初中数学苏科版八年级上册4.3 实数 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·湛江开学考）在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．-2 B． C．0 D．
2．下列说法正确的是
A．是最小的无理数 B．的绝对值是
C．的相反数是 D．比大
3．（2020八下·铁东期中）如图， ，则数轴上点C所表示的数为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2019八上·北京期中）实数a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞－4 B．bd＞0 C．b + c＞0 D．| a |＞|b|
5．（2016八上·永登期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
6．计算8的立方根与的平方根之和是（ ）
A．5 B．11 C．5或﹣1 D．11或﹣7
7．（2019八上·莲湖期中）比较两个实数 与 的大小，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的大小不确定
8．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
9．（2018八上·辽阳月考）下列命题中：①有限小数是有理数；②无限小数都是无理数；③任意两个无理数的和还是无理数；④开方开不尽的数是无理数；⑤一个数的算术平方根一定是正数；⑥一个数的立方根一定比这个数小；⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无理数.⑧有理数和数轴上的点一一对应；⑨不带根号的数一定是有理数；⑩负数没有立方根.其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．（2019七上·翁牛特旗期中）如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A．﹣2π B．1﹣2π C．﹣π D．1﹣π
二、填空题
11．（2020八上·南京期末）比较大小： 3．
12．（2020八上·东台期末）下列实数：12，- ，|﹣1|， ，0.1010010001…， ， 中，有理数有 个.
13．（2020八下·越城期中）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 和﹣1，则点C所对应的实数是 ．
14．（2020八下·凉州月考）如图，△ABC的边BC在数轴上，AB⊥BC，且BC＝3，AB＝1，以C为圆心，AC长为半径画圆分别交数轴于点A′、点A″，那么数轴上点A′、点A″所表示的数分别是 、 .
15．如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
16．在数轴上，点A表示实数 ,点B表示实数 ,那么A,B两点中离原点较远的点是 .
17．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么8※4= ．
18．设S1=1+ + ，S2=1+ + ，S3=1+ + ，…，Sn=1+ + ，设S= + +…+ ，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
三、解答题
19．（2020八上·张店期末）把下列各数填入相应的集合内
5 ， ，6 ， ， ， ，-π ，-0.13
⑴有理数集合｛ ｝
⑵无理数集合｛ ｝
⑶正实数集合｛ ｝
⑷负实数集合｛ ｝
20．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．
21．（2015八下·绍兴期中）设 ， ， ，…， ．若 ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
22．（2020八下·临汾月考）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2 个单位长度， 长方形ABCD的长AD是4 个单位长度，长方形EFGH的长EH是8 个单位长度，点E在数轴上表示的数是5 ，且E、D两点之间的距离为12 。
（1）点H在数轴上表示的数是 点，点A在数轴上表示的数是 。
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】：解：-2<0<<，故最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】根据负数小于0，0小于正数即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的基本概念依次分析各选项即可作出判断.
A．没有最小的无理数，此选项错误.
B．的绝对值是，本选项正确.
C．的相反数是，此选项错误，
D．比小，故错误；
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的基本概念，即可完成.
3．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由勾股定理得，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵点A表示的数是 1，
∴点C表示的数是 1.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.
4．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故不符合题意；
B. ∵b＜-1，d=4
∴bd<0，故不符合题意；
C. ∵-2∴b + c<0，故不符合题意；
D.
，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
5．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：当n= 时，n（n+1）= ×（ +1）=2+ ＜15；
当n=2+ 时，n（n+1）=（2+ ）×（3+ ）=6+5 +2=8+5 ＞15，
则输出结果为8+5 ．
故选：C．
【分析】将n的值代入计算框图，判断即可得到结果．
6．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题意得：8的立方根是2，=9，9的平方根是±3，
则8的立方根与的平方根之和为5或﹣1，
故选C
【分析】利用平方根，立方根定义计算即可得到结果．
7．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，故答案为：A.
【分析】先判断 的取值范围， 即 ，再进行变形，得到 的取值范围，即可判断与 的大小关系.
8．【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
9．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：①有限小数是有理数，故①正确；
②无限不循环小数是无理数，故②错误；
③任意两个无理数的和是无理数或有理数，故③错误；
④开方开不尽的数是无理数，故④正确；
⑤0的算术平方根是0，故⑤错误；
⑥0的立方根是0，故⑥错误；
⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无理数，故⑦正确；
⑧实数和数轴上的点一一对应，故⑧错误；
⑨π不带根号是无理数，故⑨错误；
⑩-1的立方根是-1，故⑩错误.
故答案为：A.
【分析】根据实数的意义即可判断求解。
10．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．
∴A点对应的数是1﹣2π．
故答案为：B．
【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点及π的值即可解答．
11．【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解： ，
∵8＜9，
∴ ＜3，
故填：＜.
【分析】首先分别求出 和3的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出 的平方和3的平方的大小关系，即可判断出 和3的大小关系．
12．【答案】4
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：12是有理数；- 是无理数；|﹣1|=1是有理数； =3是有理数；0.1010010001…是无理数； 是无理数； =1是有理数.共有4个有理数.
故答案为4.
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；一些含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数，就可得到已知数中的无理数的个数。
13．【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣ ＝ ﹣（﹣1），
解得x＝2 +1．
故答案是：2 +1．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
14．【答案】； .
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由勾股定理得，AC＝ ＝ ，
则CA′＝CA′′＝ ，
∴OA′＝ ﹣1，OA′′＝ +1，
∴A′、点A″所表示的数分别是1﹣ 和1+ ，
故答案为：1﹣ ；1+ .
【分析】根据勾股定理求出AC，得到OA′和OA′′的长，根据数轴的概念解答即可.
15．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的运算
【解析】【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度= ，
以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+ ．
故答案为：
【分析】在圆内的正方形中，根据勾股定理可求出圆的半径，根据数轴上根据点的位置即可表示出A点的数。
16．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，即 ＞ .
∴实数 的绝对值较大，所以离原点较远的点是点B.
故答案为：B.
【分析】离原点较远的点表示的数的绝对值较大，利用倒数比较 与 的大小即可解决问题.
17．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：8※4= = = ，
故答案为： ．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
18．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题意得：S1=1+ + =1+1+ = ，S2=1+ + =1+ + = ，S3=1+ + =1+ + = ，…，
Sn=1+ + = = ，
= =1+ =1+ ﹣ ，
则S= + +…+ =1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ﹣ =n+1﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】根据已知等式得出一般性规律，表示出Sn，代入 表示出 ，代入S中计算即可得到结果．
19．【答案】（1）有理数集合｛5，6， ， ，-0.13｝（2）无理数集合｛ ， ，-π｝（3）正实数集合｛5， ，6， ， ， ｝（4）负实数集合｛-π ，-0.13｝
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数，由此即可求解．
20．【答案】解：（1）点B表示的数是﹣2．
（2）点C表示的数是2﹣．
（3）由题可得：A表示，B表示﹣2，C表示2﹣，
∴OA=，OB=﹣2，OC=|2﹣|=﹣2．
∴OA+OB+OC=+-2+-2=3﹣4．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）根据左减右加进行计算；
（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；
（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．
21．【答案】解：∵ ， ， ，…， ．
∴S1=（ ）2，S2=（ ）2，S3=（ ）2，…，Sn=（ ）2，
∵ ，
∴S= ，
∴S=1+ ，
∴S=1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，
∴S=n+1﹣ =
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先分别求出S1，S2，…，Sn的值，再把S表示出来为S= ，然后变形为：S=1+ ，进而变形为：S=1+ ﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，从而可以得出结论．
22．【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为-9
线段EH上有一点N，且EN= EH，则N表示的数为7
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过x秒后，M点表示的数为4x-9 ，N点表示的数为7 -3x
①当OM=2ON时，则有|4x-9 |=2|7 -3x|，解得x= 题意，舍去)或x=
②当ON=2OM时，则有2|4x-9 |=|7 -3x|，解得x= 或x= 经验证，不符合题意，舍去)。
综上所述，当x= 或x= 时，原点O恰为线段MN的三等分点
（3）解：)根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，此时4t=ME=14 ，t=
②当∠MFN=90°时，MF 2+NF 2=MN 2
∵MN=16 -4t，ME=14 -4t，EN=2 ，EF=2 ，
∴MF2=ME2+EF2=(14 -4t)2+(2 )2=16t2-112 t+400，
MN2=(16 -4t)2=16t2-128 t+512，
FN2=(2 )2+(2 )2=16，
∴16t2-112 t+400+16=16t2-128 t+512，
解得t=3 。
③∠FNM≠90°
综上所述，存在这样的t，t的值为 或3
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）利用点在数轴上位置和两点之间的距离列式计算即可得解；
（2）先利用中点的定义求出AM的长度，然后同（1）可求出点M表示的数；同样的可求点N表示的数，从而表示出运动x秒时M、N表示的数，即可得线段OM、ON的值，然后分OM=2ON、ON=2OM列出方程求解即可；
（3）①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，据此列出方程求解；
②当∠MFN=90°时，利用勾股定理得MF2+NF2=MN2，据此列出方程求解；
③当∠FNM≠90°不成立。
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一、单选题
1．（2020八上·湛江开学考）在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】：解：-2<0<<，故最小的数是-2.
故答案为：A.
【分析】根据负数小于0，0小于正数即可得到答案.
2．下列说法正确的是
A．是最小的无理数 B．的绝对值是
C．的相反数是 D．比大
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的基本概念依次分析各选项即可作出判断.
A．没有最小的无理数，此选项错误.
B．的绝对值是，本选项正确.
C．的相反数是，此选项错误，
D．比小，故错误；
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的基本概念，即可完成.
3．（2020八下·铁东期中）如图， ，则数轴上点C所表示的数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由勾股定理得，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵点A表示的数是 1，
∴点C表示的数是 1.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.
4．（2019八上·北京期中）实数a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞－4 B．bd＞0 C．b + c＞0 D．| a |＞|b|
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故不符合题意；
B. ∵b＜-1，d=4
∴bd<0，故不符合题意；
C. ∵-2∴b + c<0，故不符合题意；
D.
，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
5．（2016八上·永登期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：当n= 时，n（n+1）= ×（ +1）=2+ ＜15；
当n=2+ 时，n（n+1）=（2+ ）×（3+ ）=6+5 +2=8+5 ＞15，
则输出结果为8+5 ．
故选：C．
【分析】将n的值代入计算框图，判断即可得到结果．
6．计算8的立方根与的平方根之和是（ ）
A．5 B．11 C．5或﹣1 D．11或﹣7
【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题意得：8的立方根是2，=9，9的平方根是±3，
则8的立方根与的平方根之和为5或﹣1，
故选C
【分析】利用平方根，立方根定义计算即可得到结果．
7．（2019八上·莲湖期中）比较两个实数 与 的大小，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的大小不确定
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，故答案为：A.
【分析】先判断 的取值范围， 即 ，再进行变形，得到 的取值范围，即可判断与 的大小关系.
8．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
9．（2018八上·辽阳月考）下列命题中：①有限小数是有理数；②无限小数都是无理数；③任意两个无理数的和还是无理数；④开方开不尽的数是无理数；⑤一个数的算术平方根一定是正数；⑥一个数的立方根一定比这个数小；⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无理数.⑧有理数和数轴上的点一一对应；⑨不带根号的数一定是有理数；⑩负数没有立方根.其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：①有限小数是有理数，故①正确；
②无限不循环小数是无理数，故②错误；
③任意两个无理数的和是无理数或有理数，故③错误；
④开方开不尽的数是无理数，故④正确；
⑤0的算术平方根是0，故⑤错误；
⑥0的立方根是0，故⑥错误；
⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无理数，故⑦正确；
⑧实数和数轴上的点一一对应，故⑧错误；
⑨π不带根号是无理数，故⑨错误；
⑩-1的立方根是-1，故⑩错误.
故答案为：A.
【分析】根据实数的意义即可判断求解。
10．（2019七上·翁牛特旗期中）如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A．﹣2π B．1﹣2π C．﹣π D．1﹣π
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．
∴A点对应的数是1﹣2π．
故答案为：B．
【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点及π的值即可解答．
二、填空题
11．（2020八上·南京期末）比较大小： 3．
【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解： ，
∵8＜9，
∴ ＜3，
故填：＜.
【分析】首先分别求出 和3的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出 的平方和3的平方的大小关系，即可判断出 和3的大小关系．
12．（2020八上·东台期末）下列实数：12，- ，|﹣1|， ，0.1010010001…， ， 中，有理数有 个.
【答案】4
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：12是有理数；- 是无理数；|﹣1|=1是有理数； =3是有理数；0.1010010001…是无理数； 是无理数； =1是有理数.共有4个有理数.
故答案为4.
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；一些含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数，就可得到已知数中的无理数的个数。
13．（2020八下·越城期中）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 和﹣1，则点C所对应的实数是 ．
【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣ ＝ ﹣（﹣1），
解得x＝2 +1．
故答案是：2 +1．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
14．（2020八下·凉州月考）如图，△ABC的边BC在数轴上，AB⊥BC，且BC＝3，AB＝1，以C为圆心，AC长为半径画圆分别交数轴于点A′、点A″，那么数轴上点A′、点A″所表示的数分别是 、 .
【答案】； .
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由勾股定理得，AC＝ ＝ ，
则CA′＝CA′′＝ ，
∴OA′＝ ﹣1，OA′′＝ +1，
∴A′、点A″所表示的数分别是1﹣ 和1+ ，
故答案为：1﹣ ；1+ .
【分析】根据勾股定理求出AC，得到OA′和OA′′的长，根据数轴的概念解答即可.
15．如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的运算
【解析】【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度= ，
以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+ ．
故答案为：
【分析】在圆内的正方形中，根据勾股定理可求出圆的半径，根据数轴上根据点的位置即可表示出A点的数。
16．在数轴上，点A表示实数 ,点B表示实数 ,那么A,B两点中离原点较远的点是 .
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，即 ＞ .
∴实数 的绝对值较大，所以离原点较远的点是点B.
故答案为：B.
【分析】离原点较远的点表示的数的绝对值较大，利用倒数比较 与 的大小即可解决问题.
17．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么8※4= ．
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：8※4= = = ，
故答案为： ．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
18．设S1=1+ + ，S2=1+ + ，S3=1+ + ，…，Sn=1+ + ，设S= + +…+ ，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题意得：S1=1+ + =1+1+ = ，S2=1+ + =1+ + = ，S3=1+ + =1+ + = ，…，
Sn=1+ + = = ，
= =1+ =1+ ﹣ ，
则S= + +…+ =1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ﹣ =n+1﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】根据已知等式得出一般性规律，表示出Sn，代入 表示出 ，代入S中计算即可得到结果．
三、解答题
19．（2020八上·张店期末）把下列各数填入相应的集合内
5 ， ，6 ， ， ， ，-π ，-0.13
⑴有理数集合｛ ｝
⑵无理数集合｛ ｝
⑶正实数集合｛ ｝
⑷负实数集合｛ ｝
【答案】（1）有理数集合｛5，6， ， ，-0.13｝（2）无理数集合｛ ， ，-π｝（3）正实数集合｛5， ，6， ， ， ｝（4）负实数集合｛-π ，-0.13｝
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数，由此即可求解．
20．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．
【答案】解：（1）点B表示的数是﹣2．
（2）点C表示的数是2﹣．
（3）由题可得：A表示，B表示﹣2，C表示2﹣，
∴OA=，OB=﹣2，OC=|2﹣|=﹣2．
∴OA+OB+OC=+-2+-2=3﹣4．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）根据左减右加进行计算；
（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；
（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．
21．（2015八下·绍兴期中）设 ， ， ，…， ．若 ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】解：∵ ， ， ，…， ．
∴S1=（ ）2，S2=（ ）2，S3=（ ）2，…，Sn=（ ）2，
∵ ，
∴S= ，
∴S=1+ ，
∴S=1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，
∴S=n+1﹣ =
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先分别求出S1，S2，…，Sn的值，再把S表示出来为S= ，然后变形为：S=1+ ，进而变形为：S=1+ ﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，从而可以得出结论．
22．（2020八下·临汾月考）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2 个单位长度， 长方形ABCD的长AD是4 个单位长度，长方形EFGH的长EH是8 个单位长度，点E在数轴上表示的数是5 ，且E、D两点之间的距离为12 。
（1）点H在数轴上表示的数是 点，点A在数轴上表示的数是 。
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由。
【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为-9
线段EH上有一点N，且EN= EH，则N表示的数为7
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过x秒后，M点表示的数为4x-9 ，N点表示的数为7 -3x
①当OM=2ON时，则有|4x-9 |=2|7 -3x|，解得x= 题意，舍去)或x=
②当ON=2OM时，则有2|4x-9 |=|7 -3x|，解得x= 或x= 经验证，不符合题意，舍去)。
综上所述，当x= 或x= 时，原点O恰为线段MN的三等分点
（3）解：)根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，此时4t=ME=14 ，t=
②当∠MFN=90°时，MF 2+NF 2=MN 2
∵MN=16 -4t，ME=14 -4t，EN=2 ，EF=2 ，
∴MF2=ME2+EF2=(14 -4t)2+(2 )2=16t2-112 t+400，
MN2=(16 -4t)2=16t2-128 t+512，
FN2=(2 )2+(2 )2=16，
∴16t2-112 t+400+16=16t2-128 t+512，
解得t=3 。
③∠FNM≠90°
综上所述，存在这样的t，t的值为 或3
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）利用点在数轴上位置和两点之间的距离列式计算即可得解；
（2）先利用中点的定义求出AM的长度，然后同（1）可求出点M表示的数；同样的可求点N表示的数，从而表示出运动x秒时M、N表示的数，即可得线段OM、ON的值，然后分OM=2ON、ON=2OM列出方程求解即可；
（3）①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，据此列出方程求解；
②当∠MFN=90°时，利用勾股定理得MF2+NF2=MN2，据此列出方程求解；
③当∠FNM≠90°不成立。
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