初中数学苏科版七年级下册 7.5 多边形的内角和与外角和 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·黄石期中）一个多边形外角和是内角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．不能确定
2．（2020七上·绥德期末）若一个多边形从一个顶点出发共有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2020七上·山东月考）在△ABC.若 ，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
4．在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对
5．（2020七下·三明月考）如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．55°
6．（2020七下·哈尔滨期中）如图，在三角形模板ABC中，∠A=60°，D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．200° C．220° D．240°
7．（2020七下·上饶期中）如图，AE∥DB，∠1＝84°，∠2＝29°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
8．（2019七下·金坛期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
9．（2019七下·莲湖期末）如图： 等于
A． B． C． D．
10．（2018七下·黑龙江期中）如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
二、填空题
11．（2020七下·五大连池期中）已知一个多边形的每个外角都是24°，此多边形是 边形．
12．（2020七下·万州期末）一个多边形的内角和为2700°，则这个多边形的边数是 边.
13．（2020七下·徐州期中）若一个正多边形的内角是外角的3倍还多20°，则这个多边形的边数是 .
14．（2020七下·高淳期末）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于 .
15．（2020七下·哈尔滨期中）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BD上，若∠A=70°，∠ABD=22°，∠DCE=25°，则∠BEC的度数为 ．
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
17．（2020七下·溧阳期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.
18．（2020七下·北京期中）一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD．则∠1＋∠2＝ ．
三、解答题
19．（2020七下·淮阳期末）将一个凸 边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为1620°，求 的值.
20．已知四边形的一个内角是56°，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10°．求第四个内角的大小．
21．（2020七上·唐县期末）让我们一起来探究“边数大于或等于3的多边形的内角和问题”．
规定：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
尝试：从多边形某一个顶点出发的对角线可以把一个多边形分成若干个三角形，这样，就把“多边形内角和问题”转化为“三角形内角和问题”了．
（1）请你在下面表格中，试一试，做一做，并将表格补充完整：
名称 图形 内角和
三角形 180°
四边形 2 ×180°=360°
五边形
六边形
（2）根据上面的表格，请你猜一猜，七边形的内角和等于 ；如果一个多边形有n条边，请你用含有n的代数式表示这个多边形的内角和 ．
（3）如果一个多边形的内角和是1260°，请判断这个多边形是几边形．
22．（2020七下·偃师月考）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠1的度数.
23．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
24．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
25．（2019七下·肥东期末）
（1）如图①，AB∥CD，如果∠BAE=60°，∠ECD=45，求∠AEC的度数请将下面的求解过程填写完整．
解：过点E画直线EF，使EF∥AB．
因为EF∥AB，根据“ ”，可得∠BAE=∠1．又因为∠BAE=60°，所以∠1= °．因为EF∥AB，且AB∥CD，根据“ ”，可得EF∥CD所以∠ECD=∠ ．又因为∠ECD=45°，所以 ，所以∠AEC= °．
（2）如图②，AB∥CD，如果∠BAE=120°，∠ECD=140°，请问∠AEC等于多少度？写出求解过程．
（3）填空：如图③，AB∥CD，请用一个等式表示∠BAE、∠AEC与∠ECD三个角之间的关系： ．
26．（2019七下·滦南期末）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.
（1）问题引入：
如图①，在 中，点 是 和 平分线的交点，若 ，则 度；若 ，则 （用含 的代数式表示）；
（2）类比探究：
如图②，在 中， ， ， .试探究： 与 的数量关系（用含 的代数式表示），并说明理由.
（3）知识拓展：
如图③， 、 分别是 的外角 ， 的 等分线，它们的交于点 ， ， ， ，求 的度数（用含 、 的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，
又∵多边形的外角和是内角和的2倍，
∴多边形的内角和是180度，
∴这个多边形是三角形．
故答案为：A．
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．
2．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴n 3＝7，
解得n＝10.
故答案为：C.
【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n 3）求出边数即可得解.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝3×30°＝90°，
故答案为：B．
【分析】由三角形内角和定理得∠A＋∠B＋∠C＝180°， 求出∠A＝30°，∠C＝90°，可判断△ABC为直角三角形．
4．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角等于180°÷3=60°，360°是60°的整数倍，也就是用一些60°角能拼出360°的角．所以正三角形能密铺平面．
正方形的每个内角等于90°，360°是90°的整数倍，也就是用一些90°角能拼出360°的角．所以正方形能密铺平面．
由多边形内角和定理，可以得到六边形内角和等于（6﹣2）×180°=720°，因此，正六边形的每个内角等于720°÷6=120°，360°是120°的整数倍，也就是用一些120°角能拼出360°的角．所以正六边形能密铺平面．
故①②③都能密铺平面．
故答案为：A．
【分析】根据各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断.正多边形的组合能否铺满地面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据多边形内角和定理求出即可．
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AE∥DB，∠1＝84°，
∴∠ADB＝∠1＝84°，
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠C＝∠ADB﹣∠2＝84°﹣29°＝55°．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=84°，再根据三角形外角的性质即可解答．
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠EDC+∠BCD=240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP中,∠P=180° （∠PDC+∠PCD）=180° 120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：B.
【分析】这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可得出结论.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠2是△ABF的外角，
∴∠2＞∠3；
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠1＞∠4；
又∵∠4=∠2
∴∠1＞∠2．
∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1＞∠2＞∠3．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可得：因为∠4是△ABF的外角，所以∠4>∠3，因为∠1是△AFE的外角，所以∠1>∠4，因为∠2和∠4是对顶角，所以它们相等，所以∠1>∠2>∠3.
11．【答案】十五
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的外角和是360°，每个外角的度数是24°
360° 24＝15
故答案：十五
【分析】任何多边形的外角和是360°，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
12．【答案】17
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
（n﹣2）×180°＝2700°，
解得n＝17.
故答案为：17.
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）×180°，列方程解答出即可.
13．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设该正多边形的一个外角为 度，则其相邻的一个内角为 度，
∴ °，
解得： ，
∴该正多边形的一个外角为40°，
∵多边形外角和为360°，
∴该正多边形边数= ，
故答案为：9.
【分析】设该正多边形的一个外角为 度，则其相邻的一个内角为 度，根据二者互补进一步列出方程，求出其外角度数，然后进一步求出边数即可.
14．【答案】90°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设CD和BE的夹角为∠1，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝50°；
∵∠C＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠B﹣∠1＝90°.
故答案为：90°.
【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论.
15．【答案】117°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
．
故答案为：117°
【分析】两次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式进行计算即可得解．
16．【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
17．【答案】180
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了15×12=180（米）.
故答案为：180
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案.
18．【答案】75°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAG=30°，∠ECD=60°，
∴∠EAC+∠ACE=180°-30°-60°=90°，
∵∠CED=60°，
∴∠GEF=180°-90°-60°=30°，
同理∠EGF=180°-∠1-90°=90°-∠1，∠GFE=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∵∠GEF+∠EGF+∠GFE=180°，即30°+90°-∠1+135°-∠2=180°，解得∠1+∠2=75°．
故答案为75°．
【分析】连接AC，根据平行线的性质求出∠BAC+∠ACD=180°，再由∠BAG=30°，∠ECD=60°可得出∠EAC+∠ACE的度数，根据三角形内角和定理得出∠AEC的度数，由补角的定义得出∠GEF的度数，同理可用∠1表示出∠EGF，用∠2表示出∠GFE，再由三角形内角和定理即可得出结论．
19．【答案】解：当原多边形不过顶点剪去一个角时，
由[（n+1）-2] 180°=1620°，解得：n=10；
当原多边形过一个顶点剪去一个角时，
由（n-2） 180°=1620°，解得：n=11；
当原多边形过两个顶点剪去一个角时，
由[（n-1）-2] 180°=1620°，解得：n=12.
∴n=10或11或12.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，分三种情况讨论：①当原多边形不过顶点剪去一个角时；②当原多边形过一个顶点剪去一个角时；③当原多边形过两个顶点剪去一个角时.
20．【答案】解：设第四个内角为x，
∵四边形的一个内角是56°，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10°，
∴第二个内角：56°×2=112°，
第三个内角：112°-10°=102°，
又∵四边形的内角和为360°，
∴56°+112°+102°+x=360°，
∴x=90°.
答：第四个内角的大小为90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设第四个内角为x，已知第一个内角为56°，根据题意分别表示第二个内角为112°，第三个内角为102°，再由四边形的内角和为360°，列出方程，解之即可得出答案.
21．【答案】（1）540°；720°
（2）900°；（n-2） 180°
（3）根据题意得（n-2）×180=1260，
解得：n=9．
答：这个多边形为九边形．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】(1)表格如图所示：
图形 内角和
五边形 3 × 180°=540°
六边形 4 × 180°=720°
；（2）七边形的内角和等于=5×180°900°；
n条边的内角和=（n-2）×180°．
故答案为900°，（n-2）180°．
【分析】（1）把多边形转化为三角形解决问题即可；（2）根据表格中内角和与边数的关系得出用含有n的代数式表示的三角形内角和，再利用规律解决问题即可；（3）利用（2）中结论，构建方程解决问题即可．
22．【答案】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，
又∵∠1+∠D=∠ABC，
∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角性质求出∠1的度数即可.
23．【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出
∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°； 根据角平分线定义得出
∠BAO=25°，∠ABO=30° 利用三角形内角和定理得出
∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
24．【答案】解：如图：
∵∠1是△AFG的一个外角，
∴∠1=∠2+∠A，
又∵∠2是△CFE的一个外角，
∴∠2=∠C+∠E，
在△BDG中，
∵∠B+∠D+∠1=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A①，∠2=∠C+∠E②；在△BDG中，根据三角形的内角和定理可得∠B+∠D+∠1=180°，将①②两式代入即可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
25．【答案】（1）两直线平行内错角相等；60；平行于同一直线的两条直线平行；CEF；∠CEF=45°；105
（2）解：如图2中，作EF∥AB．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF=90°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=360°，
∴∠AEC=360°-120°-140°=100°．
（3）∠BAE=∠AEC+∠ECD
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）解：过点E画直线EF，使EF∥AB．
因为EF∥AB，根据“两直线平行内错角相等”，可得∠BAE=∠1．又因为∠BAE=60°，
所以∠1=60°．因为EF∥AB，且AB∥CD，根据“平行于同一直线的两条直线平行”，
可得EF∥CD所以∠ECD=∠CEF．又因为∠ECD=45°，
所以∠CEF=45°，所以∠AEC=105°．
故答案为：两直线平行内错角相等，60，平行于同一直线的两条直线平行，CEF，∠CEF=45°，105．（3）如图3中，延长EA交CD于F．
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠1，
∵∠1=∠AEC+∠ECD，
∴∠BAE=∠AEC+∠ECD，
故答案为：∠BAE=∠AEC+∠ECD．
【分析】（1）过点E画直线EF，使EF∥AB．利用平行线的性质证明：∠AEC=∠BAE+∠DCE即可．（2）如图2中，作EF∥AB．证明∠A+∠AEC+∠C=360°．（3）如图3中，延长EA交CD于F．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
26．【答案】（1）9；
（2）解： .
理由如下：
.
（3）解：
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）
=
.
故 时， ；
若 ，则 ；
【分析】（1）根据三角形的内角和可得到 ，根据角平分线的性质得到 = （ ），再根据∠A=70°即可求解；同理可得到 时 的度数；（2）利用 ，同理根据三角形的内角和进行计算求解；（3）根据题意发现规律，同理即可得到结论.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册 7.5 多边形的内角和与外角和 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·黄石期中）一个多边形外角和是内角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，
又∵多边形的外角和是内角和的2倍，
∴多边形的内角和是180度，
∴这个多边形是三角形．
故答案为：A．
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．
2．（2020七上·绥德期末）若一个多边形从一个顶点出发共有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴n 3＝7，
解得n＝10.
故答案为：C.
【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n 3）求出边数即可得解.
3．（2020七上·山东月考）在△ABC.若 ，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝3×30°＝90°，
故答案为：B．
【分析】由三角形内角和定理得∠A＋∠B＋∠C＝180°， 求出∠A＝30°，∠C＝90°，可判断△ABC为直角三角形．
4．在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角等于180°÷3=60°，360°是60°的整数倍，也就是用一些60°角能拼出360°的角．所以正三角形能密铺平面．
正方形的每个内角等于90°，360°是90°的整数倍，也就是用一些90°角能拼出360°的角．所以正方形能密铺平面．
由多边形内角和定理，可以得到六边形内角和等于（6﹣2）×180°=720°，因此，正六边形的每个内角等于720°÷6=120°，360°是120°的整数倍，也就是用一些120°角能拼出360°的角．所以正六边形能密铺平面．
故①②③都能密铺平面．
故答案为：A．
【分析】根据各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断.正多边形的组合能否铺满地面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
5．（2020七下·三明月考）如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．55°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
6．（2020七下·哈尔滨期中）如图，在三角形模板ABC中，∠A=60°，D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．200° C．220° D．240°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据多边形内角和定理求出即可．
7．（2020七下·上饶期中）如图，AE∥DB，∠1＝84°，∠2＝29°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AE∥DB，∠1＝84°，
∴∠ADB＝∠1＝84°，
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠C＝∠ADB﹣∠2＝84°﹣29°＝55°．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=84°，再根据三角形外角的性质即可解答．
8．（2019七下·金坛期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠EDC+∠BCD=240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP中,∠P=180° （∠PDC+∠PCD）=180° 120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数.
9．（2019七下·莲湖期末）如图： 等于
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：B.
【分析】这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可得出结论.
10．（2018七下·黑龙江期中）如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠2是△ABF的外角，
∴∠2＞∠3；
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠1＞∠4；
又∵∠4=∠2
∴∠1＞∠2．
∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1＞∠2＞∠3．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可得：因为∠4是△ABF的外角，所以∠4>∠3，因为∠1是△AFE的外角，所以∠1>∠4，因为∠2和∠4是对顶角，所以它们相等，所以∠1>∠2>∠3.
二、填空题
11．（2020七下·五大连池期中）已知一个多边形的每个外角都是24°，此多边形是 边形．
【答案】十五
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的外角和是360°，每个外角的度数是24°
360° 24＝15
故答案：十五
【分析】任何多边形的外角和是360°，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
12．（2020七下·万州期末）一个多边形的内角和为2700°，则这个多边形的边数是 边.
【答案】17
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
（n﹣2）×180°＝2700°，
解得n＝17.
故答案为：17.
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）×180°，列方程解答出即可.
13．（2020七下·徐州期中）若一个正多边形的内角是外角的3倍还多20°，则这个多边形的边数是 .
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设该正多边形的一个外角为 度，则其相邻的一个内角为 度，
∴ °，
解得： ，
∴该正多边形的一个外角为40°，
∵多边形外角和为360°，
∴该正多边形边数= ，
故答案为：9.
【分析】设该正多边形的一个外角为 度，则其相邻的一个内角为 度，根据二者互补进一步列出方程，求出其外角度数，然后进一步求出边数即可.
14．（2020七下·高淳期末）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于 .
【答案】90°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设CD和BE的夹角为∠1，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝50°；
∵∠C＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠B﹣∠1＝90°.
故答案为：90°.
【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论.
15．（2020七下·哈尔滨期中）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BD上，若∠A=70°，∠ABD=22°，∠DCE=25°，则∠BEC的度数为 ．
【答案】117°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
．
故答案为：117°
【分析】两次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式进行计算即可得解．
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
17．（2020七下·溧阳期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.
【答案】180
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了15×12=180（米）.
故答案为：180
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案.
18．（2020七下·北京期中）一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD．则∠1＋∠2＝ ．
【答案】75°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAG=30°，∠ECD=60°，
∴∠EAC+∠ACE=180°-30°-60°=90°，
∵∠CED=60°，
∴∠GEF=180°-90°-60°=30°，
同理∠EGF=180°-∠1-90°=90°-∠1，∠GFE=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∵∠GEF+∠EGF+∠GFE=180°，即30°+90°-∠1+135°-∠2=180°，解得∠1+∠2=75°．
故答案为75°．
【分析】连接AC，根据平行线的性质求出∠BAC+∠ACD=180°，再由∠BAG=30°，∠ECD=60°可得出∠EAC+∠ACE的度数，根据三角形内角和定理得出∠AEC的度数，由补角的定义得出∠GEF的度数，同理可用∠1表示出∠EGF，用∠2表示出∠GFE，再由三角形内角和定理即可得出结论．
三、解答题
19．（2020七下·淮阳期末）将一个凸 边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为1620°，求 的值.
【答案】解：当原多边形不过顶点剪去一个角时，
由[（n+1）-2] 180°=1620°，解得：n=10；
当原多边形过一个顶点剪去一个角时，
由（n-2） 180°=1620°，解得：n=11；
当原多边形过两个顶点剪去一个角时，
由[（n-1）-2] 180°=1620°，解得：n=12.
∴n=10或11或12.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，分三种情况讨论：①当原多边形不过顶点剪去一个角时；②当原多边形过一个顶点剪去一个角时；③当原多边形过两个顶点剪去一个角时.
20．已知四边形的一个内角是56°，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10°．求第四个内角的大小．
【答案】解：设第四个内角为x，
∵四边形的一个内角是56°，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10°，
∴第二个内角：56°×2=112°，
第三个内角：112°-10°=102°，
又∵四边形的内角和为360°，
∴56°+112°+102°+x=360°，
∴x=90°.
答：第四个内角的大小为90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设第四个内角为x，已知第一个内角为56°，根据题意分别表示第二个内角为112°，第三个内角为102°，再由四边形的内角和为360°，列出方程，解之即可得出答案.
21．（2020七上·唐县期末）让我们一起来探究“边数大于或等于3的多边形的内角和问题”．
规定：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
尝试：从多边形某一个顶点出发的对角线可以把一个多边形分成若干个三角形，这样，就把“多边形内角和问题”转化为“三角形内角和问题”了．
（1）请你在下面表格中，试一试，做一做，并将表格补充完整：
名称 图形 内角和
三角形 180°
四边形 2 ×180°=360°
五边形
六边形
（2）根据上面的表格，请你猜一猜，七边形的内角和等于 ；如果一个多边形有n条边，请你用含有n的代数式表示这个多边形的内角和 ．
（3）如果一个多边形的内角和是1260°，请判断这个多边形是几边形．
【答案】（1）540°；720°
（2）900°；（n-2） 180°
（3）根据题意得（n-2）×180=1260，
解得：n=9．
答：这个多边形为九边形．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】(1)表格如图所示：
图形 内角和
五边形 3 × 180°=540°
六边形 4 × 180°=720°
；（2）七边形的内角和等于=5×180°900°；
n条边的内角和=（n-2）×180°．
故答案为900°，（n-2）180°．
【分析】（1）把多边形转化为三角形解决问题即可；（2）根据表格中内角和与边数的关系得出用含有n的代数式表示的三角形内角和，再利用规律解决问题即可；（3）利用（2）中结论，构建方程解决问题即可．
22．（2020七下·偃师月考）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠1的度数.
【答案】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，
又∵∠1+∠D=∠ABC，
∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角性质求出∠1的度数即可.
23．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出
∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°； 根据角平分线定义得出
∠BAO=25°，∠ABO=30° 利用三角形内角和定理得出
∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
24．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
【答案】解：如图：
∵∠1是△AFG的一个外角，
∴∠1=∠2+∠A，
又∵∠2是△CFE的一个外角，
∴∠2=∠C+∠E，
在△BDG中，
∵∠B+∠D+∠1=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A①，∠2=∠C+∠E②；在△BDG中，根据三角形的内角和定理可得∠B+∠D+∠1=180°，将①②两式代入即可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
25．（2019七下·肥东期末）
（1）如图①，AB∥CD，如果∠BAE=60°，∠ECD=45，求∠AEC的度数请将下面的求解过程填写完整．
解：过点E画直线EF，使EF∥AB．
因为EF∥AB，根据“ ”，可得∠BAE=∠1．又因为∠BAE=60°，所以∠1= °．因为EF∥AB，且AB∥CD，根据“ ”，可得EF∥CD所以∠ECD=∠ ．又因为∠ECD=45°，所以 ，所以∠AEC= °．
（2）如图②，AB∥CD，如果∠BAE=120°，∠ECD=140°，请问∠AEC等于多少度？写出求解过程．
（3）填空：如图③，AB∥CD，请用一个等式表示∠BAE、∠AEC与∠ECD三个角之间的关系： ．
【答案】（1）两直线平行内错角相等；60；平行于同一直线的两条直线平行；CEF；∠CEF=45°；105
（2）解：如图2中，作EF∥AB．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF=90°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=360°，
∴∠AEC=360°-120°-140°=100°．
（3）∠BAE=∠AEC+∠ECD
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）解：过点E画直线EF，使EF∥AB．
因为EF∥AB，根据“两直线平行内错角相等”，可得∠BAE=∠1．又因为∠BAE=60°，
所以∠1=60°．因为EF∥AB，且AB∥CD，根据“平行于同一直线的两条直线平行”，
可得EF∥CD所以∠ECD=∠CEF．又因为∠ECD=45°，
所以∠CEF=45°，所以∠AEC=105°．
故答案为：两直线平行内错角相等，60，平行于同一直线的两条直线平行，CEF，∠CEF=45°，105．（3）如图3中，延长EA交CD于F．
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠1，
∵∠1=∠AEC+∠ECD，
∴∠BAE=∠AEC+∠ECD，
故答案为：∠BAE=∠AEC+∠ECD．
【分析】（1）过点E画直线EF，使EF∥AB．利用平行线的性质证明：∠AEC=∠BAE+∠DCE即可．（2）如图2中，作EF∥AB．证明∠A+∠AEC+∠C=360°．（3）如图3中，延长EA交CD于F．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
26．（2019七下·滦南期末）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.
（1）问题引入：
如图①，在 中，点 是 和 平分线的交点，若 ，则 度；若 ，则 （用含 的代数式表示）；
（2）类比探究：
如图②，在 中， ， ， .试探究： 与 的数量关系（用含 的代数式表示），并说明理由.
（3）知识拓展：
如图③， 、 分别是 的外角 ， 的 等分线，它们的交于点 ， ， ， ，求 的度数（用含 、 的代数式表示）.
【答案】（1）9；
（2）解： .
理由如下：
.
（3）解：
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）
=
.
故 时， ；
若 ，则 ；
【分析】（1）根据三角形的内角和可得到 ，根据角平分线的性质得到 = （ ），再根据∠A=70°即可求解；同理可得到 时 的度数；（2）利用 ，同理根据三角形的内角和进行计算求解；（3）根据题意发现规律，同理即可得到结论.
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