=2时，购买甲种设备3，4，5，6
当y=3时 ，购买甲种设备3，4
当y=4时，购买甲种设备3
故不同的购买方式共有7种．
故应选：C.
【分析】设购买乙种设备y台，根据购买两种设备的资金不超过500万元，乙种设备至少买2套，列出不等式组，求解得出其正整数解，进而得出购买方案。
8．如图所示，可以得出不等式组的解集是（ ）
A．x＜4 B．﹣1＜x＜0
C．0＜x＜4 D．﹣1＜x＜4
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图可知，不等式组的解集是﹣1＜x＜4．
故选D．
【分析】根据图象找出两直线在x轴上方部分的x的取值范围．
9．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[0）=0 B．[x）﹣x的最小值是0
C．[x）﹣x的最大值是0 D．存在实数x，使[x）﹣x=0.5
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：A、[0）=1，故本项错误；
B、[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误；
C、[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项错误；
D、存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故选：D．
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
10．若无解，则a的取值范围是：（ ）
A．a<－2 B．a≤－2 C．a>－2 D．a≥－2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据求不等式组的解集的口诀即可得到关于a的不等式，再解出即可。
由题意得a-1≥2a+1，解得，a≤－2，故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解)。
11．（2019七下·兴化期末）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=3，y=2 C．x=4，y=1 D．x=2，y=3
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】由题意得，7x+9y≤40
则，
∵40-9y，且y是非负整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，，则x=4，此时，所剩的废料是：40-1×9-4×7=3mm；
当y=2时，，则x=3，此时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm；
当y=3时，，则x=1，此时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm；
当y=4时，，则x=0（舍去)．
则最小的是：x=3，y=2．
故选B．
【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定。
12．如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有（ ）
A．49对 B．42对 C．36对 D．13对
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组的整数解仅为1，2，3，求出m，n的取值，从而确定这个不等式组的整数对（m，n)共有几个．
【解答】的解集为≤x＜，
∵不等式组的整数解仅为1，2，3，
∴0＜≤1，3＜≤4，
解得0＜m≤7，18＜n≤24，
∴m可取1，2，3，4，5，6，7，共7个，n可取19，20，21，22，23，24，共6个．
整数对（m，n)共有7×6=42对，
故选B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出m，n的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题
13．若一个三角形的3边长分别是xcm、（x+4）cm、（12﹣2x）cm，则x的取值范围是
【答案】2＜x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：2＜x＜4，
故答案为：2＜x＜4．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得不等式组，再解不等式组即可．
14．已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2016 ．
【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得x＞m+n﹣2，
解②得x＜m．
则不等式组的解集是m+n﹣2＜x＜m．
根据题意得： ，
解得： ，
则（m+n）2016=1．
故答案是：1．
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据解集是﹣1＜x＜2，即可列方程组求得m和n的值，进而求代数式的值．
15．（2019八下·渠县期末）对于实数x我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.8]＝1，[7]＝7，[﹣5]＝﹣5，[﹣2.9]＝﹣3，若[ ]＝﹣2，则x的取值范围是 ．
【答案】﹣9≤x＜﹣3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵[x]表示不大于x的最大整数，[ ]＝﹣2，
∴﹣2≤ ＜﹣1，
解得：﹣9≤x＜﹣3．
故答案为：﹣9≤x＜﹣3．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，解不等式求出x的取值范围即可得答案．
16．（2019八下·太原期中）空气炸锅利用高速空气循环技术煎炸各种美味食物，既安全又经济.某品牌空气炸锅进价为800元，标价为1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于 ，则至多打 折时销售最优惠.
【答案】7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】设最多打x折，由题意得
1200× -800≥800×5%，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故答案为：7．
【分析】根据利润率不低于5% ，可列出价格的不等式，解出x的取值范围即可。
17．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒．则这个儿童福利院的儿童最少有 个，最多有 个．
【答案】19；21
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x名儿童，则又牛奶5x+18盒，则若每人分6盒，则最后一个人分得的数量是（5x+18）﹣6（x﹣1）=24﹣x．
根据题意得： ，
解得：18＜x≤21．
则这个儿童福利院的儿童最少有19人，最多有21人．
故答案是：19，21．
【分析】设有x名儿童，则又牛奶5x+18盒，则若每人分6盒，则最后一个人分得的数量是（5x+18）﹣6（x﹣1）=24﹣x，然后根据最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒列不等式组求解．
18．对于整数a、b、c、d，符号 表示运算ac﹣bd，已知1＜ ＜4，则乘积bd的整数解个数是 ．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可得 ，解得，0＜bd＜3，
因为bd为整数，所以bd为1、2，共2个．
【分析】先根据题意列出不等式组，求出bd的取值范围，找出符合题意的乘积bd的整数解即可．
19．将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友 个，苹果 个．
【答案】5或6；37或42
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，
依题意得：0＜8x﹣（5x+12）＜8，
可化为： ，
解得：4＜x＜ ，
∵x是正整数，
∴x取5或6，
当x=5时，5x+12=37；当x=6时，5x+12=42，
∴有两种情况满足题意：①这一箱苹果有37个，小朋友有5位；②这一箱苹果有42个，小朋友有6位，
故答案为：5或6；37或42．
【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，表示出需要苹果的个数，减去苹果的总数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足8个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数．
20．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
三、解答题
21．（2019八下·碑林期末）求不等式组 的正整数解.
【答案】解： ，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故满足不等式组的正整数解为：1，2.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，最后再在解集范围内求出其整数解即可.
22．（2019八下·襄汾期中）若数 使关于 的分式方程 的解为正数，且使关于 的不等式组 的解集为 ，求符合条件的所有整数 的和.
【答案】解：分式方程 + =4的解为x＝ 且x≠1，
∵关于x的分式方程 + =4的解为正数，
∴ ＞0且 ≠1，
∴a＜6且a≠2．
解不等式①得：y＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组 的解集为y＜-2，
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据关于x的分式方程的解为正数，可得出a的取值范围，然后解出关于y的不等式组，得到a的取值范围。
23．用甲、乙两种原料配制某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买两种原料的价格如表：
原料 甲 乙
维生素C的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量应满足的范围．
【答案】解：需用x千克甲种原料，则需乙种原料（10﹣x）千克，
依题意得： ；
由第一个不等式变形得：600x+1000﹣100x≥4200，
整理得：500x≥3200，
解得：x≥6.4，
由第二个不等式变形得：8x+40﹣4x≤72，
整理得：4x≤32，
解得：x≤8，
可得6.4≤x≤8．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需用x千克甲种原料，则需乙种原料（10﹣x）千克，根据“甲、乙两种原料的费用不超过72元”和“至少含有4200单位的维生素C”列不等式组，解不等式组即可求解．
24．一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？
【答案】解：设白球有x个，红球有y个，
由题意得， ，
由第一个不等式得：3x＜3y＜6x，
由第二个个式子得，3y=60﹣2x，
则有3x＜60﹣2x＜6x，
∴7.5＜x＜12，
∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60﹣3y=3（20﹣y），
∴2x应是3的倍数，
∴x只能取9，
此时y= =14．
答：白球有9个，红球有14个
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】设白球有x个，红球有y个，根据白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，列出不等式，然后根据总数为60，列出方程，综合求解即可．
25．（2017八上·乐清期中）育英学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
【答案】（1）解：设单独租用35座客车需x辆，由题意得：解得： ∴ （人）
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）解：设租35座客车y辆，则租55座客车（ ）辆，由题意得：
解这个不等式组，得 ．
∵y取正整数，∴y = 2．
∴4－y = 4－2 = 2．
∴320×2＋400×2 = 1440（元）．
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据八年级学生人数不变，建立方程求解即可。
（2）此题的不等关系为：35座车的辆数×35+55座车的辆数×55≥八年级学生的总人数；55座客车每一辆的租金×55座车的辆数+35座客车每一辆的租金×35座车的辆数≤1500，列不等式组，求出不等式组的正整数解，即可解答。
26．为了激发学生学习英语的兴趣，某中学举行了校园英文歌曲大赛，并设立了一、二、三等奖．学校计划根据设奖情况共买50件奖品，其中购买二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件，购买三等奖奖品所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，且三等奖奖品数不能少于前两种奖品数之和．其中各种奖品的单价如下表所示，如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．
奖品 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元） 20 10 5
（1）用含有x的代数式表示：该校团委购买二等奖奖品多少件，三等奖奖品多少件？并用x的代数式表示w．
（2）请问共有哪几种方案？
（3）请你计算一下，学校应如何购买这三种奖品，才能使所支出的总费用最少，最少是多少元？
【答案】（1）解：∵买一等奖奖品x件，
∴买二等奖奖品（2x﹣10）件，三等奖奖品（60﹣3x）件，
∴W=20x+10（2x﹣10）+5（60﹣3x）=25x+200
（2）解：由题意得，
，
解得10≤x≤
∴x=10，11
答：有两种方案，方案一：一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；方案二：一等奖11人，二等奖12人，三等奖27人
（3）解：∵W随x的增大而增大，
∴x=10时，
W最小=450；
答：购买一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；才能使所支出的总费用最少，最少是450元
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件为（2x﹣10），进一步表示出三等奖；分别算出三种奖品的费用相加即是总费用；（2）再根据题意列出不等式组即可求解；（3）一次函数的系数k=25，故根据函数的性质可知w随x的增大而增大．根据题（1）可求最小值．
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第11讲 一元一次不等式组
一、单选题
1．（2020八下·郑州月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八下·灯塔月考）若不等式组 的解集为 ，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a＝0 C．a＞4 D．a＝4
3．（2020八下·西安月考）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥15”为一次运行过程.如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．3≤x＜7 C．3＜x≤7 D．x≤7
4．（2020八下·西安月考）已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5或a＜﹣2 B．﹣2≤a≤5
C．﹣2＜a＜5 D．a≥5或a≤﹣2
5．（2018八上·重庆期末）若关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且一次函数 的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k的和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式组﹣1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，则b满足的条件是（ ）
A．0＜b＜2 B．﹣3＜b＜﹣1 C．﹣3≤b≤﹣1 D．b=﹣1或﹣3
7．公司计划用不超过500万元的资金购买单价分别为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有（ ）种
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图所示，可以得出不等式组的解集是（ ）
A．x＜4 B．﹣1＜x＜0
C．0＜x＜4 D．﹣1＜x＜4
9．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[0）=0 B．[x）﹣x的最小值是0
C．[x）﹣x的最大值是0 D．存在实数x，使[x）﹣x=0.5
10．若无解，则a的取值范围是：（ ）
A．a<－2 B．a≤－2 C．a>－2 D．a≥－2
11．（2019七下·兴化期末）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=3，y=2 C．x=4，y=1 D．x=2，y=3
12．如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有（ ）
A．49对 B．42对 C．36对 D．13对
二、填空题
13．若一个三角形的3边长分别是xcm、（x+4）cm、（12﹣2x）cm，则x的取值范围是
14．已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2016 ．
15．（2019八下·渠县期末）对于实数x我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.8]＝1，[7]＝7，[﹣5]＝﹣5，[﹣2.9]＝﹣3，若[ ]＝﹣2，则x的取值范围是 ．
16．（2019八下·太原期中）空气炸锅利用高速空气循环技术煎炸各种美味食物，既安全又经济.某品牌空气炸锅进价为800元，标价为1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于 ，则至多打 折时销售最优惠.
17．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒．则这个儿童福利院的儿童最少有 个，最多有 个．
18．对于整数a、b、c、d，符号 表示运算ac﹣bd，已知1＜ ＜4，则乘积bd的整数解个数是 ．
19．将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友 个，苹果 个．
20．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
三、解答题
21．（2019八下·碑林期末）求不等式组 的正整数解.
22．（2019八下·襄汾期中）若数 使关于 的分式方程 的解为正数，且使关于 的不等式组 的解集为 ，求符合条件的所有整数 的和.
23．用甲、乙两种原料配制某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买两种原料的价格如表：
原料 甲 乙
维生素C的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量应满足的范围．
24．一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？
25．（2017八上·乐清期中）育英学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
26．为了激发学生学习英语的兴趣，某中学举行了校园英文歌曲大赛，并设立了一、二、三等奖．学校计划根据设奖情况共买50件奖品，其中购买二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件，购买三等奖奖品所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，且三等奖奖品数不能少于前两种奖品数之和．其中各种奖品的单价如下表所示，如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．
奖品 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元） 20 10 5
（1）用含有x的代数式表示：该校团委购买二等奖奖品多少件，三等奖奖品多少件？并用x的代数式表示w．
（2）请问共有哪几种方案？
（3）请你计算一下，学校应如何购买这三种奖品，才能使所支出的总费用最少，最少是多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【解析】【解答】A、是二元一次不等式组，故A错误；
B、是一元一次不等式组，故B正确；
C、是一元二次不等式组，故C错误；
D、不是一元一次不等式组，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由（1）得：x＜ ，
由（2）得：x＜4，
又∵x＜0，
∴ =0，
解得：a=0.
故答案为：B.
【分析】解出不等式组的解集，然后与x＜0比较，从而得出a的范围.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
解得：3≤x＜7.
故答案为：B.
【分析】根据计算机程序建立关于x的不等式组，再求出不等式组的解集。
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解 ，得
a﹣1＜x＜a+2，
由不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，得
a+2≤0或a﹣1≥4，
解得a≥5或a≤﹣2，
故答案为：D.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，可得到a+2≤0或a﹣1≥4，分别求出不等式的解集即可。
5．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 得， ，
不等式组有且只有四个整数解，
其整数解为： ，0，1，2，
，即 ．
一次函数 的图象不经过第三象限，
，解得 ，
，
的整数解有 ， ， ．
符合题意的整数k的和为 ，
故选：C．
【分析】根据关于x不等式组 有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数 的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集即可．
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵-1＜2x+b＜1
∴ ，
∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，
∴ ，
解得：-3≤b≤-1，
故答案为：C．
【分析】将不等式组通过移项用x表示出，解出b的范围即可。
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购乙种设备y台，依题意得：
2≤y≤32/7
∵ y为整数，
∴y=2，3，4
当y=2时，购买甲种设备3，4，5，6
当y=3时 ，购买甲种设备3，4
当y=4时，购买甲种设备3
故不同的购买方式共有7种．
故应选：C.
【分析】设购买乙种设备y台，根据购买两种设备的资金不超过500万元，乙种设备至少买2套，列出不等式组，求解得出其正整数解，进而得出购买方案。
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图可知，不等式组的解集是﹣1＜x＜4．
故选D．
【分析】根据图象找出两直线在x轴上方部分的x的取值范围．
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：A、[0）=1，故本项错误；
B、[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误；
C、[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项错误；
D、存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故选：D．
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据求不等式组的解集的口诀即可得到关于a的不等式，再解出即可。
由题意得a-1≥2a+1，解得，a≤－2，故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解)。
11．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】由题意得，7x+9y≤40
则，
∵40-9y，且y是非负整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，，则x=4，此时，所剩的废料是：40-1×9-4×7=3mm；
当y=2时，，则x=3，此时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm；
当y=3时，，则x=1，此时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm；
当y=4时，，则x=0（舍去)．
则最小的是：x=3，y=2．
故选B．
【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定。
12．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组的整数解仅为1，2，3，求出m，n的取值，从而确定这个不等式组的整数对（m，n)共有几个．
【解答】的解集为≤x＜，
∵不等式组的整数解仅为1，2，3，
∴0＜≤1，3＜≤4，
解得0＜m≤7，18＜n≤24，
∴m可取1，2，3，4，5，6，7，共7个，n可取19，20，21，22，23，24，共6个．
整数对（m，n)共有7×6=42对，
故选B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出m，n的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13．【答案】2＜x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：2＜x＜4，
故答案为：2＜x＜4．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得不等式组，再解不等式组即可．
14．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得x＞m+n﹣2，
解②得x＜m．
则不等式组的解集是m+n﹣2＜x＜m．
根据题意得： ，
解得： ，
则（m+n）2016=1．
故答案是：1．
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据解集是﹣1＜x＜2，即可列方程组求得m和n的值，进而求代数式的值．
15．【答案】﹣9≤x＜﹣3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵[x]表示不大于x的最大整数，[ ]＝﹣2，
∴﹣2≤ ＜﹣1，
解得：﹣9≤x＜﹣3．
故答案为：﹣9≤x＜﹣3．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，解不等式求出x的取值范围即可得答案．
16．【答案】7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】设最多打x折，由题意得
1200× -800≥800×5%，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故答案为：7．
【分析】根据利润率不低于5% ，可列出价格的不等式，解出x的取值范围即可。
17．【答案】19；21
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x名儿童，则又牛奶5x+18盒，则若每人分6盒，则最后一个人分得的数量是（5x+18）﹣6（x﹣1）=24﹣x．
根据题意得： ，
解得：18＜x≤21．
则这个儿童福利院的儿童最少有19人，最多有21人．
故答案是：19，21．
【分析】设有x名儿童，则又牛奶5x+18盒，则若每人分6盒，则最后一个人分得的数量是（5x+18）﹣6（x﹣1）=24﹣x，然后根据最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒列不等式组求解．
18．【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可得 ，解得，0＜bd＜3，
因为bd为整数，所以bd为1、2，共2个．
【分析】先根据题意列出不等式组，求出bd的取值范围，找出符合题意的乘积bd的整数解即可．
19．【答案】5或6；37或42
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，
依题意得：0＜8x﹣（5x+12）＜8，
可化为： ，
解得：4＜x＜ ，
∵x是正整数，
∴x取5或6，
当x=5时，5x+12=37；当x=6时，5x+12=42，
∴有两种情况满足题意：①这一箱苹果有37个，小朋友有5位；②这一箱苹果有42个，小朋友有6位，
故答案为：5或6；37或42．
【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，表示出需要苹果的个数，减去苹果的总数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足8个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数．
20．【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
21．【答案】解： ，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故满足不等式组的正整数解为：1，2.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，最后再在解集范围内求出其整数解即可.
22．【答案】解：分式方程 + =4的解为x＝ 且x≠1，
∵关于x的分式方程 + =4的解为正数，
∴ ＞0且 ≠1，
∴a＜6且a≠2．
解不等式①得：y＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组 的解集为y＜-2，
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据关于x的分式方程的解为正数，可得出a的取值范围，然后解出关于y的不等式组，得到a的取值范围。
23．【答案】解：需用x千克甲种原料，则需乙种原料（10﹣x）千克，
依题意得： ；
由第一个不等式变形得：600x+1000﹣100x≥4200，
整理得：500x≥3200，
解得：x≥6.4，
由第二个不等式变形得：8x+40﹣4x≤72，
整理得：4x≤32，
解得：x≤8，
可得6.4≤x≤8．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需用x千克甲种原料，则需乙种原料（10﹣x）千克，根据“甲、乙两种原料的费用不超过72元”和“至少含有4200单位的维生素C”列不等式组，解不等式组即可求解．
24．【答案】解：设白球有x个，红球有y个，
由题意得， ，
由第一个不等式得：3x＜3y＜6x，
由第二个个式子得，3y=60﹣2x，
则有3x＜60﹣2x＜6x，
∴7.5＜x＜12，
∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60﹣3y=3（20﹣y），
∴2x应是3的倍数，
∴x只能取9，
此时y= =14．
答：白球有9个，红球有14个
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】设白球有x个，红球有y个，根据白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，列出不等式，然后根据总数为60，列出方程，综合求解即可．
25．【答案】（1）解：设单独租用35座客车需x辆，由题意得：解得： ∴ （人）
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）解：设租35座客车y辆，则租55座客车（ ）辆，由题意得：
解这个不等式组，得 ．
∵y取正整数，∴y = 2．
∴4－y = 4－2 = 2．
∴320×2＋400×2 = 1440（元）．
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据八年级学生人数不变，建立方程求解即可。
（2）此题的不等关系为：35座车的辆数×35+55座车的辆数×55≥八年级学生的总人数；55座客车每一辆的租金×55座车的辆数+35座客车每一辆的租金×35座车的辆数≤1500，列不等式组，求出不等式组的正整数解，即可解答。
26．【答案】（1）解：∵买一等奖奖品x件，
∴买二等奖奖品（2x﹣10）件，三等奖奖品（60﹣3x）件，
∴W=20x+10（2x﹣10）+5（60﹣3x）=25x+200
（2）解：由题意得，
，
解得10≤x≤
∴x=10，11
答：有两种方案，方案一：一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；方案二：一等奖11人，二等奖12人，三等奖27人
（3）解：∵W随x的增大而增大，
∴x=10时，
W最小=450；
答：购买一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；才能使所支出的总费用最少，最少是450元
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件为（2x﹣10），进一步表示出三等奖；分别算出三种奖品的费用相加即是总费用；（2）再根据题意列出不等式组即可求解；（3）一次函数的系数k=25，故根据函数的性质可知w随x的增大而增大．根据题（1）可求最小值．
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