高中数学人教A版（2019）必修二 8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（2019高三上·丽水月考）下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么
B．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D．如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
2．（2018高三上·嘉兴期末）如图，正方体 的棱长为1， 分别是棱 的中点，过 的平面与棱 分别交于点 .设 ， ．
①四边形 一定是菱形；② 平面 ；③四边形 的面积 在区间 上具有单调性；④四棱锥 的体积为定值.
以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
3．（2017高二下·深圳月考）如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 ， ， 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当 时， 为四边形；②当 时， 为等腰梯形；③当 时， 与 的交点 满足 ；④存在点 ， 为六边形.
4．（2019高二上·丽水月考）如图，在长方体 中， ， ， ，E、F分别为棱 、 的中点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为 .
三、解答题
5．（2019高一上·集宁月考）如图，已知点 分别为正方体 的棱 的中点，求证： 三线共点．
6．（2017高二上·苏州月考）如图，多面体 中， 两两垂直，平面 平面 ，平面 平面 ， .
（1）证明四边形 是正方形；
（2）判断点 是否四点共面，并说明为什么？
（3）连结 ，求证： 平面 ．
7．（2018高二下·上海月考）在正方体 中， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）作出直线 与平面 的交点（写出作图步骤）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A．如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么 。正确；
B．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 。正确；
C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 。
正确；
D. 如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，此垂线不一定垂直于 ，如图所示，错误.
故答案为：D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系，结合线面垂直逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为对面互相平行，所以 四边形 一定是平行四边形；因为EF垂直平面BDD1B1，所以EF垂直GH，所以四边形 一定是菱形；因为AC//EF，所以 平面 ；四边形 的面积 在区间 上先减后增；四棱锥 的体积为 ，所以正确的是1，2，4.
故答案为：B.
【分析】由平面图的性质得到①②是正确的，将四边形EFGH的面积分析出对x区间 [ 0 ， 1 ] 上先减后增，故③不正确，将四棱锥的体积求出，得④也正确.
3．【答案】①②③
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】连接 并延长交 于 ，再连接
对于①，当 时， 的延长线交线段 与点 且 在 与 之间，连接 ，则截面为四边形 ；①正确；
当 时，即 为 中点，此时可得 故可得截面 为等腰梯形，故②正确；
由上图当点 向 移动时，满足 ，只需在 上取点 满 ，
即可得截面为四边形 ，故①正确；
③
当 时，如图，
延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ，
可证 ，由 ，可得 ，故可得 ，故③正确；
④由③可知当 时，只需点 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 ，显然为五边形，故错误；
故答案为：①②③.
【分析】当CQ取不同长度时，探究所截平面的样子，结合题目所给信息，即可得出答案。
4．【答案】
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】过E构造一个平面 ，使得 ,当点 在平面 与正方体的表面的交线上时，就有 成立.
连接 ，则在正方体中E、F分别为棱 、 的中点.
则 .
在侧面 内过点F作 ,交 于点G.
则平面 就是需要的平面 .
则平面 截正方体得到截面为矩形 .如图
则动点P的轨迹为矩形 的四条边组成的图形.
，则 .
所以
所以 ，则
.
所以矩形 的周长为:
故答案为：
【分析】过点F构造一个平面 ，使之与直线 垂直，则平面 与正方体的表面的交线为动点P的轨迹，则可得到答案.
5．【答案】证明：∵点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，连接 ， ，∴ 是 的中位线，∴ .∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形. ∴ ，∴ .∴ ， ， ， 四点共面.
∵ ，故 与 必相交.设 .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
同理可证 平面 .∴点 在交线 上，即 ， ， 三线共点
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】 根据题意首先，设EF与DC共点于I，DC与HG共点于I'，然后，通过证明三角形全等的方法证明I与I'是同一个点，即可说明线共点．
6．【答案】（1）解： ，同理AD∥BE，则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）解：取DG中点P，连接PA，PF．在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）解：同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，∴EF⊥AD，BE∥AD又BE=AD=2、EF=1故 ，而 ，
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
【知识点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用平面与平面平行的性质得到AB∥DE和AD∥BE，再由已知AD⊥DE，AD=DE，即可证明四边形ABED是正方形.
（2）先作辅助线，可证四边形ABFP为平行四边形，得到AP∥BF，再由梯形的定义得到BF∥CG，利用平面的基本性质即可证明.
（3）先由（1）中四边形BFGC为平行四边形，得到AC∥EF，再结合已知得到CF⊥BG，由正方形的概念得CF⊥BD，最后利用直线与平面垂直的判定即可证明.
7．【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，如图所示，
则 ， ，
四边形 为平行四边形，则 ，
由 为正方体，且 ， 分别为 ， 的中点，
可得 为平行四边形， ， ，
则 ，且 ，
四边形 为平行四边形，由 ，可得 ，
四边形 是菱形；
（2）解：连接 和 ，则 与 的交点 ，
即为直线 与平面 的交点，如图所示．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，可证四边形 为平行四边形，四边形 为平行四边形，得到四边形 为平行四边形，再由 ，可得 ，得到四边形 是菱形；（2）连接 和 ，则 与 的交点 ，即为直线 与平面 的交点．
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一、单选题
1．（2019高三上·丽水月考）下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么
B．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D．如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A．如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么 。正确；
B．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 。正确；
C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 。
正确；
D. 如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，此垂线不一定垂直于 ，如图所示，错误.
故答案为：D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系，结合线面垂直逐一判断即可.
2．（2018高三上·嘉兴期末）如图，正方体 的棱长为1， 分别是棱 的中点，过 的平面与棱 分别交于点 .设 ， ．
①四边形 一定是菱形；② 平面 ；③四边形 的面积 在区间 上具有单调性；④四棱锥 的体积为定值.
以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为对面互相平行，所以 四边形 一定是平行四边形；因为EF垂直平面BDD1B1，所以EF垂直GH，所以四边形 一定是菱形；因为AC//EF，所以 平面 ；四边形 的面积 在区间 上先减后增；四棱锥 的体积为 ，所以正确的是1，2，4.
故答案为：B.
【分析】由平面图的性质得到①②是正确的，将四边形EFGH的面积分析出对x区间 [ 0 ， 1 ] 上先减后增，故③不正确，将四棱锥的体积求出，得④也正确.
二、填空题
3．（2017高二下·深圳月考）如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 ， ， 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当 时， 为四边形；②当 时， 为等腰梯形；③当 时， 与 的交点 满足 ；④存在点 ， 为六边形.
【答案】①②③
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】连接 并延长交 于 ，再连接
对于①，当 时， 的延长线交线段 与点 且 在 与 之间，连接 ，则截面为四边形 ；①正确；
当 时，即 为 中点，此时可得 故可得截面 为等腰梯形，故②正确；
由上图当点 向 移动时，满足 ，只需在 上取点 满 ，
即可得截面为四边形 ，故①正确；
③
当 时，如图，
延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ，
可证 ，由 ，可得 ，故可得 ，故③正确；
④由③可知当 时，只需点 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 ，显然为五边形，故错误；
故答案为：①②③.
【分析】当CQ取不同长度时，探究所截平面的样子，结合题目所给信息，即可得出答案。
4．（2019高二上·丽水月考）如图，在长方体 中， ， ， ，E、F分别为棱 、 的中点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为 .
【答案】
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】过E构造一个平面 ，使得 ,当点 在平面 与正方体的表面的交线上时，就有 成立.
连接 ，则在正方体中E、F分别为棱 、 的中点.
则 .
在侧面 内过点F作 ,交 于点G.
则平面 就是需要的平面 .
则平面 截正方体得到截面为矩形 .如图
则动点P的轨迹为矩形 的四条边组成的图形.
，则 .
所以
所以 ，则
.
所以矩形 的周长为:
故答案为：
【分析】过点F构造一个平面 ，使之与直线 垂直，则平面 与正方体的表面的交线为动点P的轨迹，则可得到答案.
三、解答题
5．（2019高一上·集宁月考）如图，已知点 分别为正方体 的棱 的中点，求证： 三线共点．
【答案】证明：∵点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，连接 ， ，∴ 是 的中位线，∴ .∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形. ∴ ，∴ .∴ ， ， ， 四点共面.
∵ ，故 与 必相交.设 .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
同理可证 平面 .∴点 在交线 上，即 ， ， 三线共点
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】 根据题意首先，设EF与DC共点于I，DC与HG共点于I'，然后，通过证明三角形全等的方法证明I与I'是同一个点，即可说明线共点．
6．（2017高二上·苏州月考）如图，多面体 中， 两两垂直，平面 平面 ，平面 平面 ， .
（1）证明四边形 是正方形；
（2）判断点 是否四点共面，并说明为什么？
（3）连结 ，求证： 平面 ．
【答案】（1）解： ，同理AD∥BE，则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）解：取DG中点P，连接PA，PF．在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）解：同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，∴EF⊥AD，BE∥AD又BE=AD=2、EF=1故 ，而 ，
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
【知识点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用平面与平面平行的性质得到AB∥DE和AD∥BE，再由已知AD⊥DE，AD=DE，即可证明四边形ABED是正方形.
（2）先作辅助线，可证四边形ABFP为平行四边形，得到AP∥BF，再由梯形的定义得到BF∥CG，利用平面的基本性质即可证明.
（3）先由（1）中四边形BFGC为平行四边形，得到AC∥EF，再结合已知得到CF⊥BG，由正方形的概念得CF⊥BD，最后利用直线与平面垂直的判定即可证明.
7．（2018高二下·上海月考）在正方体 中， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）作出直线 与平面 的交点（写出作图步骤）．
【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，如图所示，
则 ， ，
四边形 为平行四边形，则 ，
由 为正方体，且 ， 分别为 ， 的中点，
可得 为平行四边形， ， ，
则 ，且 ，
四边形 为平行四边形，由 ，可得 ，
四边形 是菱形；
（2）解：连接 和 ，则 与 的交点 ，
即为直线 与平面 的交点，如图所示．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，可证四边形 为平行四边形，四边形 为平行四边形，得到四边形 为平行四边形，再由 ，可得 ，得到四边形 是菱形；（2）连接 和 ，则 与 的交点 ，即为直线 与平面 的交点．
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