高中数学人教新课标A版 选修2-2 2.1合情推理与演绎推理
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末）“余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此 是偶函数”，以上推理（ ）
A．结论正确 B．小前提不正确
C．大前提不正确 D．全部正确
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】由于 不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2．（2020高二下·齐齐哈尔期末）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点．以上推理中（ ）
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，错误，极值点的定义中除要求 ，还需要在 两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3．（2020高二下·郑州期末）某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
4．（2020·平邑模拟）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A．甲是律师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是律师
C．甲是医生，乙是律师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是律师
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
5．（2020高二下·吉林月考）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，
发现B符合要求．
故答案为：B．
【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．
6．（2020高二下·九台期中）有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线a”．你认为这个推理（ ）
A．结论正确 B．大前提错误
C．小前提错误 D．推理形式错误
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】一条直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，并是不与所有直线平行，所以大前提错误，故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合演绎推理的三段论，从而求出这个推理中错误的一段。
7．（2020高二下·吉林期中）下列说法中正确的是（ ）
A．合情推理就是正确的推理
B．归纳推理就是从一般到特殊的推理过程
C．类比推理就是从特殊到一般的推理过程
D．类比推理就是从特殊到特殊的推理过程
【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】对于A，合情推理主要有归纳推理和类比推理两种，
合情推理的结论不一定正确，A不符合题意；
对于B，归纳推理就是从特殊到一般的推理过程，B不符合题意；
对于C，类比推理就是从特殊到特殊的推理过程，C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合情推理的特征逐一判断即可.
8．（2020高二下·吉林期中）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．推理形式错误
C．小前提错误 D．非以上错误
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，
小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，
所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.
故答案为：B
【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.
9．（2020高二下·吉林期中）《论语·子路》篇中说“名不正则言不顺；言不顺则事不成；事不成则礼乐不兴；礼乐不兴则刑罚不中；刑罚不中则民无所措手足”所以名不正则民无所措手足，以上过程用的是（ ）
A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．数学证明
【答案】C
【知识点】演绎推理的意义
【解析】【解答】演绎推理，就是从一般的前提出发，通过推导即“演绎·”得出具体的陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式.
故答案为：C
【分析】根据演绎推理的概念，即可作出判断.
10．（2020高二下·南宁期中）观察数列1， ， ，4， ， ，7， ， ……，则该数列的第11项等于（ ）
A．1111 B．11 C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由数列得出规律，按照1， ， ，…，是按正整数的顺序排列，且以3为周期，
由 ，所以该数列的第11项为 .
故答案为：C.
【分析】根据所给数列的规律即可得解.
11．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
12．（2020高二下·开鲁期末）三角形的面积为 ，其中 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A．
B．
C． ，（ 为四面体的高）
D． ，（ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V （S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
13．（2020高二下·新余期末）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 确定出来 ，类似地不难得到 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由题意，令 ，即 ，
即 ，
解得 或 （舍去）
，
故答案为：C
【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果.
14．（2020高二下·七台河期末）下列使用类比推理正确的是（ ）
A．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”
B．“若 ，则 ”类比推出“若 ，则 ”
C．“实数a，b，c满足运算 ”类比推出“平面向量 满足运算 ”
D．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”
【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A不符合题意；
因为“若 ，则 ”，所以B不符合题意；
因为 ，所以C不符合题意；
因为正方体的内切球切于各面的中心，所以 D 符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据类比结果进行判断选择.
二、多选题
15．（2020·日照模拟）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（ ）
A．该班选择去甲景点游览
B．乙景点的得票数可能会超过9
C．丙景点的得票数不会比甲景点高
D．三个景点的得票数可能会相等
【答案】A,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
16．（2020·淄博模拟）华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： ，其中 ， .已知定义在R上不恒为0的函数 ，对任意 有： 且满足 ，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】A,D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】
，
，
令 ,则 ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出 ，再赋值可得解
三、填空题
17．（2020·辽宁模拟）甲、乙两支足球队进行一场比赛， 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 .（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
【答案】甲胜
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【解答】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
18．（2020高二下·江西期中）给出下列演绎推理：“自然数是整数， ▲ ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写 ．
【答案】2是自然数
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】解：由演绎推理的三段论可知：
“自然数是整数，2是自然数，∴2是整数”，故答案为2是自然数.
【分析】直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.
19．（2020·徐州模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在三个不同的点Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn，则ω6＝ ．
【答案】 π
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由ωx＝kπ ，得x ，k∈Z，
由题意得x ， ， ，…， ，
即A1（ ，1），A2（ ，﹣1），A3（ ，1），A4（ ，﹣1）…，
由△A1A2A3是等腰直角三角形，
得kA1A2 kA2A3＝﹣1，
即 1，得ω1 ，
同理△A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4 kA1A4＝﹣1，得ω2 ．
同理△A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6 kA6A11＝﹣1，得ω2 从而有ωn ．
则ω6π，
故答案为： π．
【分析】令ωx＝kπ ，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，……An的坐标，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1可求ωn，进而可求ω6的值
20．（2020高二下·张家口期中）对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 =0有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则 .
【答案】
【知识点】类比推理
【解析】【解答】依题意得， ，令 ，得 ，
函数 的对称中心为 ，则 ，
，
，
故答案为 .
【分析】先求出函数 的“拐点”，从而知道函数 的对称中心为 ，得到 ，进而知道 ，即可得出答案。
四、解答题
21．（2018高一下·龙岩期末）某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.
【答案】解：（Ⅰ）选择⑶
∵
∴该常数为
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为
证明如下：
左边
右边
所以等式成立
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【分析】（Ⅰ）选择（3）利用特殊角的三角函数，即可得出结论；
（Ⅱ）写出命题，再利用两角和差的三角函数即可计算。
22．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）菱形的对角线互相平分；
（3）函数f（x）＝x2－cos x是偶函数．
【答案】（1）解：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
海王星是太阳系中的大行星，（小前提）
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）
（2）解：平行四边形的对角线互相平分，（大前提）
菱形是平行四边形，（小前提）
菱形的对角线互相平分．（结论）
（3）解：若对函数f（x）定义域中的x，都有f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，（大前提）
对于函数f（x）＝x2－cos x，当x∈R时，有f（－x）＝f（x），（小前提）
所以函数f（x）＝x2－cos x是偶函数．（结论）
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【分析】(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行是大前提，海王星是太阳系中的大行星是小前提，海王星以椭圆形轨道绕太阳运行是结论；
(2)对于结论:菱形的对角线互相平分来说,平行四边形的对角线互相平分是大前提,菱形是平行四边形是小前提.
(3)作为函数f（x）＝x2－cos x是偶函数,其大前提是:偶函数的定义,小前提是函数f(x)满足偶定义.
23．（2018高二下·定远期末）如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体P ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
【答案】解：类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
证明：如图，设P点在底面的射影为O点，过O点作 ，交AB于H，连接PH，OA，OB，
就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则 ，
，
同理， ，
又 ， S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ
【知识点】类比推理
【解析】【分析】类比三角形中的结论，猜想四面体中的结论，并证明即可.
24．（2018高二下·长春月考）已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 、 （如图1），则 .用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.
【答案】解：命题：长方体 中(如图2)，
对角线 与棱 、 、 所成的角分别为 ，则 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .（此题答案不唯一）
【知识点】类比推理
【解析】【分析】先掌握已知矩形中得到的结论cos2α+cos2β=1的特点，再利用类比推理的方法，在长方体中得到类似的结论，并进行证明即可.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 2.1合情推理与演绎推理
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末）“余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此 是偶函数”，以上推理（ ）
A．结论正确 B．小前提不正确
C．大前提不正确 D．全部正确
2．（2020高二下·齐齐哈尔期末）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点．以上推理中（ ）
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
3．（2020高二下·郑州期末）某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2020·平邑模拟）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A．甲是律师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是律师
C．甲是医生，乙是律师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是律师
5．（2020高二下·吉林月考）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·九台期中）有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线a”．你认为这个推理（ ）
A．结论正确 B．大前提错误
C．小前提错误 D．推理形式错误
7．（2020高二下·吉林期中）下列说法中正确的是（ ）
A．合情推理就是正确的推理
B．归纳推理就是从一般到特殊的推理过程
C．类比推理就是从特殊到一般的推理过程
D．类比推理就是从特殊到特殊的推理过程
8．（2020高二下·吉林期中）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．推理形式错误
C．小前提错误 D．非以上错误
9．（2020高二下·吉林期中）《论语·子路》篇中说“名不正则言不顺；言不顺则事不成；事不成则礼乐不兴；礼乐不兴则刑罚不中；刑罚不中则民无所措手足”所以名不正则民无所措手足，以上过程用的是（ ）
A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．数学证明
10．（2020高二下·南宁期中）观察数列1， ， ，4， ， ，7， ， ……，则该数列的第11项等于（ ）
A．1111 B．11 C． D．
11．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·开鲁期末）三角形的面积为 ，其中 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A．
B．
C． ，（ 为四面体的高）
D． ，（ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
13．（2020高二下·新余期末）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 确定出来 ，类似地不难得到 （ ）
A． B． C． D．
14．（2020高二下·七台河期末）下列使用类比推理正确的是（ ）
A．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”
B．“若 ，则 ”类比推出“若 ，则 ”
C．“实数a，b，c满足运算 ”类比推出“平面向量 满足运算 ”
D．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”
二、多选题
15．（2020·日照模拟）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（ ）
A．该班选择去甲景点游览
B．乙景点的得票数可能会超过9
C．丙景点的得票数不会比甲景点高
D．三个景点的得票数可能会相等
16．（2020·淄博模拟）华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： ，其中 ， .已知定义在R上不恒为0的函数 ，对任意 有： 且满足 ，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是奇函数
三、填空题
17．（2020·辽宁模拟）甲、乙两支足球队进行一场比赛， 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 .（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
18．（2020高二下·江西期中）给出下列演绎推理：“自然数是整数， ▲ ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写 ．
19．（2020·徐州模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在三个不同的点Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn，则ω6＝ ．
20．（2020高二下·张家口期中）对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 =0有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则 .
四、解答题
21．（2018高一下·龙岩期末）某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.
22．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）菱形的对角线互相平分；
（3）函数f（x）＝x2－cos x是偶函数．
23．（2018高二下·定远期末）如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体P ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
24．（2018高二下·长春月考）已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 、 （如图1），则 .用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】由于 不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，错误，极值点的定义中除要求 ，还需要在 两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
4．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
5．【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，
发现B符合要求．
故答案为：B．
【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．
6．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】一条直线平行于一个平面时，这条直线与平面内的部分直线平行，并是不与所有直线平行，所以大前提错误，故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合演绎推理的三段论，从而求出这个推理中错误的一段。
7．【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】对于A，合情推理主要有归纳推理和类比推理两种，
合情推理的结论不一定正确，A不符合题意；
对于B，归纳推理就是从特殊到一般的推理过程，B不符合题意；
对于C，类比推理就是从特殊到特殊的推理过程，C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合情推理的特征逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，
小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，
所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.
故答案为：B
【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.
9．【答案】C
【知识点】演绎推理的意义
【解析】【解答】演绎推理，就是从一般的前提出发，通过推导即“演绎·”得出具体的陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式.
故答案为：C
【分析】根据演绎推理的概念，即可作出判断.
10．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由数列得出规律，按照1， ， ，…，是按正整数的顺序排列，且以3为周期，
由 ，所以该数列的第11项为 .
故答案为：C.
【分析】根据所给数列的规律即可得解.
11．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
12．【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V （S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
13．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由题意，令 ，即 ，
即 ，
解得 或 （舍去）
，
故答案为：C
【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果.
14．【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A不符合题意；
因为“若 ，则 ”，所以B不符合题意；
因为 ，所以C不符合题意；
因为正方体的内切球切于各面的中心，所以 D 符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据类比结果进行判断选择.
15．【答案】A,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
16．【答案】A,D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】
，
，
令 ,则 ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出 ，再赋值可得解
17．【答案】甲胜
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【解答】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
18．【答案】2是自然数
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】解：由演绎推理的三段论可知：
“自然数是整数，2是自然数，∴2是整数”，故答案为2是自然数.
【分析】直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.
19．【答案】 π
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由ωx＝kπ ，得x ，k∈Z，
由题意得x ， ， ，…， ，
即A1（ ，1），A2（ ，﹣1），A3（ ，1），A4（ ，﹣1）…，
由△A1A2A3是等腰直角三角形，
得kA1A2 kA2A3＝﹣1，
即 1，得ω1 ，
同理△A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4 kA1A4＝﹣1，得ω2 ．
同理△A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6 kA6A11＝﹣1，得ω2 从而有ωn ．
则ω6π，
故答案为： π．
【分析】令ωx＝kπ ，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，……An的坐标，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1可求ωn，进而可求ω6的值
20．【答案】
【知识点】类比推理
【解析】【解答】依题意得， ，令 ，得 ，
函数 的对称中心为 ，则 ，
，
，
故答案为 .
【分析】先求出函数 的“拐点”，从而知道函数 的对称中心为 ，得到 ，进而知道 ，即可得出答案。
21．【答案】解：（Ⅰ）选择⑶
∵
∴该常数为
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为
证明如下：
左边
右边
所以等式成立
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【分析】（Ⅰ）选择（3）利用特殊角的三角函数，即可得出结论；
（Ⅱ）写出命题，再利用两角和差的三角函数即可计算。
22．【答案】（1）解：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
海王星是太阳系中的大行星，（小前提）
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）
（2）解：平行四边形的对角线互相平分，（大前提）
菱形是平行四边形，（小前提）
菱形的对角线互相平分．（结论）
（3）解：若对函数f（x）定义域中的x，都有f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，（大前提）
对于函数f（x）＝x2－cos x，当x∈R时，有f（－x）＝f（x），（小前提）
所以函数f（x）＝x2－cos x是偶函数．（结论）
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【分析】(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行是大前提，海王星是太阳系中的大行星是小前提，海王星以椭圆形轨道绕太阳运行是结论；
(2)对于结论:菱形的对角线互相平分来说,平行四边形的对角线互相平分是大前提,菱形是平行四边形是小前提.
(3)作为函数f（x）＝x2－cos x是偶函数,其大前提是:偶函数的定义,小前提是函数f(x)满足偶定义.
23．【答案】解：类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
证明：如图，设P点在底面的射影为O点，过O点作 ，交AB于H，连接PH，OA，OB，
就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则 ，
，
同理， ，
又 ， S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ
【知识点】类比推理
【解析】【分析】类比三角形中的结论，猜想四面体中的结论，并证明即可.
24．【答案】解：命题：长方体 中(如图2)，
对角线 与棱 、 、 所成的角分别为 ，则 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .（此题答案不唯一）
【知识点】类比推理
【解析】【分析】先掌握已知矩形中得到的结论cos2α+cos2β=1的特点，再利用类比推理的方法，在长方体中得到类似的结论，并进行证明即可.
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