高中数学人教A版（2019）必修二 第七章 复数 单元测试
一、单选题
1．（2021·深圳模拟）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2021·甘肃模拟）若复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·韶关模拟）已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2020高三上·菏泽期末） 是虚数单位，若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-3 C．3 D．15
5．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2021·内江一模）已知 是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别为（ ）
A．7， B．-7，3 C．-7， D．7，-3
7．（2021·榆林模拟）若复数z为纯虚数，且 ，则 （ ）
A． B． C．-2 D．2
8．（2020·德州模拟）欧拉公式 ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 和 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 则 | z | =（ ）
A． B． C． D．3
9．（2020高三上·长沙月考）已知 ( ， 为虚数单位)，则实数a+b的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
10．（2020高二下·合肥开学考）若复数z的共轭复数记作 ，且复数 满足， 其中i为虚数单位，所以的虚部为（ ）
A． B． C．-2 D．2
11．（2019高二下·上海月考）若 ( 是虚数单位)，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
二、多选题
13．（2021·八省联考）设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
14．（2020高三上·福州期中）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
15．（2020高三上·郧县月考）已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
16．（2020高一下·邹城期中）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2020高二上·上海期末）设复数 满足 ，且使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的和为 .
18．（2018高二下·中山月考）已知复数 ，且 ，则 的最大值为 ．
19．（2020高二下·通辽期末）下列命题（ 为虚数单位）中：①已知 且 ，则 为纯虚数；②当 是非零实数时， 恒成立；③复数 的实部和虚部都是－2；④如果 ，则实数 的取值范围是 ；⑤复数 ，则 ；其中正确的命题的序号是 .
20．（2020高二下·虹口期末）若 ( 是虚数单位)是关于x的实系数方程 的一个根，则 等于 .
21．（2020高二下·台州期中）已知复数 若复数 是实数，则实数 ；若复数 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为 .
四、解答题
22．（2020高二下·重庆期末）
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
23．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
24．（2020高一下·滨海期中）设 是虚数， 是实数，且 .
（1）求 的值以及 的实部的取值范围；
（2）若 ，求证 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 的最小值.
25．（2020高二下·江西期中）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位，m,n为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ,
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】先求出z，再求出 的共轭复数即可。
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
故答案为：D
【分析】 由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ ， 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，进而求出a,b的值，从而求出ab的值。
5．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
6．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题得 ，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.
故答案为：D
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案。
7．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数z为纯虚数，即可求解。
8．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由欧拉公式 有： .
由 ，即
所以 ，即
所以
故答案为：A
【分析】由新定义将 化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出 后再求模．
9．【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ，故 则
故答案为：D
【分析】首先整理原式再由复数相等的性质即可求出a、b的值，由此得到答案。
10．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，
，
所以 ， ，所以 ，故 ，
所以 的虚部为2.
故答案为：D.
【分析】 首先根据题意设出z=a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，即可得出则答案。
11．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由复数的几何意义可知： 表示的点在单位圆上，
而|z 2 2i|表示该单位圆上的点到复数 表示的点 的距离，
由图象可知： 的最小值应为点 到 的距离，
而 ，圆的半径为1，
故 的最小值为 ，
故答案为：D．
【分析】易得复数 表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数 表示的点 的距离，由数形结合的思想可得答案．
12．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
13．【答案】B,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
故答案为：BC。
【分析】利用已知条件结合复数相等和复数的模相等的判断方法，从而结合复数乘法运算法则，从而结合已知条件找出正确的命题选项。
14．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故答案为：BD
【分析】因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
15．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的几何意义结合点的坐标在各象限的符号、复数为实数的判断方法、复数的模求解公式、复数的乘除法运算法则结合复数的定义，从而找出说法正确的选项。
16．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
17．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，( ， 且 )
则原方程 变为 .
所以 ，①且 ，②；（1）若 ，则 解得 ，当 时①无实数解，舍去；
从而 ， 此时 或3，故 满足条件；（2）若 ，由②知， 或 ，显然 不满足，故 ，代入①得 ， ，
所以 .
综上满足条件的所以复数的和为 .
故答案为：
【分析】 根据题意设出z=a+bi，（a，b∈R，a2+b2=1），得到ax2+2ax+2=0①，bx2-2bx=0②，通过讨论求出a，b的值，即可求出满足条件的所有z，相加即可得到答案．
18．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由 . 得， ，设 ，则 ， ， 的取值范 ，故大案为 .
【分析】本题利用复数的模求出x与y的关系方程，再利用参数方程的转化求出x与y，从而求出的表达式，再利用三角函数有关的性质不等式求出的最大值。
19．【答案】②③④
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对于①， ， 且 ，若 时，则 不是纯虚数，①错误；
对于②，当 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 恒成立，②正确；
对于③，复数 ， 的实部和虚部都是 ，③正确；
对于④，如果 ，则 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ，④正确；
对于⑤，复数 ，则 ， ⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】①当 时， 不是纯虚数；
②根据基本不等式的性质知 恒成立；
③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；
④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；
⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
20．【答案】1
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 是关于x的实系数方程 的一个根,
,
,
故答案为：1
【分析】把 代入方程，化简得 ，利用复数相等定义得解.
21．【答案】-3；
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 为实数，则 ，解得 或-3，又 ，所以 ．
对应点在第二象限，则 ，解得 ．
故答案为：-3； ．
【分析】根据复数的定义和复数的几何意义解答。
22．【答案】（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
【知识点】相等向量与相反向量；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得 的值，由此求得 .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得 的值.
23．【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
24．【答案】（1）解：由 是虚数，设 ，则
，
因为 为实数，所以 且 ，所以
所以 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，得
（2）解：因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 为纯虚数
（3）解： ，
由 ，得 ，
故当且仅当 ，即 时， 有最小值1
【知识点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设出复数 ，写出 的表示式，进行复数的运算，把 整理成最简形式，再根据所给 的范围，得到 的虚部为0，实部属于这个范围，得到 的实部的范围；（2）根据设出的 ，整理 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到 是一个纯虚数；（3） ，再利用基本不等式即可求得结果。
25．【答案】（1）解：因为 为纯虚数，所以 ．
又 ，所以 ， ，从而 ．
因此 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ．又 ， 为实数，
所以
解得
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第七章 复数 单元测试
一、单选题
1．（2021·深圳模拟）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ,
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．
2．（2021·甘肃模拟）若复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】先求出z，再求出 的共轭复数即可。
3．（2021·韶关模拟）已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
故答案为：D
【分析】 由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
4．（2020高三上·菏泽期末） 是虚数单位，若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-3 C．3 D．15
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ ， 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，进而求出a,b的值，从而求出ab的值。
5．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
6．（2021·内江一模）已知 是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别为（ ）
A．7， B．-7，3 C．-7， D．7，-3
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题得 ，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.
故答案为：D
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案。
7．（2021·榆林模拟）若复数z为纯虚数，且 ，则 （ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数z为纯虚数，即可求解。
8．（2020·德州模拟）欧拉公式 ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 和 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 则 | z | =（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由欧拉公式 有： .
由 ，即
所以 ，即
所以
故答案为：A
【分析】由新定义将 化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出 后再求模．
9．（2020高三上·长沙月考）已知 ( ， 为虚数单位)，则实数a+b的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ，故 则
故答案为：D
【分析】首先整理原式再由复数相等的性质即可求出a、b的值，由此得到答案。
10．（2020高二下·合肥开学考）若复数z的共轭复数记作 ，且复数 满足， 其中i为虚数单位，所以的虚部为（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，
，
所以 ， ，所以 ，故 ，
所以 的虚部为2.
故答案为：D.
【分析】 首先根据题意设出z=a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，即可得出则答案。
11．（2019高二下·上海月考）若 ( 是虚数单位)，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由复数的几何意义可知： 表示的点在单位圆上，
而|z 2 2i|表示该单位圆上的点到复数 表示的点 的距离，
由图象可知： 的最小值应为点 到 的距离，
而 ，圆的半径为1，
故 的最小值为 ，
故答案为：D．
【分析】易得复数 表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数 表示的点 的距离，由数形结合的思想可得答案．
12．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
二、多选题
13．（2021·八省联考）设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
故答案为：BC。
【分析】利用已知条件结合复数相等和复数的模相等的判断方法，从而结合复数乘法运算法则，从而结合已知条件找出正确的命题选项。
14．（2020高三上·福州期中）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故答案为：BD
【分析】因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
15．（2020高三上·郧县月考）已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的几何意义结合点的坐标在各象限的符号、复数为实数的判断方法、复数的模求解公式、复数的乘除法运算法则结合复数的定义，从而找出说法正确的选项。
16．（2020高一下·邹城期中）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
三、填空题
17．（2020高二上·上海期末）设复数 满足 ，且使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的和为 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，( ， 且 )
则原方程 变为 .
所以 ，①且 ，②；（1）若 ，则 解得 ，当 时①无实数解，舍去；
从而 ， 此时 或3，故 满足条件；（2）若 ，由②知， 或 ，显然 不满足，故 ，代入①得 ， ，
所以 .
综上满足条件的所以复数的和为 .
故答案为：
【分析】 根据题意设出z=a+bi，（a，b∈R，a2+b2=1），得到ax2+2ax+2=0①，bx2-2bx=0②，通过讨论求出a，b的值，即可求出满足条件的所有z，相加即可得到答案．
18．（2018高二下·中山月考）已知复数 ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由 . 得， ，设 ，则 ， ， 的取值范 ，故大案为 .
【分析】本题利用复数的模求出x与y的关系方程，再利用参数方程的转化求出x与y，从而求出的表达式，再利用三角函数有关的性质不等式求出的最大值。
19．（2020高二下·通辽期末）下列命题（ 为虚数单位）中：①已知 且 ，则 为纯虚数；②当 是非零实数时， 恒成立；③复数 的实部和虚部都是－2；④如果 ，则实数 的取值范围是 ；⑤复数 ，则 ；其中正确的命题的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对于①， ， 且 ，若 时，则 不是纯虚数，①错误；
对于②，当 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 恒成立，②正确；
对于③，复数 ， 的实部和虚部都是 ，③正确；
对于④，如果 ，则 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ，④正确；
对于⑤，复数 ，则 ， ⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】①当 时， 不是纯虚数；
②根据基本不等式的性质知 恒成立；
③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；
④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；
⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
20．（2020高二下·虹口期末）若 ( 是虚数单位)是关于x的实系数方程 的一个根，则 等于 .
【答案】1
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 是关于x的实系数方程 的一个根,
,
,
故答案为：1
【分析】把 代入方程，化简得 ，利用复数相等定义得解.
21．（2020高二下·台州期中）已知复数 若复数 是实数，则实数 ；若复数 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为 .
【答案】-3；
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 为实数，则 ，解得 或-3，又 ，所以 ．
对应点在第二象限，则 ，解得 ．
故答案为：-3； ．
【分析】根据复数的定义和复数的几何意义解答。
四、解答题
22．（2020高二下·重庆期末）
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
【答案】（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
【知识点】相等向量与相反向量；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得 的值，由此求得 .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得 的值.
23．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
24．（2020高一下·滨海期中）设 是虚数， 是实数，且 .
（1）求 的值以及 的实部的取值范围；
（2）若 ，求证 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 的最小值.
【答案】（1）解：由 是虚数，设 ，则
，
因为 为实数，所以 且 ，所以
所以 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，得
（2）解：因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 为纯虚数
（3）解： ，
由 ，得 ，
故当且仅当 ，即 时， 有最小值1
【知识点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设出复数 ，写出 的表示式，进行复数的运算，把 整理成最简形式，再根据所给 的范围，得到 的虚部为0，实部属于这个范围，得到 的实部的范围；（2）根据设出的 ，整理 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到 是一个纯虚数；（3） ，再利用基本不等式即可求得结果。
25．（2020高二下·江西期中）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位，m,n为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为 为纯虚数，所以 ．
又 ，所以 ， ，从而 ．
因此 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ．又 ， 为实数，
所以
解得
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．
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