2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册3.2图形的旋转 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·汕头期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（ ）
A．23° B．30° C．33° D．39°
2．（2018九上·天台月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，此时点D恰好在AB边上，则点B与点E之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018九上·天台月考）如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( )
A．30° B．60° C．72° D．90°
4．（2018九上·三门期中）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．15
5．（2018九上·宁波期中）若干个正方形按如图方式拼接，三角形M经过旋转变换能得到三角形N，下列四个点能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．（2018九上·宜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'(点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C')，连接CC'，若∠B =78°，则∠CC'B'的大小是（ ）
A．23° B．30° C．33° D．39°
7．（2018九上·防城港期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1
8．（2018八上·江阴期中）如图，将边长为 的正方形绕点 逆时针旋转 ，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018九上·宜昌期中）如图，矩形 的顶点 为坐标原点，点 在 轴上，点 的坐标为 ．如果将矩形 绕点 旋转 旋转后的图形为矩形 ，那么点 的坐标为（ ）
A．(2， 1) B．(-2， 1) C．(-2， -1) D．(2， -l)
10．（人教版九年级数学上册期中试卷（一））如图甲，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…如图乙，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1.1 D．1.4
二、填空题
11．（2019九上·龙湖期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于 ．
12．（2018九上·台州期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转得到△A′BC′，点A′恰好落在边AC上，连接CC′，则∠ACC′= ．
13．（2019九上·高要期中）在图中，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为 ．
14．（2018八上·江阴期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B' C′，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是 .
15．（2018九上·义乌期中）如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，且BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度，若点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m= .
16．（2018九上·武昌期中）如图，在 中， ， ，以点 为旋转中心把 按顺时针旋转 度，得到 ，点 '恰好落在 上，连接CC′，则∠ACC'= ．
17．（2018九上·三门期中）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 ，点A2020的坐标是 ．
三、解答题
18．（2018九上·三门期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①已知△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出C点的对称点C1的坐标；
② 以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出C点的对称点C2的坐标．
19．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.2.1中心对称 同步练习）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．
20．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（1） 同步练习）如图，钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，那么：
（1）它的旋转中心是什么？
（2）分针旋转一周，时针旋转多少度？
（3）上午8点整，时针和分针的夹角是多少？8点半呢？
21．（2018九上·防城港期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD．
（1）试判断△CBD的形状，并说明理由；
（2）求∠BDC的度数．
22．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（3） 同步练习 ）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或 “B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④.
23．（2019九上·宁河期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝78°，
∴∠ACB＝90°﹣78°＝12°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝12°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣12°＝33°．
故答案为：C
【分析】因为∠B=78°，可又三角形内角和定理得∠BCA=12°，再由旋转的性质可得∠AC B =∠ACB，AC=AC ，继而可得∠AC C=45°，再利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′即可求得。
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 解： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=12，∴BC=
∵ 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，此时点D恰好在AB边上
∴AC=CD，CE=CB，∠ECB=∠DCA，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠ECB=∠DCA=60°，
∴三角形CBE是等边三角形，
∴BE=CB=.
故答案为：D。
【分析】首先根据三角形的内角和算出∠B的度数，然后根据含30°直角三角形的边之间的关系算出AB，进而根据勾股定理算出BC，根据旋转的性质得出AC=CD，CE=CB，∠ECB=∠DCA，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：三角形ACD是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出∠ECB=∠DCA=60°，进而再判断出三角形CBE是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：依题可得：
旋转角为：360°÷5=72°，
故答案为：C.
【分析】根据图形可知旋转角是将一个周角平均分成5份，计算即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设HD=x，则HC=x+8
∵点P为CH的中点
∴HP=
∵△APH的边HP和边AP的高相等
∴HP=AP
AP=
∵DP=HP-HD=
在Rt△APD中，
AP2=DP2+AD2
∴（）2=（）2+62
解之：x=
∴HP=4+=
在Rt△ADH，
HA=
∴△APH的周长为：
故答案为：B
【分析】设HD=x，则HC=x+8，利用线段中点的定义，用含x的代数式表示出HP的长，利用面积法证明HP=AP，再用含x的代数式表示出DH，然后利用勾股定理，建立关于x的方程，求出x的长，就可得出HP的长，再利用勾股定理求出AH，就可求出△APH的周长。
5．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，旋转前后的对应点的连线段的垂直平分线交于一点，如图所示.
故答案为：C.
【分析】各对应点的垂直平分线的交点即为旋转中心.
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得： ≌ ，点 在 上，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可知： ， ，△ACC'是等腰直角三角形，故 ，根据三角形外角的定理，由∠CC'B'=∠AB'C'－∠ACC'即可算出答案。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=2，
故答案为：A
【分析】根据旋转的性质得出△CP1A≌△BPA，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，进而根据等式的性质即可得出∠PAP1=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△APP1是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】连接BM，
在△ABM和△C′BM中，
∴△ABM≌△C′BM，
∠2＝∠3＝ ＝30°，
在△ABM中，AM＝ ×tan30°＝1，
S△ABM＝ ×AM×AB＝ ，
正方形的面积为：( )2＝3，
阴影部分的面积为：3 2× ＝3 ，
故答案为：C．
【分析】连接BM，易证△ABM≌△C′BM，利用全等三角形的性质，就可求出∠2＝∠3=30°，再在△ABM中，利用解直角三角形求出AM的长，利用三角形的面积公式求出△ABM的面积及正方形的面积，然后求出阴影部分的面积即可。
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点B的坐标是（2，1），∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知点B与点B1关于坐标原点对称，根据关于坐标原点的对称的点其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：B．
【分析】通过旋转的定义，找到M的轨迹，求出BM的范围。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】由△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合可得∠PAB=∠P AC，
∴∠PAP =∠PAC+P AC=∠PAC+∠PAB，
又 △ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=90°
∠PAP =90°
∴PP =
故答案为：。
【分析】由旋转的性质可知PA=P A，∠PAP =90°，即可得到PP =。
12．【答案】110°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=70°，
∴∠ACB=180° 2×70°=40°，
∵以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，
∴AB=A′B，BC=BC′，∠CBC′=α，
∴∠BA′A=∠A=70°，
∴α=40°，
∴∠CBC′=40°，
∴∠BCC′==70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=40°+70°=110°.
故答案为：110°
【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理，可求出∠ACB的度数，再根据旋转的性质，可证得AB=A′B，BC=BC′，∠CBC′=α，求出α=40°，利用三角形内角和定理求出∠BCC′，然后就可求出∠ACC′的度数。
13．【答案】60°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的，
而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形，
∴它的旋转角为60°．
故答案为：60°．
【分析】根据旋转的性质，可得出旋转后的图形，写出旋转角。
14．【答案】2+
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OA，AC′，如图，
∵点O是BC中点，
∴OC= BC=2，
在Rt△AOC中，OA= ，
∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，
∴OC′=OC=2，
∵AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），
∴AC′的最大值为2+ ，
即在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+ ．
故答案为2+ ．
【分析】连接OA，AC′，先求出OC的长，利用勾股定理求出OA，再根据旋转的性质可得出OC′=OC=2，利用三角形三边关系定理可得出AC′的最大值，即可得出答案。
15．【答案】80或120
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：在线段AB上取一点B ，使BD=B D，在线段AC上取一点B ，使BD=B D，
①∵BD=B D，
∴∠DB B=∠B，
∴旋转角m=∠BDB =180°-∠DB B-∠B=180°-2∠B，
又∵∠B=50°，
∴旋转角m=180°-100°=80°，
②在Rt△B CD中，
∵BD=2CD，BD=B D，
∴B D=2CD，
∴∠CDB =60°，
∴旋转角m=∠BDB =180°-∠CDB =180°-60°=120°.
综上所述：m为80或120.
故答案为：80或120.
【分析】本题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，以D点为圆心，BD为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB于点B ，交直角边AC于B ，此时BD=B D，BD=B D，由等腰三角形的性质和三角形内角和求旋转角∠BDB ；在Rt△B CD中，解直角三角形求∠CDB 可得旋转角∠BDB 度数.
16．【答案】110°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵∠A=70°，AC=BC，
∴∠BCA=40°，
根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，
∴∠α=180°﹣2×70°=40°．
∵∠CBC′=∠α=40°，
∴∠BCC′=70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
故答案为：110°．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BCA的度数，再根据旋转的性质，可证得AB=BA′，BC=BC′，求出∠BCC′，然后根据∠ACC′=∠ACB+∠BCC′，计算可得出答案。
17．【答案】；
【知识点】旋转的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴
∵等边△ABC的边长为1，则B1D=
在Rt△A1DB1中，A1D=
∴点A1（-，）
由图可知所有点A的纵纵坐标的绝对值为
点A2、A4、A6A2020在第二象限
∴点A2（-，），点A4（-，）、点A6（-，）点A2020（-，）
故答案为：（，）；（，）
【分析】过点A1作A1D⊥x轴，根据等边三角形的性质及勾股定理求出A1D，观察图形，就可得出所有点A的纵纵坐标的绝对值为，而点A2、A4、A6A2020在第二象限，再找出点A2、A4、A6A2020的横坐标的概率，即可得出结果。
18．【答案】解：如图，
C1的坐标 为（﹣4，1）， C2的坐标 为（1，4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】①根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，再写出C点的对称点C1的坐标。
②利用旋转的性质，作出以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，然后写出C点的对称点C2的坐。
19．【答案】解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】利用旋转的性质，连接BE，AD，分别作出线段BE、AD的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是旋转中心。
20．【答案】（1）解：它的旋转中心是表盘中心
（2）解：分针旋转一周，时针旋转30度，因为一圈为360度，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时为30度
（3）解：8点整，时针指向8，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；
8点半：时针与分针的夹角为：30°×8+0.5°×30-6°×30=75°
【知识点】钟面角、方位角；生活中的旋转现象
【解析】【分析】（1）观察钟面图可知：时针和分针都是绕着表盘的中心旋转的，故它的旋转中心是表盘中心；
（2）分针旋转一周即转动60分钟，刚好是一小时，由于钟面是一个圆周，一圈刚好是360 ，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时时针转动30度；
（3）8点整，时针指向8，分针指向12，中间刚好间隔四个大格，而钟面是12个大格，每一个对应的圆心角是30度，故8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；8点半，时针指向8与9的正中间，分针指向6，两针之间间隔两个整大格，又半大格，故两针之间的夹角是30°×2+0.5°×30=75 。
21．【答案】（1）解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，
∴△CBD是等腰三角形
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠DBC=180-30°=150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC= = =15°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出 △ABC≌△EBD， 根据全等三角形的对应边相等得出 BC=BD， 根据有两边相等的三角形是等腰三角形即可得出结论： △CBD是等腰三角形 ；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠EBD=∠ABC=30°， 根据平角的定义得出 ∠DBC 的度数，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和即可算出答案。
22．【答案】（1）平移
（2）A
（3）解：如图
【知识点】平移的性质；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）图①经过一次平移变换可以得到图②； （2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
【分析】（1）因为平移不会改变图形的方向和大小，图①与图②只是改变了图形的位置，方向大小都没有改变，故图①经过一次平移变换可以得到图②；
（2）旋转的性质，每对对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在每对对应点所连线段的中垂线上，旋转前后的图形大小形状都不会改变，但位置和方向会改变，根据性质即可得出图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
（3）利用网格纸的特点及旋转的性质，画出图①各个顶点绕点A顺时针旋转 90 得到的对应点再顺次连接即可得到所求的图形④。
23．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60.
（2）解：四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得出三角形为等边三角形，得出n的值。
（2）根据题意，可判断出四边形ACFD的四条边相等，判断四边形为菱形。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册3.2图形的旋转 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·汕头期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（ ）
A．23° B．30° C．33° D．39°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝78°，
∴∠ACB＝90°﹣78°＝12°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝12°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣12°＝33°．
故答案为：C
【分析】因为∠B=78°，可又三角形内角和定理得∠BCA=12°，再由旋转的性质可得∠AC B =∠ACB，AC=AC ，继而可得∠AC C=45°，再利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′即可求得。
2．（2018九上·天台月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，此时点D恰好在AB边上，则点B与点E之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 解： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=12，∴BC=
∵ 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△CDE，此时点D恰好在AB边上
∴AC=CD，CE=CB，∠ECB=∠DCA，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠ECB=∠DCA=60°，
∴三角形CBE是等边三角形，
∴BE=CB=.
故答案为：D。
【分析】首先根据三角形的内角和算出∠B的度数，然后根据含30°直角三角形的边之间的关系算出AB，进而根据勾股定理算出BC，根据旋转的性质得出AC=CD，CE=CB，∠ECB=∠DCA，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：三角形ACD是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出∠ECB=∠DCA=60°，进而再判断出三角形CBE是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可得出答案。
3．（2018九上·天台月考）如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( )
A．30° B．60° C．72° D．90°
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：依题可得：
旋转角为：360°÷5=72°，
故答案为：C.
【分析】根据图形可知旋转角是将一个周角平均分成5份，计算即可得出答案.
4．（2018九上·三门期中）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设HD=x，则HC=x+8
∵点P为CH的中点
∴HP=
∵△APH的边HP和边AP的高相等
∴HP=AP
AP=
∵DP=HP-HD=
在Rt△APD中，
AP2=DP2+AD2
∴（）2=（）2+62
解之：x=
∴HP=4+=
在Rt△ADH，
HA=
∴△APH的周长为：
故答案为：B
【分析】设HD=x，则HC=x+8，利用线段中点的定义，用含x的代数式表示出HP的长，利用面积法证明HP=AP，再用含x的代数式表示出DH，然后利用勾股定理，建立关于x的方程，求出x的长，就可得出HP的长，再利用勾股定理求出AH，就可求出△APH的周长。
5．（2018九上·宁波期中）若干个正方形按如图方式拼接，三角形M经过旋转变换能得到三角形N，下列四个点能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，旋转前后的对应点的连线段的垂直平分线交于一点，如图所示.
故答案为：C.
【分析】各对应点的垂直平分线的交点即为旋转中心.
6．（2018九上·宜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'(点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C')，连接CC'，若∠B =78°，则∠CC'B'的大小是（ ）
A．23° B．30° C．33° D．39°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得： ≌ ，点 在 上，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可知： ， ，△ACC'是等腰直角三角形，故 ，根据三角形外角的定理，由∠CC'B'=∠AB'C'－∠ACC'即可算出答案。
7．（2018九上·防城港期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=2，
故答案为：A
【分析】根据旋转的性质得出△CP1A≌△BPA，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，进而根据等式的性质即可得出∠PAP1=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△APP1是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可得出答案。
8．（2018八上·江阴期中）如图，将边长为 的正方形绕点 逆时针旋转 ，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】连接BM，
在△ABM和△C′BM中，
∴△ABM≌△C′BM，
∠2＝∠3＝ ＝30°，
在△ABM中，AM＝ ×tan30°＝1，
S△ABM＝ ×AM×AB＝ ，
正方形的面积为：( )2＝3，
阴影部分的面积为：3 2× ＝3 ，
故答案为：C．
【分析】连接BM，易证△ABM≌△C′BM，利用全等三角形的性质，就可求出∠2＝∠3=30°，再在△ABM中，利用解直角三角形求出AM的长，利用三角形的面积公式求出△ABM的面积及正方形的面积，然后求出阴影部分的面积即可。
9．（2018九上·宜昌期中）如图，矩形 的顶点 为坐标原点，点 在 轴上，点 的坐标为 ．如果将矩形 绕点 旋转 旋转后的图形为矩形 ，那么点 的坐标为（ ）
A．(2， 1) B．(-2， 1) C．(-2， -1) D．(2， -l)
【答案】C
【知识点】旋转的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点B的坐标是（2，1），∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知点B与点B1关于坐标原点对称，根据关于坐标原点的对称的点其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数即可得出答案。
10．（人教版九年级数学上册期中试卷（一））如图甲，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…如图乙，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1.1 D．1.4
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：B．
【分析】通过旋转的定义，找到M的轨迹，求出BM的范围。
二、填空题
11．（2019九上·龙湖期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】由△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合可得∠PAB=∠P AC，
∴∠PAP =∠PAC+P AC=∠PAC+∠PAB，
又 △ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=90°
∠PAP =90°
∴PP =
故答案为：。
【分析】由旋转的性质可知PA=P A，∠PAP =90°，即可得到PP =。
12．（2018九上·台州期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转得到△A′BC′，点A′恰好落在边AC上，连接CC′，则∠ACC′= ．
【答案】110°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=70°，
∴∠ACB=180° 2×70°=40°，
∵以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，
∴AB=A′B，BC=BC′，∠CBC′=α，
∴∠BA′A=∠A=70°，
∴α=40°，
∴∠CBC′=40°，
∴∠BCC′==70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=40°+70°=110°.
故答案为：110°
【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理，可求出∠ACB的度数，再根据旋转的性质，可证得AB=A′B，BC=BC′，∠CBC′=α，求出α=40°，利用三角形内角和定理求出∠BCC′，然后就可求出∠ACC′的度数。
13．（2019九上·高要期中）在图中，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为 ．
【答案】60°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的，
而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形，
∴它的旋转角为60°．
故答案为：60°．
【分析】根据旋转的性质，可得出旋转后的图形，写出旋转角。
14．（2018八上·江阴期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B' C′，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是 .
【答案】2+
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OA，AC′，如图，
∵点O是BC中点，
∴OC= BC=2，
在Rt△AOC中，OA= ，
∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，
∴OC′=OC=2，
∵AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），
∴AC′的最大值为2+ ，
即在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+ ．
故答案为2+ ．
【分析】连接OA，AC′，先求出OC的长，利用勾股定理求出OA，再根据旋转的性质可得出OC′=OC=2，利用三角形三边关系定理可得出AC′的最大值，即可得出答案。
15．（2018九上·义乌期中）如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，且BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度，若点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m= .
【答案】80或120
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：在线段AB上取一点B ，使BD=B D，在线段AC上取一点B ，使BD=B D，
①∵BD=B D，
∴∠DB B=∠B，
∴旋转角m=∠BDB =180°-∠DB B-∠B=180°-2∠B，
又∵∠B=50°，
∴旋转角m=180°-100°=80°，
②在Rt△B CD中，
∵BD=2CD，BD=B D，
∴B D=2CD，
∴∠CDB =60°，
∴旋转角m=∠BDB =180°-∠CDB =180°-60°=120°.
综上所述：m为80或120.
故答案为：80或120.
【分析】本题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，以D点为圆心，BD为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB于点B ，交直角边AC于B ，此时BD=B D，BD=B D，由等腰三角形的性质和三角形内角和求旋转角∠BDB ；在Rt△B CD中，解直角三角形求∠CDB 可得旋转角∠BDB 度数.
16．（2018九上·武昌期中）如图，在 中， ， ，以点 为旋转中心把 按顺时针旋转 度，得到 ，点 '恰好落在 上，连接CC′，则∠ACC'= ．
【答案】110°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵∠A=70°，AC=BC，
∴∠BCA=40°，
根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，
∴∠α=180°﹣2×70°=40°．
∵∠CBC′=∠α=40°，
∴∠BCC′=70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
故答案为：110°．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BCA的度数，再根据旋转的性质，可证得AB=BA′，BC=BC′，求出∠BCC′，然后根据∠ACC′=∠ACB+∠BCC′，计算可得出答案。
17．（2018九上·三门期中）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 ，点A2020的坐标是 ．
【答案】；
【知识点】旋转的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴
∵等边△ABC的边长为1，则B1D=
在Rt△A1DB1中，A1D=
∴点A1（-，）
由图可知所有点A的纵纵坐标的绝对值为
点A2、A4、A6A2020在第二象限
∴点A2（-，），点A4（-，）、点A6（-，）点A2020（-，）
故答案为：（，）；（，）
【分析】过点A1作A1D⊥x轴，根据等边三角形的性质及勾股定理求出A1D，观察图形，就可得出所有点A的纵纵坐标的绝对值为，而点A2、A4、A6A2020在第二象限，再找出点A2、A4、A6A2020的横坐标的概率，即可得出结果。
三、解答题
18．（2018九上·三门期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①已知△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出C点的对称点C1的坐标；
② 以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出C点的对称点C2的坐标．
【答案】解：如图，
C1的坐标 为（﹣4，1）， C2的坐标 为（1，4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】①根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，再写出C点的对称点C1的坐标。
②利用旋转的性质，作出以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，然后写出C点的对称点C2的坐。
19．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.2.1中心对称 同步练习）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．
【答案】解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】利用旋转的性质，连接BE，AD，分别作出线段BE、AD的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是旋转中心。
20．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（1） 同步练习）如图，钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，那么：
（1）它的旋转中心是什么？
（2）分针旋转一周，时针旋转多少度？
（3）上午8点整，时针和分针的夹角是多少？8点半呢？
【答案】（1）解：它的旋转中心是表盘中心
（2）解：分针旋转一周，时针旋转30度，因为一圈为360度，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时为30度
（3）解：8点整，时针指向8，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；
8点半：时针与分针的夹角为：30°×8+0.5°×30-6°×30=75°
【知识点】钟面角、方位角；生活中的旋转现象
【解析】【分析】（1）观察钟面图可知：时针和分针都是绕着表盘的中心旋转的，故它的旋转中心是表盘中心；
（2）分针旋转一周即转动60分钟，刚好是一小时，由于钟面是一个圆周，一圈刚好是360 ，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时时针转动30度；
（3）8点整，时针指向8，分针指向12，中间刚好间隔四个大格，而钟面是12个大格，每一个对应的圆心角是30度，故8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；8点半，时针指向8与9的正中间，分针指向6，两针之间间隔两个整大格，又半大格，故两针之间的夹角是30°×2+0.5°×30=75 。
21．（2018九上·防城港期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD．
（1）试判断△CBD的形状，并说明理由；
（2）求∠BDC的度数．
【答案】（1）解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，
∴△CBD是等腰三角形
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠DBC=180-30°=150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC= = =15°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出 △ABC≌△EBD， 根据全等三角形的对应边相等得出 BC=BD， 根据有两边相等的三角形是等腰三角形即可得出结论： △CBD是等腰三角形 ；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠EBD=∠ABC=30°， 根据平角的定义得出 ∠DBC 的度数，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和即可算出答案。
22．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（3） 同步练习 ）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或 “B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④.
【答案】（1）平移
（2）A
（3）解：如图
【知识点】平移的性质；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）图①经过一次平移变换可以得到图②； （2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
【分析】（1）因为平移不会改变图形的方向和大小，图①与图②只是改变了图形的位置，方向大小都没有改变，故图①经过一次平移变换可以得到图②；
（2）旋转的性质，每对对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在每对对应点所连线段的中垂线上，旋转前后的图形大小形状都不会改变，但位置和方向会改变，根据性质即可得出图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
（3）利用网格纸的特点及旋转的性质，画出图①各个顶点绕点A顺时针旋转 90 得到的对应点再顺次连接即可得到所求的图形④。
23．（2019九上·宁河期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60.
（2）解：四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得出三角形为等边三角形，得出n的值。
（2）根据题意，可判断出四边形ACFD的四条边相等，判断四边形为菱形。
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