人教新课标A版 必修四 1.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．（2020高一下·黄浦期末）下列函数中，周期是 的偶函数为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2020高一下·内蒙古期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高一下·抚顺期末）函数y＝tan 的定域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·辽宁模拟）函数 图象的对称中心坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高一下·故城期中）关于函数 在以下说法中正确的是（ ）
A． 上是增函数 B． 上是减函数
C． 上是减函数 D． 上是减函数
6．（2020高一下·海淀期中）不等式 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020高一下·普宁月考）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·武汉期末）函数 ， 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019高一上·重庆月考） 的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高三上·建平期中）若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
11．（2019高三上·双流期中）已知 在 上有最小值，则实数t的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2020高一下·上海期末）函数 的最小值为 .
13．（2020高一下·内蒙古月考）关于下列命题：
①若 是第一象限角，且 ，则 ；
②函数 是偶函数；
③函数 的一个对称中心是 ；
④函数 在 上是增函数，
所有正确命题的序号是 ．
14．（2020高一下·大同月考）函数 ， 的值域 ．
15．（2020高一下·林州月考）函数 的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为 ．
三、解答题
16．（2019高一上·长沙月考）已知
（1）若 时， 的最大值为 ，求 的值；
（2）求函数 的单调递增区间.
17．（2017高一上·江苏月考）已知函数
（1）求出函数的最大值及取得最大值时的 的值；
（2）求出函数在 上的单调区间；
（3）当 时，求函数 的值域。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】A选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为偶函数，周期为 ；
B选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为奇函数，周期为 ；
C选项，函数 的定义与为R，且 ，所以函数 为偶函数，周期为 ；
D选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为偶函数，不具有周期性.
故答案为：C
【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由 得： .
所以函数 的定义域是 .
故答案为：C.
【分析】根据函数的定义域得到： ，求解不等式即可得出定义域.
3．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，
， ，
， ，
函数的定义域是 ，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得， ， ，求出x的取值范围．
4．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，则 ，
所以函数 图象的对称中心坐标为 .
故答案为：D.
【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得 ，即可得解.
5．【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】 ，它在 上是减函数．
故答案为：B．
【分析】用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．
6．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】
当 时，
，
且 单调递增，
所以 ，
因为 的周期为 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：A.
【分析】先得到 内满足不等式的x的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.
7．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， ，且 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式、同角三角函数基本关系式，再利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，结合中间量比较法，从而推出a，b，c三者的大小关系。
8．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意，令 ，解得 ，
取 ，得 ，
则函数 在 的单调递减区间是 .
故答案为：A.
【分析】令 ，可求得函数的单调递减区间，进而取 可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意， =kπ+ ，
∴x=2kπ+ ，（k∈Z），
∴ 的一条对称轴是x= ，
故答案为：C．
【分析】利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象，从而求出三角型函数 的一条对称轴。
10．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】 函数 是偶函数，
，即 ，
或 ， ，
当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性；
当 时， ， ，
当 时， .
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案．
11．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 有最小值，结合 的图像与性质可得 ，即 ，
故t的范围可以是 ，
故答案为：D
【分析】根据x的范围，可求出 的范围，结合 的图像与性质，即可求解。
12．【答案】-3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
13．【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin =-cos πx，f( x)=-cos( πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x- =kπ，解得x= (k∈Z)，所以函数y=sin 的对称中心为 ，
当k=0时，可得对称中心为 ，所以③正确；
对于④，函数 ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
14．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时，令 ，则 ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
则函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，即 ；
当 或 时，函数 取得最小值，即 .
因此，函数 ， 的值域为 .
故答案为： .
【分析】令 ，可得出 ，可转化为二次函数 在 上的值域问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
15．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】已知两函数的图象如下，
根据三角函数图象的对称性，
可知所求图形面积为矩形面积的一半，
又矩形面积为 ，故所求图形面积为 ，
故答案为：.
【分析】利用三角型函数图象的对称性得知所求图形面积为矩形面积的一半，再利用矩形的面积公式，从而求出函数 的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积。
16．【答案】（1）解：由题得函数的最大值为 ，
（2）解：对于 ，令 ，求得 ，可得 的单调递增区间为 ， ，
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得 在R上的最大值，再根据最大值为4，求得 的值；（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得 的单调递增区间．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：因为 ，
所以， ，所以函数 的值域为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）结合三角函数的基本性质，在对称轴取到最大值，即可得出答案。（2）结合正弦函数单调性，判断正弦型函数单调性，即可得出答案。（3）计算出的范围，结合三角函数性质，即可得出答案。
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一、单选题
1．（2020高一下·黄浦期末）下列函数中，周期是 的偶函数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】A选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为偶函数，周期为 ；
B选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为奇函数，周期为 ；
C选项，函数 的定义与为R，且 ，所以函数 为偶函数，周期为 ；
D选项，函数 的定义域为R，且 ，所以函数 为偶函数，不具有周期性.
故答案为：C
【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.
2．（2020高一下·内蒙古期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由 得： .
所以函数 的定义域是 .
故答案为：C.
【分析】根据函数的定义域得到： ，求解不等式即可得出定义域.
3．（2020高一下·抚顺期末）函数y＝tan 的定域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，
， ，
， ，
函数的定义域是 ，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得， ， ，求出x的取值范围．
4．（2020·辽宁模拟）函数 图象的对称中心坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，则 ，
所以函数 图象的对称中心坐标为 .
故答案为：D.
【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得 ，即可得解.
5．（2020高一下·故城期中）关于函数 在以下说法中正确的是（ ）
A． 上是增函数 B． 上是减函数
C． 上是减函数 D． 上是减函数
【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】 ，它在 上是减函数．
故答案为：B．
【分析】用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．
6．（2020高一下·海淀期中）不等式 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】
当 时，
，
且 单调递增，
所以 ，
因为 的周期为 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：A.
【分析】先得到 内满足不等式的x的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.
7．（2020高一下·普宁月考）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， ，且 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式、同角三角函数基本关系式，再利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，结合中间量比较法，从而推出a，b，c三者的大小关系。
8．（2020高一上·武汉期末）函数 ， 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意，令 ，解得 ，
取 ，得 ，
则函数 在 的单调递减区间是 .
故答案为：A.
【分析】令 ，可求得函数的单调递减区间，进而取 可求出答案.
9．（2019高一上·重庆月考） 的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意， =kπ+ ，
∴x=2kπ+ ，（k∈Z），
∴ 的一条对称轴是x= ，
故答案为：C．
【分析】利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象，从而求出三角型函数 的一条对称轴。
10．（2019高三上·建平期中）若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】 函数 是偶函数，
，即 ，
或 ， ，
当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性；
当 时， ， ，
当 时， .
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案．
11．（2019高三上·双流期中）已知 在 上有最小值，则实数t的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 有最小值，结合 的图像与性质可得 ，即 ，
故t的范围可以是 ，
故答案为：D
【分析】根据x的范围，可求出 的范围，结合 的图像与性质，即可求解。
二、填空题
12．（2020高一下·上海期末）函数 的最小值为 .
【答案】-3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
13．（2020高一下·内蒙古月考）关于下列命题：
①若 是第一象限角，且 ，则 ；
②函数 是偶函数；
③函数 的一个对称中心是 ；
④函数 在 上是增函数，
所有正确命题的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin =-cos πx，f( x)=-cos( πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x- =kπ，解得x= (k∈Z)，所以函数y=sin 的对称中心为 ，
当k=0时，可得对称中心为 ，所以③正确；
对于④，函数 ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
14．（2020高一下·大同月考）函数 ， 的值域 ．
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时，令 ，则 ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
则函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，即 ；
当 或 时，函数 取得最小值，即 .
因此，函数 ， 的值域为 .
故答案为： .
【分析】令 ，可得出 ，可转化为二次函数 在 上的值域问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
15．（2020高一下·林州月考）函数 的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为 ．
【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】已知两函数的图象如下，
根据三角函数图象的对称性，
可知所求图形面积为矩形面积的一半，
又矩形面积为 ，故所求图形面积为 ，
故答案为：.
【分析】利用三角型函数图象的对称性得知所求图形面积为矩形面积的一半，再利用矩形的面积公式，从而求出函数 的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积。
三、解答题
16．（2019高一上·长沙月考）已知
（1）若 时， 的最大值为 ，求 的值；
（2）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1）解：由题得函数的最大值为 ，
（2）解：对于 ，令 ，求得 ，可得 的单调递增区间为 ， ，
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得 在R上的最大值，再根据最大值为4，求得 的值；（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得 的单调递增区间．
17．（2017高一上·江苏月考）已知函数
（1）求出函数的最大值及取得最大值时的 的值；
（2）求出函数在 上的单调区间；
（3）当 时，求函数 的值域。
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：因为 ，
所以， ，所以函数 的值域为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）结合三角函数的基本性质，在对称轴取到最大值，即可得出答案。（2）结合正弦函数单调性，判断正弦型函数单调性，即可得出答案。（3）计算出的范围，结合三角函数性质，即可得出答案。
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