人教A版（2019）数学必修第一册3.1函数的概念及其表示
一、单选题
1．（2019高一上·辽源月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019高一上·凌源月考）下表表示 是 的函数，则函数的值域是（ ）
x 0y 2 3 4 5
A．[2,5] B．{2,3,4,5} C．(0,20] D．N
3．（2019高一上·凌源月考）已知函数 与函数 是同一个函数，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·苍南月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一上·新丰期中）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·丰台期中）已知下列四组函数：
① ； ② ， ；
③ ， ； ④ ， ．
其中是同一个函数的组号是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
7．（2019高一上·安平月考）定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为（ ）
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a] C．[a，b] D．[－a，a＋b]
8．（2019高一上·邵东期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 有最大值2，最小值
9．（2019高一上·琼海期中）若 表示不超过 的最大整数,例如 ,那么函数 的值域是（ ）
A．[0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．(0,1]
10．（2019高一上·都匀期中）若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2019高一上·镇原期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高一上·湖北期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019高一上·鹤壁期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
14．（2019高一上·南充期中）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
15．下列四个函数：①y=3﹣x；②y= ；③y=x2+2x﹣10；④y= ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [，-4]，则m的取值范围是（ ）
A．（0，4] B．[，-4] C．[,3] D．[，+∞]
二、填空题
17．（2019高一上·新丰期中）函数 的定义域是 ．
18．（2017高一上·吉林月考）已知 的定义域是 ，则 的定义域是 .
19．（2019高一上·集宁月考）若 ,则 的值域是 .(请用区间表示)
20．（2019高三上·上海期中）若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为 .
21．（2018高一上·扬州月考）已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = ．
22．函数y=2x﹣3﹣ 的值域是 ．
23．（2018高一上·海安月考）已知函数 在区间 上的最大值等于8，则函数 的值域为 ．
24．（2018高一上·唐山月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 与函数 为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 ．(填序号)
① ；② ；③ ；④ .
三、解答题
25．（2017高一上·定远期中）如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）．
（1）求f[f（0）]的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
26．（2019高一上·凌源月考）已知 .
（1）求： .
（2）写出函数 与 的定义域和值域.
27．（2016高一上·西城期末）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由已知得 ，解得 或 ，
故答案为：D。
【分析】根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于 的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域．
2．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题中列表表示的函数可知函数的值域为 .
故答案为：B.
【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可.
3．【答案】A
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 有 ,即 .又 与函数
是同一个函数,故函数 的定义域也为
故答案为：A
【分析】根据根号内要大于等于0列出相应不等式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令t=x-2,则x=t+2,
∴f（x）＝ ．
故答案为：B．
【分析】利用换元法求解析式即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】∵函数 的定义域为 ，
∴ ，解得： ，
即函数 的定义域为 ，
故答案为：C
【分析】由已知函数的定义域，可得﹣1≤2x﹣1≤3，求解不等式得答案
6．【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于①，函数f（x）＝x+1（x∈R），与g（x） 1＝x+1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；
对于②，函数f（x）＝x（x∈R），与 |x|（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数；
对于③，函数f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；
对于④，函数 |x|（x∈R），与g（x）＝|x|（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．
综上知，是同一函数的一组序号为④．
故答案为：D．
【分析】分别判断每组中两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．
7．【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令 ，∵ ，则 ，∴函数 与 是同一个函数；
∴ 的值域为
故答案为：C.
【分析】先令 ，得到函数 与 是同一个函数，利用函数y＝f(x)的值域为[a，b]，即可求出函数y＝f(x＋a)的值域.
8．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 ,故 是以 为对称中心,在对称点左下和右上单调递减的分式函数.故 在 上单调递减,所以 有最大值 ，无最小值.即 有最大值 ，无最小值.
故答案为： A.
【分析】 是分式类函数,故考虑分离常数进行分析.
9．【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】当 是整数时,显然 ；
当 是正小数时,显然 是 的小数部分,故 ；
当 是负小数时,显然 表示的是1与 小数部分的差, 故 ,因此函数 的值域是[0,1).
故答案为：C
【分析】根据题目中所给的定义可以分类讨论得出正确答案.
10．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为函数 满足 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得： ，
故答案为：A.
【分析】由函数 满足 ，再分别令 ， ，列方程组求解即可.
11．【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 ，设
变换得到函数 在 单调递增.
故 ，即
故答案为：
【分析】换元 ，变换得到 ，根据函数的单调性得到函数值域.
12．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题得 ，解之得 且 .
故答案为：B
【分析】解不等式 即得函数的定义域.
13．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】函数 在 为单调递减函数，
当 时 ，无最大值，
所以值域为 ，
故答案为：A．
【分析】首先确定函数 在 上单调递减，然后可以计算最小值，从而求出值域.
14．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设 ，则 ，所以 ，即 ．
故答案为：C．
【分析】令 ，解出 ，代入 ，化简即可得出答案.
15．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：①y=3﹣x的定义域和值域均为R；②y= ；定义域为{x∈R|x≠0}，∴值域{y∈R|y≠0}，定义域与值域相同；③y=x2+2x﹣10的定义域为R，值域为{y|y≥﹣11}，定义域与值域不相同；④y= 的定义域和值域均为R．
定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选C．
【分析】根据定义域的求法和值域的求法依次求解即可．
16．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+ ﹣ =（x﹣ ）2﹣
定义域为〔0，m〕
那么在x=0时函数值最大
即y最大=（0﹣ ）2﹣ = ﹣ =﹣4
又值域为〔﹣ ，﹣4〕
即当x=m时，函数最小且y最小=﹣
即﹣ ≤（m﹣ ）2﹣ ≤﹣4
0≤（m﹣ ）2≤
即m≥ （1）
即（m﹣ ）2≤
m﹣ ≥﹣3 且m﹣ ≤
0≤m≤3 （2）
所以： ≤m≤3
故选：C．
【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．
17．【答案】 或
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，解得x≥2，或x≤ ．
∴函数的定义域为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解.
18．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数 的定义域满足 ，据此可得： ，
则函数 的定义域为： ，
求解不等式 可得 的定义域是 .
【分析】复合函数定义域求法，抓住最外面函数定义域不变的特性，即可得出答案。
19．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 2 ，
故f（x） ，
故答案为 .
【分析】利用分离参数法即可求解．
20．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 在 上恒成立．
①当 时，则 恒成立，
∴ 符合题意；
②当 时，
则 ，解得 ．
综上可得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
答案：
【分析】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ．
21．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设二次函数
已知二次函数 满足
即：
可得： ，解得
则
【分析】待定系数法求解析式，列方程组求出a，b，c的值，得出答案。
22．【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意：设t= （t≥0），则 ．
那么y=2x﹣3﹣ 转化为：y=
整理：y= （t≥0），
由二次函数图象及性质可知：函数y= 图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）；
∵t≥0，
∴当t=0 时，函数y= 取得最大值，即 ；
所以函数y=2x﹣3﹣ 的值域为（﹣∞， ]．
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．
23．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】二次函数的对称轴为 ，故 ，所以 且 ，对称轴为 ，故所求值域为 ，填 ．
【分析】首先求出函数的对称轴，根据对称轴的位置判断出函数取最大值时的自变量值求出a，进而求出函数在区间[ 2，1]上的值域。
24．【答案】①②④
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：①y= ，x∈（1，2）与y= ，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
②y=|x|，x∈（1，2）与y=|x|，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
③∵y= 在定义域内的任意一个x值都有唯一一个y值与之对应，
故不可构造同族函数；
④y=x2+1，x∈（1，2）与y=x2+1，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
故答案为：①②④．
【分析】理解同族函数的定义，分别判断各组函数的定义域值域。
25．【答案】（1）解：f（0）=4，f（4）=2
即f[f（0）]=2.
（2）解：当0≤x≤2时，设f（x）=kx+b，
代入（0，4）（2，0）
即 解得 ，
即f（x）=﹣2x+4
当2≤x≤6时，代入（2，0）（6，4），得 ，
∴，
f（x）=x﹣2
综上，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据所给的函数图象求得f[f（0）]的值；（2）根据函数图象可知函数是线段AB与线段BC组成的分段函数.
26．【答案】（1）解：由 ,
可得 , ,
（2）解：函数 为一次函数,故其定义域为 ,值域为 ,由 , ,
可得函数 的定义域为 ,值域为 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)分别代入 到对应的函数中化简即可.(2) 为一次函数, 先分析分母 即可求得定义域与值域.
27．【答案】（1）解：函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），
可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，
则f（x）=x2+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数
（2）解：假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，
且f（x）为函数 的一个承托函数．
即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，
即1﹣b=a+c，
又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，
即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；
又（a﹣ ）x2+bx+c﹣ ≤0恒成立，
可得a＜ ，且b2﹣4（a﹣ ）（c﹣ ）≤0，
即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣ ）2≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1﹣2a，
可取a=c= ，b= ．满足题意
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．
1 / 1人教A版（2019）数学必修第一册3.1函数的概念及其表示
一、单选题
1．（2019高一上·辽源月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由已知得 ，解得 或 ，
故答案为：D。
【分析】根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于 的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域．
2．（2019高一上·凌源月考）下表表示 是 的函数，则函数的值域是（ ）
x 0y 2 3 4 5
A．[2,5] B．{2,3,4,5} C．(0,20] D．N
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题中列表表示的函数可知函数的值域为 .
故答案为：B.
【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可.
3．（2019高一上·凌源月考）已知函数 与函数 是同一个函数，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 有 ,即 .又 与函数
是同一个函数,故函数 的定义域也为
故答案为：A
【分析】根据根号内要大于等于0列出相应不等式求解即可.
4．（2019高一上·苍南月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令t=x-2,则x=t+2,
∴f（x）＝ ．
故答案为：B．
【分析】利用换元法求解析式即可.
5．（2019高一上·新丰期中）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】∵函数 的定义域为 ，
∴ ，解得： ，
即函数 的定义域为 ，
故答案为：C
【分析】由已知函数的定义域，可得﹣1≤2x﹣1≤3，求解不等式得答案
6．（2019高一上·丰台期中）已知下列四组函数：
① ； ② ， ；
③ ， ； ④ ， ．
其中是同一个函数的组号是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于①，函数f（x）＝x+1（x∈R），与g（x） 1＝x+1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；
对于②，函数f（x）＝x（x∈R），与 |x|（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数；
对于③，函数f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；
对于④，函数 |x|（x∈R），与g（x）＝|x|（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．
综上知，是同一函数的一组序号为④．
故答案为：D．
【分析】分别判断每组中两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．
7．（2019高一上·安平月考）定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为（ ）
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a] C．[a，b] D．[－a，a＋b]
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令 ，∵ ，则 ，∴函数 与 是同一个函数；
∴ 的值域为
故答案为：C.
【分析】先令 ，得到函数 与 是同一个函数，利用函数y＝f(x)的值域为[a，b]，即可求出函数y＝f(x＋a)的值域.
8．（2019高一上·邵东期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 有最大值2，最小值
【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 ,故 是以 为对称中心,在对称点左下和右上单调递减的分式函数.故 在 上单调递减,所以 有最大值 ，无最小值.即 有最大值 ，无最小值.
故答案为： A.
【分析】 是分式类函数,故考虑分离常数进行分析.
9．（2019高一上·琼海期中）若 表示不超过 的最大整数,例如 ,那么函数 的值域是（ ）
A．[0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．(0,1]
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】当 是整数时,显然 ；
当 是正小数时,显然 是 的小数部分,故 ；
当 是负小数时,显然 表示的是1与 小数部分的差, 故 ,因此函数 的值域是[0,1).
故答案为：C
【分析】根据题目中所给的定义可以分类讨论得出正确答案.
10．（2019高一上·都匀期中）若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为函数 满足 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得： ，
故答案为：A.
【分析】由函数 满足 ，再分别令 ， ，列方程组求解即可.
11．（2019高一上·镇原期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 ，设
变换得到函数 在 单调递增.
故 ，即
故答案为：
【分析】换元 ，变换得到 ，根据函数的单调性得到函数值域.
12．（2019高一上·湖北期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题得 ，解之得 且 .
故答案为：B
【分析】解不等式 即得函数的定义域.
13．（2019高一上·鹤壁期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】函数 在 为单调递减函数，
当 时 ，无最大值，
所以值域为 ，
故答案为：A．
【分析】首先确定函数 在 上单调递减，然后可以计算最小值，从而求出值域.
14．（2019高一上·南充期中）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设 ，则 ，所以 ，即 ．
故答案为：C．
【分析】令 ，解出 ，代入 ，化简即可得出答案.
15．下列四个函数：①y=3﹣x；②y= ；③y=x2+2x﹣10；④y= ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：①y=3﹣x的定义域和值域均为R；②y= ；定义域为{x∈R|x≠0}，∴值域{y∈R|y≠0}，定义域与值域相同；③y=x2+2x﹣10的定义域为R，值域为{y|y≥﹣11}，定义域与值域不相同；④y= 的定义域和值域均为R．
定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选C．
【分析】根据定义域的求法和值域的求法依次求解即可．
16．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [，-4]，则m的取值范围是（ ）
A．（0，4] B．[，-4] C．[,3] D．[，+∞]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+ ﹣ =（x﹣ ）2﹣
定义域为〔0，m〕
那么在x=0时函数值最大
即y最大=（0﹣ ）2﹣ = ﹣ =﹣4
又值域为〔﹣ ，﹣4〕
即当x=m时，函数最小且y最小=﹣
即﹣ ≤（m﹣ ）2﹣ ≤﹣4
0≤（m﹣ ）2≤
即m≥ （1）
即（m﹣ ）2≤
m﹣ ≥﹣3 且m﹣ ≤
0≤m≤3 （2）
所以： ≤m≤3
故选：C．
【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．
二、填空题
17．（2019高一上·新丰期中）函数 的定义域是 ．
【答案】 或
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，解得x≥2，或x≤ ．
∴函数的定义域为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解.
18．（2017高一上·吉林月考）已知 的定义域是 ，则 的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数 的定义域满足 ，据此可得： ，
则函数 的定义域为： ，
求解不等式 可得 的定义域是 .
【分析】复合函数定义域求法，抓住最外面函数定义域不变的特性，即可得出答案。
19．（2019高一上·集宁月考）若 ,则 的值域是 .(请用区间表示)
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 2 ，
故f（x） ，
故答案为 .
【分析】利用分离参数法即可求解．
20．（2019高三上·上海期中）若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 在 上恒成立．
①当 时，则 恒成立，
∴ 符合题意；
②当 时，
则 ，解得 ．
综上可得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
答案：
【分析】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ．
21．（2018高一上·扬州月考）已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设二次函数
已知二次函数 满足
即：
可得： ，解得
则
【分析】待定系数法求解析式，列方程组求出a，b，c的值，得出答案。
22．函数y=2x﹣3﹣ 的值域是 ．
【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意：设t= （t≥0），则 ．
那么y=2x﹣3﹣ 转化为：y=
整理：y= （t≥0），
由二次函数图象及性质可知：函数y= 图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）；
∵t≥0，
∴当t=0 时，函数y= 取得最大值，即 ；
所以函数y=2x﹣3﹣ 的值域为（﹣∞， ]．
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．
23．（2018高一上·海安月考）已知函数 在区间 上的最大值等于8，则函数 的值域为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】二次函数的对称轴为 ，故 ，所以 且 ，对称轴为 ，故所求值域为 ，填 ．
【分析】首先求出函数的对称轴，根据对称轴的位置判断出函数取最大值时的自变量值求出a，进而求出函数在区间[ 2，1]上的值域。
24．（2018高一上·唐山月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 与函数 为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 ．(填序号)
① ；② ；③ ；④ .
【答案】①②④
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：①y= ，x∈（1，2）与y= ，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
②y=|x|，x∈（1，2）与y=|x|，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
③∵y= 在定义域内的任意一个x值都有唯一一个y值与之对应，
故不可构造同族函数；
④y=x2+1，x∈（1，2）与y=x2+1，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；
故答案为：①②④．
【分析】理解同族函数的定义，分别判断各组函数的定义域值域。
三、解答题
25．（2017高一上·定远期中）如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）．
（1）求f[f（0）]的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
【答案】（1）解：f（0）=4，f（4）=2
即f[f（0）]=2.
（2）解：当0≤x≤2时，设f（x）=kx+b，
代入（0，4）（2，0）
即 解得 ，
即f（x）=﹣2x+4
当2≤x≤6时，代入（2，0）（6，4），得 ，
∴，
f（x）=x﹣2
综上，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据所给的函数图象求得f[f（0）]的值；（2）根据函数图象可知函数是线段AB与线段BC组成的分段函数.
26．（2019高一上·凌源月考）已知 .
（1）求： .
（2）写出函数 与 的定义域和值域.
【答案】（1）解：由 ,
可得 , ,
（2）解：函数 为一次函数,故其定义域为 ,值域为 ,由 , ,
可得函数 的定义域为 ,值域为 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)分别代入 到对应的函数中化简即可.(2) 为一次函数, 先分析分母 即可求得定义域与值域.
27．（2016高一上·西城期末）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），
可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，
则f（x）=x2+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数
（2）解：假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，
且f（x）为函数 的一个承托函数．
即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，
即1﹣b=a+c，
又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，
即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；
又（a﹣ ）x2+bx+c﹣ ≤0恒成立，
可得a＜ ，且b2﹣4（a﹣ ）（c﹣ ）≤0，
即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣ ）2≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1﹣2a，
可取a=c= ，b= ．满足题意
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．
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