初中数学北师大版七年级下学期 第四章 4.2 图形的全等
一、单选题
1．（2020八上·让胡路期末）全等图形是指两个图形（ ）
A．大小相同 B．形状相同
C．能够完全重合 D．相等
2．（2021八上·同心期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形
B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
3．（2021八上·河东期末）如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·湛江期中）如图， ，DF和AC，EF和BC为对应边，若 ， ，则 等于（ ）
A．18° B．20° C．39° D．123°
5．（2020八上·湛江期中）如图，若 ，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
6．（2020八上·松山期中）下列说法中正确的为（ ）
①全等三角形的面积相等②周长相等的两个三角形全等③全等三角形的形状相同、大小相等④全等三角形的对应边相等、对应角相等
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
7．（2020八上·宜春期中）如图， ，点A，B，E在同一直线上， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2021八上·正阳期末）已知 ≌ ， 的周长为100， ， ，则 .
9．（2020八上·农安月考）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x +y = ．
10．（2020八上·巴彦淖尔期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
11．（2020八上·南昌期中）如图，图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则 的度数等于 ．
12．（2021八上·杭州期末）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边分别为3，m，n，△DEF的三边分别为5，p，q.若△ABC的三边均为整数，则m+n+p+q的最大值为 .
13．（2020八上·赣榆期中）如图，△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，∠DAC＝20°，则∠BAD＝
14．（2020八上·泰州月考）如图，△ABC≌△EDB，AC＝6，AB＝8，则AE＝ .
三、解答题
15．（2020八上·让胡路期末）如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
16．（2020八上·徐汇月考）如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105 ，∠B=50 ，∠CAD=10°，求出∠DEF的度数.
17．（2020八上·余干月考）如图，已知 ABE≌ ACD，求证：∠BAD=∠CAE．
18．（2020八上·南丹月考）如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长.
19．（2020八上·通渭月考）如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长.
20．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：全等图形是指两个图形的形状和大小都相等，能够完全重合，
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形.
故答案为：C.
【分析】形状、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，再根据图上的对应关系， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据图象找到两个全等三角形的对应角和对应边，得到 的度数，就可以得到结果．
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠D=∠A=123°
又
∴ =180°-∠D-∠F=180°-123°-39°=18°
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，再用三角形的内角和定理即可求解．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ，
∵AB=AC=8
∵AE=3
∴CE=AC-AE=8-3=5
故答案为：C．
【分析】由 可得AB=AC从而利用线段的和差可得答案．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由全等三角形的性质可得：全等三角形的面积相等，故①符合题意；
由全等三角形的定义可得：周长相等的两个三角形不一定全等，故②不符合题意；
由全等三角形的定义可得：全等三角形的形状相同、大小相等，故③符合题意；
由全等三角形的性质可得：全等三角形的对应边相等、对应角相等，故④符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的定义和性质对每个说法一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，根据三角形外角的性质可得 ，即可求解．
8．【答案】45
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图， ≌ ， ， ，
， ，
的周长为100，
，
故答案为：45.
【分析】根据全等三角形的性质得出AB、AC的长，再根据 的周长，求出BC长，即可得出答案.
9．【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：三边为 的三角形与三边为 的三角形全等，
故答案为
【分析】根据三角形全等的性质：对应边相等求解即可。
10．【答案】45°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：观察图形可知：
AC=BE，∠ACB=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1-∠2+∠3=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
【分析】根据图形可知：△ABC≌△BDE，再利用全等三角形的性质可知∠1=∠DBE，所以∠1+∠3=90°，再结合∠2=45°，即可求出∠1-∠2+∠3=90°-45°=45°．
11．【答案】60°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】在左图中，边a所对的角为180° 50° 70°＝60°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为60°，
故填：60°．
【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等求解即可。
12．【答案】22
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴m，n中有一边长为5，
∴m，n与p，q中剩余的两边相等，
∴3+5=8
∵ p，q.若△ABC的三边均为整数，
∴剩余的两边的最大值为7，
∴m+n+p+q的最大值8+7+7=22.
故答案为：22.
【分析】利用全等三角形的性质可知m，n中有一边长为5，可得到三角形的两边之和为8，由此可得到第三边的最大值，由此可求出m+n+p+q的最大值。
13．【答案】40°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC ∠DAC，
∴∠BAD＝40°
故答案为：40°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝60°利用∠BAD＝∠BAC ∠DAC即得结论.
14．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
又∵AE=AB-BE，
∴AE=8-6=2，
故答案为：2.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得BE=AC，再由AE=AB-BE即可求得答案.
15．【答案】解：AD⊥BC．
证明：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
∵B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可知： ∠ADB=∠ADC， 再利用平角性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 即可证出结论。
16．【答案】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠ACB＝180° 50° 105°＝25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝50°．
又∵∠ACF＝180° 105°＝75°，∠CAD＝10°，
∴∠AFC＝180° 75° 10°＝95°，
∴∠EFD＝95°，
∴∠DEF＝180° 95° 50°＝35°．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠CAB=25°，再根据全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠CAB=25°，最后利用三角形的内角和求解即可。
17．【答案】证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等证明．
18．【答案】解：∵ △ABD≌△EBC，
∴BD=BC=5cm, BE=AB=3cm,
∴DE=BD-BE=5-3=2cm.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由三角形全等可得对应边相等，然后由DE=BD-BE即可求出结果.
19．【答案】解：∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB，
∴AC–BC=DB–BC，即AB=CD，
∵AD=11，BC=7，
∴AB= （AD–BC）= ×（11–7）=2，
即AB=2.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形对应边相等，可得AC=DB，从而可得AB=CD，利用AB=（AD–BC）即可求出结论.
20．【答案】解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形中，重合的点是对应顶点，重合的角是对应角可求解。
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第四章 4.2 图形的全等
一、单选题
1．（2020八上·让胡路期末）全等图形是指两个图形（ ）
A．大小相同 B．形状相同
C．能够完全重合 D．相等
【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：全等图形是指两个图形的形状和大小都相等，能够完全重合，
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义求解即可。
2．（2021八上·同心期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形
B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形.
故答案为：C.
【分析】形状、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答即可.
3．（2021八上·河东期末）如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，再根据图上的对应关系， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据图象找到两个全等三角形的对应角和对应边，得到 的度数，就可以得到结果．
4．（2020八上·湛江期中）如图， ，DF和AC，EF和BC为对应边，若 ， ，则 等于（ ）
A．18° B．20° C．39° D．123°
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠D=∠A=123°
又
∴ =180°-∠D-∠F=180°-123°-39°=18°
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，再用三角形的内角和定理即可求解．
5．（2020八上·湛江期中）如图，若 ，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ，
∵AB=AC=8
∵AE=3
∴CE=AC-AE=8-3=5
故答案为：C．
【分析】由 可得AB=AC从而利用线段的和差可得答案．
6．（2020八上·松山期中）下列说法中正确的为（ ）
①全等三角形的面积相等②周长相等的两个三角形全等③全等三角形的形状相同、大小相等④全等三角形的对应边相等、对应角相等
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由全等三角形的性质可得：全等三角形的面积相等，故①符合题意；
由全等三角形的定义可得：周长相等的两个三角形不一定全等，故②不符合题意；
由全等三角形的定义可得：全等三角形的形状相同、大小相等，故③符合题意；
由全等三角形的性质可得：全等三角形的对应边相等、对应角相等，故④符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的定义和性质对每个说法一一判断即可。
7．（2020八上·宜春期中）如图， ，点A，B，E在同一直线上， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，根据三角形外角的性质可得 ，即可求解．
二、填空题
8．（2021八上·正阳期末）已知 ≌ ， 的周长为100， ， ，则 .
【答案】45
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图， ≌ ， ， ，
， ，
的周长为100，
，
故答案为：45.
【分析】根据全等三角形的性质得出AB、AC的长，再根据 的周长，求出BC长，即可得出答案.
9．（2020八上·农安月考）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x +y = ．
【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：三边为 的三角形与三边为 的三角形全等，
故答案为
【分析】根据三角形全等的性质：对应边相等求解即可。
10．（2020八上·巴彦淖尔期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【答案】45°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：观察图形可知：
AC=BE，∠ACB=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1-∠2+∠3=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
【分析】根据图形可知：△ABC≌△BDE，再利用全等三角形的性质可知∠1=∠DBE，所以∠1+∠3=90°，再结合∠2=45°，即可求出∠1-∠2+∠3=90°-45°=45°．
11．（2020八上·南昌期中）如图，图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则 的度数等于 ．
【答案】60°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】在左图中，边a所对的角为180° 50° 70°＝60°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为60°，
故填：60°．
【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等求解即可。
12．（2021八上·杭州期末）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边分别为3，m，n，△DEF的三边分别为5，p，q.若△ABC的三边均为整数，则m+n+p+q的最大值为 .
【答案】22
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴m，n中有一边长为5，
∴m，n与p，q中剩余的两边相等，
∴3+5=8
∵ p，q.若△ABC的三边均为整数，
∴剩余的两边的最大值为7，
∴m+n+p+q的最大值8+7+7=22.
故答案为：22.
【分析】利用全等三角形的性质可知m，n中有一边长为5，可得到三角形的两边之和为8，由此可得到第三边的最大值，由此可求出m+n+p+q的最大值。
13．（2020八上·赣榆期中）如图，△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，∠DAC＝20°，则∠BAD＝
【答案】40°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC ∠DAC，
∴∠BAD＝40°
故答案为：40°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝60°利用∠BAD＝∠BAC ∠DAC即得结论.
14．（2020八上·泰州月考）如图，△ABC≌△EDB，AC＝6，AB＝8，则AE＝ .
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
又∵AE=AB-BE，
∴AE=8-6=2，
故答案为：2.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得BE=AC，再由AE=AB-BE即可求得答案.
三、解答题
15．（2020八上·让胡路期末）如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
【答案】解：AD⊥BC．
证明：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
∵B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可知： ∠ADB=∠ADC， 再利用平角性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 即可证出结论。
16．（2020八上·徐汇月考）如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105 ，∠B=50 ，∠CAD=10°，求出∠DEF的度数.
【答案】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠ACB＝180° 50° 105°＝25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝50°．
又∵∠ACF＝180° 105°＝75°，∠CAD＝10°，
∴∠AFC＝180° 75° 10°＝95°，
∴∠EFD＝95°，
∴∠DEF＝180° 95° 50°＝35°．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠CAB=25°，再根据全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠CAB=25°，最后利用三角形的内角和求解即可。
17．（2020八上·余干月考）如图，已知 ABE≌ ACD，求证：∠BAD=∠CAE．
【答案】证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等证明．
18．（2020八上·南丹月考）如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长.
【答案】解：∵ △ABD≌△EBC，
∴BD=BC=5cm, BE=AB=3cm,
∴DE=BD-BE=5-3=2cm.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由三角形全等可得对应边相等，然后由DE=BD-BE即可求出结果.
19．（2020八上·通渭月考）如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长.
【答案】解：∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB，
∴AC–BC=DB–BC，即AB=CD，
∵AD=11，BC=7，
∴AB= （AD–BC）= ×（11–7）=2，
即AB=2.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形对应边相等，可得AC=DB，从而可得AB=CD，利用AB=（AD–BC）即可求出结论.
20．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形中，重合的点是对应顶点，重合的角是对应角可求解。
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