2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.4 角平分线 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·东台期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B。下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠AOB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
2．（2018八上·秀洲期中）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
3．（2018八上·姜堰期中）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，连接CD，以下说法错误的是（ ）
A．△OCD是等腰三角形
B．点E到OA，OB的距离相等
C．CD垂直平分OE
D．证明射线OE是角平分线的依据是SSS
4．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018八上·衢州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
① ∠AOB=90°+ ②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b，则 S△CEF=ab其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
6．（2018八上·武汉期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2018八上·泰兴月考）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则（ ）
A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜4
10．（2018八上·句容月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
二、填空题
11．（2018八上·前郭期中）如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 .
12．（2018八上·天台期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
13．（2018八上·泰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，BC=9，则S△ABD = ．
14．（2018八上·佳木斯期中）如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．
15．如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点至少有 个，最多有 个．
16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠An的度数为 （用含n、α的代数式表示）．
三、解答题
17．（2018八上·宜兴期中）如图，直线l及A、B两点（保留作图痕迹，不写作法）。
①②③
（1）如图①，在直线l上作一点P，使PA=PB；
（2）如图②，在直线l上作一点Q，使l平分∠AQB；
（3）如图③，在直线l上作一点C，使△ABC周长最短；
18．（2018八上·泸西期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，BD=DF，证明：CF=EB．
19．（2018八上·佳木斯期中）如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A=60°，求∠BOC的度数．
20．如图
（1）如图1，已知点D是线段AC的中点，点B在线段DC上，且AB＝4BC，若BD＝6 cm，求AB的长；
（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE，试求∠COE的度数.
21．（2018八上·桥东期中）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由.
22．（2018八上·泰兴月考）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质：因OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，得到PA=PB，进而推出△AOE≌△BOE，从未得到∠APO=∠BPO，OA=OB，因此A、B、C不符合题意；设PO与AB相交于E，由OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，得证△AOE≌△BOE，进而得∠AEO=∠BEO=90°，因此得证OP垂直AB，而不能得到AB平分OP,故D不成立.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PB； PO平分∠AOB ；由HL定理可得
,则OA=OB；不能得到AB平分OP。
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，
∵AB∥CD，
∴P、F、G三点共线，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3cm，
∴PE=PF=3cm，
又∵CP平分∠ACD，PE⊥AC，PG⊥CD，PE=3cm，
∴PE=PG=3cm，
∴FG=PF+PG=6cm，
即AB与CD之间的距离为6cm.
故答案为：B.
【分析】作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，根据角平分的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PG=PF，再根据平行线间的距离的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】A．根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；
B．连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
在△EOC与△EOD中，∵ ，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，∴点E到OA、OB的距离相等，正确，不符合题意；
C．根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，错误，符合题意；
D．连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
在△EOC与△EOD中，∵ ，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、根据作图过程可知OC=OD，根据有两边相等的三角形是等腰三角形得出：△COD是等腰三角形；B、根据作图过程可以利用SSS判断出△EOC≌△EOD，根据全等三角形的对应角相等得出OE是∠AOB的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出：点E到OA、OB的距离相等；C、根据作图不能得出CD平分OE，只能得出OE平分CD；D、由B即可得出根据作图过程可以利用SSS判断出△EOC≌△EOD，根据全等三角形的对应角相等得出OE是∠AOB的平分线，综上所述即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S△AEF= AE GD+ AF GD= （AE+AF） GD= nm，故本小题错误．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可证得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根据平行线的性质，可证得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再证明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，从而可证 ① 的结论；利用角平分线的定义及三角形的内角和定理，可对 ② 作出判断；BG、CG是△ABC的两个角的平分线的交点，可证得点G时内心，利用三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，可对③作出判断；由已知条件：点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面积= （AE+AF） GD，代入计算，可对 ④ 作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连结OC，过点O作OH⊥AC于H，
①∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO=∠OAE=∠BAC，∠ABO=∠OBC=∠ABC，
而EF∥AB ，
∴∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，
∴∠AOB=-∠AOE-∠BOF=-∠BAC-∠ABC=-（∠BAC+∠ABC）=-（-∠C）=90°+∠C；故①正确。
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，
∴AE=OE，BF=OF
∴EF=EO+FO=AE+BF；故②正确。
③由②可得，AE=OE，BF=OF，不能得到E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，
由题意知，点O是 ABC的内心，OD⊥CB，
∴CO平分角ACB，
∴OD=OH，
∵OD=a，CE+CF=2b，
∴=.故④正确。
∴选C。
【分析】①由角平分线的性质可证得∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，再根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠BAC=-∠C，然后由平角的性质可证得∠AOB=90°+∠C；
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，根据等角对等边可得AE=OE，BF=OF，再由线段的构成可得EF=EO+FO=AE+BF；
③根据已知条件不能得出E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OH，然后根据S△CEF=即可求得S△CEF=ab.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】满足条件的有：
（ 1 ）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（ 2 ）三角形外角平分线的交点，共三处．
故答案为：A．
【分析】抓住已知条件：要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，利用角平分线的性质，可证得答案。
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=
∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC=3，从而得出答案。
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】因为P到OA的距离为4，所以P到OA的最短距离为4，又因为P是角平分线上的点到两边距离相等，所以PQ .
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，由Q是OB上任一点，再由垂线段最短得到PQ ≥ 4 .
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，得到射线OP就是∠BOA的角平分线．
11．【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出工厂的位置应在∠BAC的平分线上，且到A相距1cm的地方。
12．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，
∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可证得CE=点E到AB的距离=3cm，再证明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的长。
13．【答案】30
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
Rt△ABC中,由勾股定理得AB= ,
∴△ABD的面积为： ×AB×DE= ×15×4=30，
故答案为：30.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，根据勾股定理算出AB的长，然后滚局三角形的面积计算方法即可算出答案。
14．【答案】140°；40°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠A=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180° 100°=80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= ×80°=40°，
∴∠BIC=180° (∠IBC+∠ICB)=180° 40°=140°，
∵∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠DBC+∠ECB=180° ∠ABC+180° ∠ACB=360° (∠ABC+∠ACB)=360° 80°=280°，
∵BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠1= ∠DBC，∠2= ∠ECB，
∴∠1+∠2= ×280°=140°，
∴∠M=180° ∠1 ∠2=40°.
故答案为：140°；40°.
【分析】在三角形ABC中，根据∠A的度数即可得到∠ABC和∠ACB度数的和，因为BI，CI为角的平分线，即可得到∠I的度数；
根据三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，所以两个外角的和即为180度和一个∠A的和，即可求得∠1和∠2的和，随即得出∠M的度数。
15．【答案】1；2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2
【分析】找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点在AB与CD相交形成的夹角的角平分线上，又此点药在直线MN上，故该点一定是AB与CD相交形成的夹角的角平分线与直线MN的交点，根据两条直线相交有且只有一个交点，故当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴
同理可得，
…
依此类推， .
即∠An= .
故答案为： .
【分析】根据角平分线的性质，表示出 ∠ A1、∠ A2、∠A3的度数，以此类推表示出∠An的度数。
17．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：如图
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求作的点P；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解；
（3）根据两点之间线段最短，可作点B关于直线l的的对称点，再连接过对称点和A作直线与直线l的交点即为所求。
18．【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴DE=DC．
又∵BD=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF=EB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=DC ，然后利用HL判断出 Rt△CDF≌Rt△EDB ，根据全等三角形的对应边相等得出 CF=EB．
19．【答案】解：如图所示，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4= （180°-∠A）= （180°-60°）=60°，
故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-60°=120°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，已知∠A=60°，根据三角形内角和为180度，即可得到∠ABC+∠ACB的和；根据两个角的平分线可知三角形OBC中，∠OBC和∠OCB的和，随即可求出∠BOC的度数。
20．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】角平分线的性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）利用中点的性质，以及AB＝4BC，可求得AB的长度。
（2）利用角平分线的性质，以及∠BOD＝3∠DOE，通过角的换算，可求得∠COE的度数。
21．【答案】（1）解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AR.
（2）解：AR=AS，理由如下：
∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）也可以利用到角两边距离相等的点在角平分线上证得∠BAP=∠1，再由等边对等角证得∠1=∠2，从而∠BAP=∠2，那么由内错角相等两直线平行可证QP∥AR；（2）由（1）可知Rt△APR≌Rt△APS（HL），从而可知AS=AR.
22．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴ ，∵OB=OC，∴ ．又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB（AAS）．∴ ．
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD=CE．∵OB=OC，∴OD=OE．又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和全等三角形的判定方法AAS，得到△BEC≌△CDB，得到对应角相等，再由等角对等边得到△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得到BD=CE，再由三线合一得到点O在∠BAC的平分线上.
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册1.4 角平分线 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·东台期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B。下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠AOB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质：因OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，得到PA=PB，进而推出△AOE≌△BOE，从未得到∠APO=∠BPO，OA=OB，因此A、B、C不符合题意；设PO与AB相交于E，由OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，得证△AOE≌△BOE，进而得∠AEO=∠BEO=90°，因此得证OP垂直AB，而不能得到AB平分OP,故D不成立.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PB； PO平分∠AOB ；由HL定理可得
,则OA=OB；不能得到AB平分OP。
2．（2018八上·秀洲期中）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，
∵AB∥CD，
∴P、F、G三点共线，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3cm，
∴PE=PF=3cm，
又∵CP平分∠ACD，PE⊥AC，PG⊥CD，PE=3cm，
∴PE=PG=3cm，
∴FG=PF+PG=6cm，
即AB与CD之间的距离为6cm.
故答案为：B.
【分析】作PF⊥AB于F，PG⊥CD于G，根据角平分的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得PE=PG=PF，再根据平行线间的距离的定义即可求出答案.
3．（2018八上·姜堰期中）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，连接CD，以下说法错误的是（ ）
A．△OCD是等腰三角形
B．点E到OA，OB的距离相等
C．CD垂直平分OE
D．证明射线OE是角平分线的依据是SSS
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】A．根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；
B．连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
在△EOC与△EOD中，∵ ，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，∴点E到OA、OB的距离相等，正确，不符合题意；
C．根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，错误，符合题意；
D．连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
在△EOC与△EOD中，∵ ，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、根据作图过程可知OC=OD，根据有两边相等的三角形是等腰三角形得出：△COD是等腰三角形；B、根据作图过程可以利用SSS判断出△EOC≌△EOD，根据全等三角形的对应角相等得出OE是∠AOB的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出：点E到OA、OB的距离相等；C、根据作图不能得出CD平分OE，只能得出OE平分CD；D、由B即可得出根据作图过程可以利用SSS判断出△EOC≌△EOD，根据全等三角形的对应角相等得出OE是∠AOB的平分线，综上所述即可得出答案。
4．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S△AEF= AE GD+ AF GD= （AE+AF） GD= nm，故本小题错误．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可证得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根据平行线的性质，可证得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再证明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，从而可证 ① 的结论；利用角平分线的定义及三角形的内角和定理，可对 ② 作出判断；BG、CG是△ABC的两个角的平分线的交点，可证得点G时内心，利用三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，可对③作出判断；由已知条件：点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面积= （AE+AF） GD，代入计算，可对 ④ 作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
5．（2018八上·衢州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
① ∠AOB=90°+ ②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b，则 S△CEF=ab其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连结OC，过点O作OH⊥AC于H，
①∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO=∠OAE=∠BAC，∠ABO=∠OBC=∠ABC，
而EF∥AB ，
∴∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，
∴∠AOB=-∠AOE-∠BOF=-∠BAC-∠ABC=-（∠BAC+∠ABC）=-（-∠C）=90°+∠C；故①正确。
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，
∴AE=OE，BF=OF
∴EF=EO+FO=AE+BF；故②正确。
③由②可得，AE=OE，BF=OF，不能得到E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，
由题意知，点O是 ABC的内心，OD⊥CB，
∴CO平分角ACB，
∴OD=OH，
∵OD=a，CE+CF=2b，
∴=.故④正确。
∴选C。
【分析】①由角平分线的性质可证得∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，再根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠BAC=-∠C，然后由平角的性质可证得∠AOB=90°+∠C；
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，根据等角对等边可得AE=OE，BF=OF，再由线段的构成可得EF=EO+FO=AE+BF；
③根据已知条件不能得出E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OH，然后根据S△CEF=即可求得S△CEF=ab.
6．（2018八上·武汉期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】满足条件的有：
（ 1 ）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（ 2 ）三角形外角平分线的交点，共三处．
故答案为：A．
【分析】抓住已知条件：要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，利用角平分线的性质，可证得答案。
7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=
∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC=3，从而得出答案。
9．（2018八上·泰兴月考）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则（ ）
A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】因为P到OA的距离为4，所以P到OA的最短距离为4，又因为P是角平分线上的点到两边距离相等，所以PQ .
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，由Q是OB上任一点，再由垂线段最短得到PQ ≥ 4 .
10．（2018八上·句容月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，得到射线OP就是∠BOA的角平分线．
二、填空题
11．（2018八上·前郭期中）如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 .
【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出工厂的位置应在∠BAC的平分线上，且到A相距1cm的地方。
12．（2018八上·天台期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，
∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可证得CE=点E到AB的距离=3cm，再证明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的长。
13．（2018八上·泰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，BC=9，则S△ABD = ．
【答案】30
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
Rt△ABC中,由勾股定理得AB= ,
∴△ABD的面积为： ×AB×DE= ×15×4=30，
故答案为：30.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，根据勾股定理算出AB的长，然后滚局三角形的面积计算方法即可算出答案。
14．（2018八上·佳木斯期中）如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．
【答案】140°；40°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠A=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180° 100°=80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= ×80°=40°，
∴∠BIC=180° (∠IBC+∠ICB)=180° 40°=140°，
∵∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠DBC+∠ECB=180° ∠ABC+180° ∠ACB=360° (∠ABC+∠ACB)=360° 80°=280°，
∵BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠1= ∠DBC，∠2= ∠ECB，
∴∠1+∠2= ×280°=140°，
∴∠M=180° ∠1 ∠2=40°.
故答案为：140°；40°.
【分析】在三角形ABC中，根据∠A的度数即可得到∠ABC和∠ACB度数的和，因为BI，CI为角的平分线，即可得到∠I的度数；
根据三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，所以两个外角的和即为180度和一个∠A的和，即可求得∠1和∠2的和，随即得出∠M的度数。
15．如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点至少有 个，最多有 个．
【答案】1；2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2
【分析】找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点在AB与CD相交形成的夹角的角平分线上，又此点药在直线MN上，故该点一定是AB与CD相交形成的夹角的角平分线与直线MN的交点，根据两条直线相交有且只有一个交点，故当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠An的度数为 （用含n、α的代数式表示）．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴
同理可得，
…
依此类推， .
即∠An= .
故答案为： .
【分析】根据角平分线的性质，表示出 ∠ A1、∠ A2、∠A3的度数，以此类推表示出∠An的度数。
三、解答题
17．（2018八上·宜兴期中）如图，直线l及A、B两点（保留作图痕迹，不写作法）。
①②③
（1）如图①，在直线l上作一点P，使PA=PB；
（2）如图②，在直线l上作一点Q，使l平分∠AQB；
（3）如图③，在直线l上作一点C，使△ABC周长最短；
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：如图
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求作的点P；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解；
（3）根据两点之间线段最短，可作点B关于直线l的的对称点，再连接过对称点和A作直线与直线l的交点即为所求。
18．（2018八上·泸西期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，BD=DF，证明：CF=EB．
【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴DE=DC．
又∵BD=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF=EB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=DC ，然后利用HL判断出 Rt△CDF≌Rt△EDB ，根据全等三角形的对应边相等得出 CF=EB．
19．（2018八上·佳木斯期中）如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A=60°，求∠BOC的度数．
【答案】解：如图所示，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4= （180°-∠A）= （180°-60°）=60°，
故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-60°=120°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，已知∠A=60°，根据三角形内角和为180度，即可得到∠ABC+∠ACB的和；根据两个角的平分线可知三角形OBC中，∠OBC和∠OCB的和，随即可求出∠BOC的度数。
20．如图
（1）如图1，已知点D是线段AC的中点，点B在线段DC上，且AB＝4BC，若BD＝6 cm，求AB的长；
（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE，试求∠COE的度数.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】角平分线的性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）利用中点的性质，以及AB＝4BC，可求得AB的长度。
（2）利用角平分线的性质，以及∠BOD＝3∠DOE，通过角的换算，可求得∠COE的度数。
21．（2018八上·桥东期中）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由.
【答案】（1）解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AR.
（2）解：AR=AS，理由如下：
∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）也可以利用到角两边距离相等的点在角平分线上证得∠BAP=∠1，再由等边对等角证得∠1=∠2，从而∠BAP=∠2，那么由内错角相等两直线平行可证QP∥AR；（2）由（1）可知Rt△APR≌Rt△APS（HL），从而可知AS=AR.
22．（2018八上·泰兴月考）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴ ，∵OB=OC，∴ ．又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB（AAS）．∴ ．
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD=CE．∵OB=OC，∴OD=OE．又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和全等三角形的判定方法AAS，得到△BEC≌△CDB，得到对应角相等，再由等角对等边得到△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得到BD=CE，再由三线合一得到点O在∠BAC的平分线上.
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