初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题3 角平分线
一、单选题
1．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
2．（2019八上·江海期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：B．
【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的点到角两边的距离相等可得PE=PD=2.
3．（2019八上·义乌月考）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC的三个角的角平分线的交点处，
故答案为：C
【分析】抓住关键的已知条件：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，根据三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案。
4．（2017八上·宜春期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25 B．84 C．42 D．21
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
= OE AB+ OD BC+ OF AC
= ×4×（AB+BC+AC）
= ×4×21
=42．
故选C．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
5．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故答案为：C
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC得出点D在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的定义即可得出∠1=∠2．
7．（2019八上·双台子期末）如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由角平分线性质的逆定理，
∵已知点P到BE，BD的距离相等
∴点P在∠B的平分线上；
∵点P到BD，AC的距离相等
∴点P在∠DAC的平分线上
∵点P到BE， AC的距离相等
∴点P在∠ECA的平分线上
∴点P恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，
可得①②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】利用平分线的判定进行分析.由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得
8．（2017八上·老河口期中）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．点O到△ABC的三边距离一定相等
C．∠C的平分线一定经过点O
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、C由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C不符合题意；
B、而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B不符合题意；
D、而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用三角形角平分线的性质及判定，对各选项逐一判断，可得出答案。
9．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=
∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
10．（2018八上·鄂伦春月考）如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D．
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知三个内角的平分线交点、任意两外角的平分线交点均可，共四处。
二、填空题
11．（2018八上·东城期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离 cm．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
故答案为：4.
【分析】先依据比例关系求得DC的长，然后依据角平分线的性质可得到点D到AB的距离等于DC.
12．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵+=7
∴
∴AB+AC=7
又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。
13．（2020八上·江苏月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个.
【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解.
14．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
15．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝ ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=1；∠B=30°，DE⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即DB=2DE=2，即可求得BC的长。
16．（2017八上·南涧期中）如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB= ．
【答案】60°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
【分析】利用角平分线的判定定理，可证得OC平分∠AOB，即可求出结果。
三、解答题
17．（2018八上·前郭期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
【答案】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=3，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB OE+ BC OD+ AC OF= ×3×（AB+BC+AC）= ×3×20=30．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，OF=OD，故OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO使用乘法分配律的逆用及整体代入即可算出答案。
18．（2020八上·北京期中）在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE^AB于E，DF^AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
【答案】证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
四、作图题
19．（2018八上·北京期中）如图所示，直线 、 、 为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，到角两条边的距离相等的点在这个角的角平分线上，分别作出两个角的角平分线，角的平分线交于一点，得到答案即可。
五、综合题
20．（2018八上·桥东期中）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由.
【答案】（1）解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AR.
（2）解：AR=AS，理由如下：
∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）也可以利用到角两边距离相等的点在角平分线上证得∠BAP=∠1，再由等边对等角证得∠1=∠2，从而∠BAP=∠2，那么由内错角相等两直线平行可证QP∥AR；（2）由（1）可知Rt△APR≌Rt△APS（HL），从而可知AS=AR.
21．（2020八上·越秀期末）如图， 是 上一点， 于 ， 于 . 、 分别是 、 上的点，且 ， .
（1）求证： 是 的平分线.
（2）若 ，且 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
是 的角平分线
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．（2）在Rt△PFD中，求出PD即可解决问题；
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题3 角平分线
一、单选题
1．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
2．（2019八上·江海期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．（2019八上·义乌月考）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
4．（2017八上·宜春期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25 B．84 C．42 D．21
5．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
7．（2019八上·双台子期末）如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2017八上·老河口期中）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（ ）
A．点O一定在△ABC的内部
B．点O到△ABC的三边距离一定相等
C．∠C的平分线一定经过点O
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
9．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
10．（2018八上·鄂伦春月考）如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
二、填空题
11．（2018八上·东城期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离 cm．
12．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．
13．（2020八上·江苏月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个.
14．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
15．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝ ．
16．（2017八上·南涧期中）如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB= ．
三、解答题
17．（2018八上·前郭期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
18．（2020八上·北京期中）在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE^AB于E，DF^AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
四、作图题
19．（2018八上·北京期中）如图所示，直线 、 、 为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）.
五、综合题
20．（2018八上·桥东期中）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由.
21．（2020八上·越秀期末）如图， 是 上一点， 于 ， 于 . 、 分别是 、 上的点，且 ， .
（1）求证： 是 的平分线.
（2）若 ，且 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：B．
【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的点到角两边的距离相等可得PE=PD=2.
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC的三个角的角平分线的交点处，
故答案为：C
【分析】抓住关键的已知条件：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，根据三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
= OE AB+ OD BC+ OF AC
= ×4×（AB+BC+AC）
= ×4×21
=42．
故选C．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
5．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故答案为：C
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC得出点D在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的定义即可得出∠1=∠2．
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由角平分线性质的逆定理，
∵已知点P到BE，BD的距离相等
∴点P在∠B的平分线上；
∵点P到BD，AC的距离相等
∴点P在∠DAC的平分线上
∵点P到BE， AC的距离相等
∴点P在∠ECA的平分线上
∴点P恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，
可得①②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】利用平分线的判定进行分析.由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、C由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C不符合题意；
B、而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B不符合题意；
D、而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用三角形角平分线的性质及判定，对各选项逐一判断，可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=
∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D．
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知三个内角的平分线交点、任意两外角的平分线交点均可，共四处。
11．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
故答案为：4.
【分析】先依据比例关系求得DC的长，然后依据角平分线的性质可得到点D到AB的距离等于DC.
12．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵+=7
∴
∴AB+AC=7
又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。
13．【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解.
14．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
15．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=1；∠B=30°，DE⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即DB=2DE=2，即可求得BC的长。
16．【答案】60°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
【分析】利用角平分线的判定定理，可证得OC平分∠AOB，即可求出结果。
17．【答案】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=3，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB OE+ BC OD+ AC OF= ×3×（AB+BC+AC）= ×3×20=30．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，OF=OD，故OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO使用乘法分配律的逆用及整体代入即可算出答案。
18．【答案】证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
19．【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，到角两条边的距离相等的点在这个角的角平分线上，分别作出两个角的角平分线，角的平分线交于一点，得到答案即可。
20．【答案】（1）解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AR.
（2）解：AR=AS，理由如下：
∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）也可以利用到角两边距离相等的点在角平分线上证得∠BAP=∠1，再由等边对等角证得∠1=∠2，从而∠BAP=∠2，那么由内错角相等两直线平行可证QP∥AR；（2）由（1）可知Rt△APR≌Rt△APS（HL），从而可知AS=AR.
21．【答案】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
是 的角平分线
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．（2）在Rt△PFD中，求出PD即可解决问题；
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