初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题2 直角三角形的判定
一、单选题
1．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
2．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．AB为公共边
4．如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
5．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
6．（2017八上·东台月考）用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
7．下面说法不正确的是（ ）
A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两角对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
8．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
9．（2016八上·临安期末）下列判断正确的是（ ）
A．有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．腰长相等的两个等腰三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
10．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
11．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是 ．
13．（2018八上·江都月考）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是 ，（填一个即可）
14．如图，∠C＝∠D＝90 ，添加一个条件： (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
15．（2018八上·东台月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．
16．（2018八上·四平期末）如图， 中， ， 分别是 上动点，且 ，当AP= 时，才能使 和 全等.
三、解答题
17．（2020八上·珠海期中）如图，已知 ，垂足分别为点 ，且 ．
求证：
18．（2020八上·诸暨期中）已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
19．（2019八下·慈溪期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC．
20．（2020八上·漳平期中）如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．
四、综合题
21．（2020八上·渝北月考）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
22．（2020八上·富顺期中）如图，△ 是等腰直角三角形，其中 ；点 在边 上，连接 ； 点 是 延长线上一点，分别连接 ，若 ．
（1）求证：△ ≌△ ；
（2）求图中 的度数．
23．（2020八上·商城月考）如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）试说明滑梯BC与EF的位置关系.
24．（2020八上·右玉月考）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示），且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：B
【分析】题中的两个直角三角形中已经具有斜边对应相等，要想利用HL判定出它们全等，只需要添加一条直角边对应相等即可。
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在RtOMP和RtONP中，
，
∴RtOMPRtONP（HL），
∴MOP=NOP，
∴OP是AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 利用判定方法“HL”证明RtOMPRtONP，进而得出答案.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．
故答案为：C
【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已经知道∠C＝∠C′＝90°，如果添上AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用SAS判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°，可以利用ASA判断Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；添上AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，虽然两个三角形中有三个条件，但三个条件不是对应相等，故不能判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，A不符合题意；
B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，B不符合题意；
C、斜边相等的两个等腰直角三角形，根据ASA或者HL均能判定它们全等，C符合题意；
D、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的判定方法判断即可.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①两条直角边分别相等；正确；
②两个锐角分别相等；错误；
③斜边和一条直角边分别相等，正确；
④一条边和一个锐角分别相等；错误；
⑤斜边和一锐角分别相等；正确；
⑥两条边分别相等，错误；
其中能判断两个直角三角形全等的有3个，
故选D．
【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．
11．【答案】（1）和（2）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（ 2 ）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（ 3 ）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）
【分析】由于直角三角形中已经有一个角是直角，故要判断两直角三角形全等只需要一条边对应相等与任意一个角对应相等，利用AAS或者ASA；也可以两边对应相等，利用SAS或者HL。
12．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】HL，理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
故答案为：HL
【分析】根据垂直可以得出∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB＝AC，AD=AD，由HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC.
13．【答案】AD=AE（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）
∴故答案为：AD=AE；
【分析】开放性的命题，答案不唯一；根据垂直的定义得出∠ADP=∠AEP=90°，由于图形中已经具有AP=AP，故只需要添加AD=AE或PD=PE即可利用HL判断出Rt△APD≌Rt△APE。
14．【答案】AC＝AD等(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
故答案为AC＝AD
【分析】开分性的命题，答案不唯一，由于题中已经具有一对直角对应相等，一组公共边对应相等，如再添加AC＝AD，或BC=BD可以利用HL判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等，若再添加∠CAB=∠DAB，或∠ABC=∠ABD，可以利用AAS判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等。
15．【答案】3或6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵ ，AQ⊥AC，
∴
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：3或6
【分析】根据直角三角形的判定方法HL，当AP=BC时，得到Rt△ACB≌Rt△QAP，当AP=AC时，得到Rt△ACB≌Rt△PAQ.
16．【答案】3或8
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】分为两种情况：①当AP=3时， ∵BC=3， ∴AP=BC， ∵∠C=90°，AE⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， ∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
②当AP=8时， ∵AC=8， ∴AP=AC， ∵∠C=90°，AE⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， ∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL）， 故答案为：3或8．
【分析】由已知条件可知△ABC和△QAP时直角三角形，要证两直角三角形全等，已知斜边相等，因此只需一直角边相等即可，分两种情况：当AP=BC时；当AP=AC时，即可求出结果。
17．【答案】解：
在 和 中
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】证得AB=DE，根据HL证明两个三角形全等即可．
18．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.
19．【答案】证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 因为AD⊥BC，则∠BDF＝∠ADC＝90°，结合AC＝BF，DC＝DF，利用斜边直角边定理证得Rt△BDF≌Rt△ADC，于是根据全等三角形对应角相等，得∠FBD＝∠DAC，因为对顶角相等，则∠BFD＝∠AFE，因此∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC。
20．【答案】证明：在△ABC中
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB．
∵∠BAE=∠BCD=90°，
在Rt△EAB和Rt△DCB中，
∴Rt△EAB≌Rt△DCB．
∴∠E=∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先由等角对等边得出AB=CB，再由HL证明Rt△EAB≌Rt△DCB，得出对应角相等即可．
21．【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
，
又∵ ， ，
，
，
，
，
，
即 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由题意用HL定理可求解；
（2）由角的构成易求得∠EAB的度数，于是根据（1）中的全等三角形可得∠EAB=∠FCB，由角的构成得∠ACF=∠FCB+∠BCA可求解.
22．【答案】（1）证明：∵△ 是等腰直角三角形，其中 ，
∴ ，
，
在 △ 和 △ 中 ，
∴ △ ≌ △
（2）解：∵△ ≌△ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得AD=AB，再利用“HL”即可证出三角形全等；（2）根据（1）可得AE=AC，证出三角形AEC为等腰直角三角形，得到，再利用领补角求出即可。
23．【答案】（1）解：△ABC与△DEF全等.理由如下：
由题意中“两个长度相等滑梯”可知BC=EF，且AC⊥BF，DE⊥BF，
∴在Rt△ABC与Rt△DEF中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
（2）解： BC⊥EF，理由如下：
先将原图形简化，延长BC交EF于H点，交ED于O点，画成如下图所示：
由AC∥OD，得到∠ACB=∠DOB，且对顶角∠DOB=∠EOH，
∴∠ACB=∠EOH
由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠1=∠2，
又∠1+∠ACB=90°，
∴∠2+∠EOH=90°，
∴∠EHO=90°，
∴BC⊥EF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】(1)由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等；
(2)简化图形后，延长BC交EF于H点，利用(1)中全等三角形的对应角相等可得到∠ABC=∠DEF，再利用AC∥OD得到∠ACB=∠DOB，且∠1+∠ACB=90°即可得到∠2+∠EOH=90°求解.
24．【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）解：AB⊥AC．
理由如下：
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据“HL”证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得到∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， 进而证明∠BAC=90°，问题得证；
（2）根据“HL”证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得到∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， 进而证明∠BAC=90°，问题得证．
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题2 直角三角形的判定
一、单选题
1．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
2．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
3．如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．AB为公共边
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：B
【分析】题中的两个直角三角形中已经具有斜边对应相等，要想利用HL判定出它们全等，只需要添加一条直角边对应相等即可。
4．如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
5．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
6．（2017八上·东台月考）用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在RtOMP和RtONP中，
，
∴RtOMPRtONP（HL），
∴MOP=NOP，
∴OP是AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 利用判定方法“HL”证明RtOMPRtONP，进而得出答案.
7．下面说法不正确的是（ ）
A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两角对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．
故答案为：C
【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。
8．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已经知道∠C＝∠C′＝90°，如果添上AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用SAS判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°，可以利用ASA判断Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；添上AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，虽然两个三角形中有三个条件，但三个条件不是对应相等，故不能判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
9．（2016八上·临安期末）下列判断正确的是（ ）
A．有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．腰长相等的两个等腰三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，A不符合题意；
B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，B不符合题意；
C、斜边相等的两个等腰直角三角形，根据ASA或者HL均能判定它们全等，C符合题意；
D、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的判定方法判断即可.
10．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①两条直角边分别相等；正确；
②两个锐角分别相等；错误；
③斜边和一条直角边分别相等，正确；
④一条边和一个锐角分别相等；错误；
⑤斜边和一锐角分别相等；正确；
⑥两条边分别相等，错误；
其中能判断两个直角三角形全等的有3个，
故选D．
【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．
二、填空题
11．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是
【答案】（1）和（2）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（ 2 ）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（ 3 ）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）
【分析】由于直角三角形中已经有一个角是直角，故要判断两直角三角形全等只需要一条边对应相等与任意一个角对应相等，利用AAS或者ASA；也可以两边对应相等，利用SAS或者HL。
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是 ．
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】HL，理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
故答案为：HL
【分析】根据垂直可以得出∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB＝AC，AD=AD，由HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC.
13．（2018八上·江都月考）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是 ，（填一个即可）
【答案】AD=AE（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）
∴故答案为：AD=AE；
【分析】开放性的命题，答案不唯一；根据垂直的定义得出∠ADP=∠AEP=90°，由于图形中已经具有AP=AP，故只需要添加AD=AE或PD=PE即可利用HL判断出Rt△APD≌Rt△APE。
14．如图，∠C＝∠D＝90 ，添加一个条件： (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
【答案】AC＝AD等(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
故答案为AC＝AD
【分析】开分性的命题，答案不唯一，由于题中已经具有一对直角对应相等，一组公共边对应相等，如再添加AC＝AD，或BC=BD可以利用HL判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等，若再添加∠CAB=∠DAB，或∠ABC=∠ABD，可以利用AAS判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等。
15．（2018八上·东台月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．
【答案】3或6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵ ，AQ⊥AC，
∴
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：3或6
【分析】根据直角三角形的判定方法HL，当AP=BC时，得到Rt△ACB≌Rt△QAP，当AP=AC时，得到Rt△ACB≌Rt△PAQ.
16．（2018八上·四平期末）如图， 中， ， 分别是 上动点，且 ，当AP= 时，才能使 和 全等.
【答案】3或8
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】分为两种情况：①当AP=3时， ∵BC=3， ∴AP=BC， ∵∠C=90°，AE⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， ∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
②当AP=8时， ∵AC=8， ∴AP=AC， ∵∠C=90°，AE⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， ∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL）， 故答案为：3或8．
【分析】由已知条件可知△ABC和△QAP时直角三角形，要证两直角三角形全等，已知斜边相等，因此只需一直角边相等即可，分两种情况：当AP=BC时；当AP=AC时，即可求出结果。
三、解答题
17．（2020八上·珠海期中）如图，已知 ，垂足分别为点 ，且 ．
求证：
【答案】解：
在 和 中
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】证得AB=DE，根据HL证明两个三角形全等即可．
18．（2020八上·诸暨期中）已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.
19．（2019八下·慈溪期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC．
【答案】证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 因为AD⊥BC，则∠BDF＝∠ADC＝90°，结合AC＝BF，DC＝DF，利用斜边直角边定理证得Rt△BDF≌Rt△ADC，于是根据全等三角形对应角相等，得∠FBD＝∠DAC，因为对顶角相等，则∠BFD＝∠AFE，因此∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC。
20．（2020八上·漳平期中）如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．
【答案】证明：在△ABC中
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB．
∵∠BAE=∠BCD=90°，
在Rt△EAB和Rt△DCB中，
∴Rt△EAB≌Rt△DCB．
∴∠E=∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先由等角对等边得出AB=CB，再由HL证明Rt△EAB≌Rt△DCB，得出对应角相等即可．
四、综合题
21．（2020八上·渝北月考）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
，
又∵ ， ，
，
，
，
，
，
即 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由题意用HL定理可求解；
（2）由角的构成易求得∠EAB的度数，于是根据（1）中的全等三角形可得∠EAB=∠FCB，由角的构成得∠ACF=∠FCB+∠BCA可求解.
22．（2020八上·富顺期中）如图，△ 是等腰直角三角形，其中 ；点 在边 上，连接 ； 点 是 延长线上一点，分别连接 ，若 ．
（1）求证：△ ≌△ ；
（2）求图中 的度数．
【答案】（1）证明：∵△ 是等腰直角三角形，其中 ，
∴ ，
，
在 △ 和 △ 中 ，
∴ △ ≌ △
（2）解：∵△ ≌△ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得AD=AB，再利用“HL”即可证出三角形全等；（2）根据（1）可得AE=AC，证出三角形AEC为等腰直角三角形，得到，再利用领补角求出即可。
23．（2020八上·商城月考）如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）试说明滑梯BC与EF的位置关系.
【答案】（1）解：△ABC与△DEF全等.理由如下：
由题意中“两个长度相等滑梯”可知BC=EF，且AC⊥BF，DE⊥BF，
∴在Rt△ABC与Rt△DEF中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
（2）解： BC⊥EF，理由如下：
先将原图形简化，延长BC交EF于H点，交ED于O点，画成如下图所示：
由AC∥OD，得到∠ACB=∠DOB，且对顶角∠DOB=∠EOH，
∴∠ACB=∠EOH
由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠1=∠2，
又∠1+∠ACB=90°，
∴∠2+∠EOH=90°，
∴∠EHO=90°，
∴BC⊥EF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】(1)由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等；
(2)简化图形后，延长BC交EF于H点，利用(1)中全等三角形的对应角相等可得到∠ABC=∠DEF，再利用AC∥OD得到∠ACB=∠DOB，且∠1+∠ACB=90°即可得到∠2+∠EOH=90°求解.
24．（2020八上·右玉月考）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示），且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）解：AB⊥AC．
理由如下：
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据“HL”证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得到∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， 进而证明∠BAC=90°，问题得证；
（2）根据“HL”证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得到∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， 进而证明∠BAC=90°，问题得证．
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