人教新课标A版 选修2-3 2.2二项分布及其应用

人教新课标A版 选修2-3 2.2二项分布及其应用
一、单选题
1．（2020高二下·通辽期末）已知随机变量 服从二项分布 ，则 （　　）．
A． B． C． D．
2．（2020高二下·宿迁期末）夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·启东期末）已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高二下·东莞期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率 （　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·呼和浩特期末）某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为 ，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020·大连模拟）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知 ，则
A． B． C． D．
8．（2020高二下·哈尔滨期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2020高二下·吉林月考）设 ，其中 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
11．（2019高二下·吉林期中）某电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020高二下·项城期末）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
二、填空题
13．（2019高二上·上饶月考）设随机变量 ，则 　 　.
14．（2018高二下·集宁期末）设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为 ，则事件A恰好发生一次的概率为　 　.
15．（2020·济南模拟）5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5．则该公司攻克这项技术难题的概率为　 　．
16．（2019高三上·上海月考）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是　 　.
三、解答题
17．（2019高二下·泗县月考）袋子 和 中均装有若干个大小相同的红球和白球，从 中摸出一个红球的概率是 ，从 中摸出一个红球的概率为 .
（1）从 中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止，求恰好摸5次停止的概率.
（2）若 、 两个袋子中的球数之比为 ，将 、 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ，求 的值.
18．（2018高二上·孝昌期中）现有A和B两个盒子装有大小相同的黄乒乓球和白乒乓球，A盒装有2个黄乒乓球，2个白乒乓球；B盒装有2个黄乒乓球， 个白乒乓球. 现从A、B两盒中各任取2个乒乓球.
（1）若 ，求取到的4个乒乓球全是白的概率；
（2）若取到的4个乒乓球中恰有2个黄的概率为 , 求 的值.
19．（2020·山西模拟）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数 3 2 1 0
实际付款 7折 8折 9折 原价
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
20．（2020·南昌模拟）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
21．（2018高二下·衡阳期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
22．（2020·长沙模拟）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5
包裹件数 43 30 15 8 4
公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值。
2．【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】根据题意： .
故答案为：A.
【分析】根据题意得到 ，计算得到答案.
3．【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 .
故答案为：D
【分析】用 减去没有白球的概率，求得所求概率.
4．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】根据题意，由于一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，当取出12次球就停止了，说民最后一次取出的为红球，前11次有9次红球，则利用可放回的抽样可知，每次试验中抽到红球的概率为，取到白球的概率为，则可知=，故答案为B。
【分析】主要是考查了二项分布的概率的计算，属于基础题。
5．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
故答案为：B.
【分析】先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对4个题或者5个题才能够被选上，答对4个题的概率为 ，答对5个题的概率为 ，故该生被选中的概率是 .
故答案为：C.
【分析】学生被选上，分数为40分或者50分，也即要答对4个题或者5个题，根据二项分布概率计算公式，得出正确选项.
7．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由题意知， ，
，解得 ，
，
．
故答案为：B．
【分析】由题意知， ，由 ，知 ，由此能求出 ．
8．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意
事件 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有 个事件
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义 ，分别计算 即得解.
9．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据二项分布概率公式化简 求得 ，再根据二项分布概率公式求结果.
10．【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
11．【答案】C
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，
故其概率是 ，
故答案为：C.
【分析】准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键， 表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.
12．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
或
，
,可知
故答案为：B.
【分析】判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
13．【答案】
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】因为随机变量 ,
所以 .
故答案为: .
【分析】根据二项分布的概率公式可得:
14．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，
设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），
则有1﹣（1﹣p）3= ，得p= ，
则事件A恰好发生一次的概率为 .
故答案为： ．
【分析】根据在三次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率，求出事件A在每次试验中的成功概率，即可求出事件A恰好发生一次的概率.
15．【答案】0.8
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】根据题意： .
故答案为：0.8.
【分析】计算不能攻克的概率，得到答案.
16．【答案】
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】每一“爻组”为“阳爻”的概率为 ， 次独立重复试验，“阳爻”恰出现 次的概率为 .
故答案为： .
【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.
17．【答案】（1）解：设“恰好摸5次停止”为事件 ，
由题意得恰好摸5次停止即第5次摸到红球，前4次中有2次摸到红球，
所以恰好摸5次停止的概率为 ，
即恰好摸5次停止的概率为 ．
（2）解：设袋子A中有 个球，则袋子B中有 个球，则袋子A中有 个红球，则袋子B中有 个红球，
由题意得 ，解得 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)根据实际问题的已知条件结合二项分布求概率公式求出恰好摸5次停止的概率.
（2）根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式求出 的值.
18．【答案】（1） 设“取到的4个乒乓球全是白球”为事件A,
则 .
（2） 设“取到的4个乒乓球中恰有2个黄的”为事件B, .
则 ，
化简得：
解得 或 （舍去），所以 .
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件用组合数的方法结合求概率公式，求出当时 ，取到的4个乒乓球全是白的概率。
（2）利用已知条件用组合数的方法结合求分类计数原理求概率公式，求出事件B（即取到的4个乒乓球中恰有2个黄色）的概率，再利用事件B的概率与n的关系式，从而求出n的值。
19．【答案】（1）解：该顾客获得7折优惠的概率 ，
该顾客获得8折优惠的概率 ，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率
（2）解：若选择方案一，则付款金额为 .
若选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为126，144，162，180.
，
，
则 .
因为 ，所以选择方案二更为划算
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）计算顾客获得7折优惠的概率 ，获得8折优惠的概率 ，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
20．【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p ．
（2）解：当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P ．
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
21．【答案】（1）解：最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300
则
（2）解：当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出
所以利润 （元）
当最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶
所以利润 （元）
当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶
所以利润 （元）
当利润 时，最高气温不低于20，
所以 或者
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）需求量不超过300相当于气温低于25，根据表格可以直接看出概率。
（2）首先求出各区间的利润，根据各区间Y的可能值直接求出Y大于零的概率。
22．【答案】（1）解：样本包裹件数在 之间的天数为 ，频率 ，
故可估计概率为 ，
显然未来 天中，包裹件数在 之间的天数 服从二项分布，
即 ，故所求概率为 .
（2）解：（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位： ）
快递费（单位：元）
包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元.
（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数 （近似处理）
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数 （近似处理）
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数 （近似处理）
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）.
因 ，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）先计算出包裹件数在 之间的天数为 ，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(2)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 2.2二项分布及其应用
一、单选题
1．（2020高二下·通辽期末）已知随机变量 服从二项分布 ，则 （　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值。
2．（2020高二下·宿迁期末）夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】根据题意： .
故答案为：A.
【分析】根据题意得到 ，计算得到答案.
3．（2020高一下·启东期末）已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 .
故答案为：D
【分析】用 减去没有白球的概率，求得所求概率.
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】根据题意，由于一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，当取出12次球就停止了，说民最后一次取出的为红球，前11次有9次红球，则利用可放回的抽样可知，每次试验中抽到红球的概率为，取到白球的概率为，则可知=，故答案为B。
【分析】主要是考查了二项分布的概率的计算，属于基础题。
5．（2020高二下·东莞期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
故答案为：B.
【分析】先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.
6．（2020高二下·呼和浩特期末）某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为 ，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对4个题或者5个题才能够被选上，答对4个题的概率为 ，答对5个题的概率为 ，故该生被选中的概率是 .
故答案为：C.
【分析】学生被选上，分数为40分或者50分，也即要答对4个题或者5个题，根据二项分布概率计算公式，得出正确选项.
7．（2020·大连模拟）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由题意知， ，
，解得 ，
，
．
故答案为：B．
【分析】由题意知， ，由 ，知 ，由此能求出 ．
8．（2020高二下·哈尔滨期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意
事件 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有 个事件
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义 ，分别计算 即得解.
9．（2020高二下·吉林月考）设 ，其中 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据二项分布概率公式化简 求得 ，再根据二项分布概率公式求结果.
10．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
11．（2019高二下·吉林期中）某电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，
故其概率是 ，
故答案为：C.
【分析】准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键， 表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.
12．（2020高二下·项城期末）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
或
，
,可知
故答案为：B.
【分析】判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
二、填空题
13．（2019高二上·上饶月考）设随机变量 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】因为随机变量 ,
所以 .
故答案为: .
【分析】根据二项分布的概率公式可得:
14．（2018高二下·集宁期末）设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为 ，则事件A恰好发生一次的概率为　 　.
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，
设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），
则有1﹣（1﹣p）3= ，得p= ，
则事件A恰好发生一次的概率为 .
故答案为： ．
【分析】根据在三次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率，求出事件A在每次试验中的成功概率，即可求出事件A恰好发生一次的概率.
15．（2020·济南模拟）5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5．则该公司攻克这项技术难题的概率为　 　．
【答案】0.8
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】根据题意： .
故答案为：0.8.
【分析】计算不能攻克的概率，得到答案.
16．（2019高三上·上海月考）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是　 　.
【答案】
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【解答】每一“爻组”为“阳爻”的概率为 ， 次独立重复试验，“阳爻”恰出现 次的概率为 .
故答案为： .
【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.
三、解答题
17．（2019高二下·泗县月考）袋子 和 中均装有若干个大小相同的红球和白球，从 中摸出一个红球的概率是 ，从 中摸出一个红球的概率为 .
（1）从 中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止，求恰好摸5次停止的概率.
（2）若 、 两个袋子中的球数之比为 ，将 、 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ，求 的值.
【答案】（1）解：设“恰好摸5次停止”为事件 ，
由题意得恰好摸5次停止即第5次摸到红球，前4次中有2次摸到红球，
所以恰好摸5次停止的概率为 ，
即恰好摸5次停止的概率为 ．
（2）解：设袋子A中有 个球，则袋子B中有 个球，则袋子A中有 个红球，则袋子B中有 个红球，
由题意得 ，解得 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)根据实际问题的已知条件结合二项分布求概率公式求出恰好摸5次停止的概率.
（2）根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式求出 的值.
18．（2018高二上·孝昌期中）现有A和B两个盒子装有大小相同的黄乒乓球和白乒乓球，A盒装有2个黄乒乓球，2个白乒乓球；B盒装有2个黄乒乓球， 个白乒乓球. 现从A、B两盒中各任取2个乒乓球.
（1）若 ，求取到的4个乒乓球全是白的概率；
（2）若取到的4个乒乓球中恰有2个黄的概率为 , 求 的值.
【答案】（1） 设“取到的4个乒乓球全是白球”为事件A,
则 .
（2） 设“取到的4个乒乓球中恰有2个黄的”为事件B, .
则 ，
化简得：
解得 或 （舍去），所以 .
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件用组合数的方法结合求概率公式，求出当时 ，取到的4个乒乓球全是白的概率。
（2）利用已知条件用组合数的方法结合求分类计数原理求概率公式，求出事件B（即取到的4个乒乓球中恰有2个黄色）的概率，再利用事件B的概率与n的关系式，从而求出n的值。
19．（2020·山西模拟）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数 3 2 1 0
实际付款 7折 8折 9折 原价
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
【答案】（1）解：该顾客获得7折优惠的概率 ，
该顾客获得8折优惠的概率 ，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率
（2）解：若选择方案一，则付款金额为 .
若选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为126，144，162，180.
，
，
则 .
因为 ，所以选择方案二更为划算
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）计算顾客获得7折优惠的概率 ，获得8折优惠的概率 ，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
20．（2020·南昌模拟）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p ．
（2）解：当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P ．
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
21．（2018高二下·衡阳期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300
则
（2）解：当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出
所以利润 （元）
当最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶
所以利润 （元）
当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶
所以利润 （元）
当利润 时，最高气温不低于20，
所以 或者
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）需求量不超过300相当于气温低于25，根据表格可以直接看出概率。
（2）首先求出各区间的利润，根据各区间Y的可能值直接求出Y大于零的概率。
22．（2020·长沙模拟）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5
包裹件数 43 30 15 8 4
公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
【答案】（1）解：样本包裹件数在 之间的天数为 ，频率 ，
故可估计概率为 ，
显然未来 天中，包裹件数在 之间的天数 服从二项分布，
即 ，故所求概率为 .
（2）解：（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位： ）
快递费（单位：元）
包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元.
（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数 （近似处理）
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数 （近似处理）
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数 （近似处理）
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）.
因 ，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）先计算出包裹件数在 之间的天数为 ，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(2)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较
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