人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆运算 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·无锡期中）下列四组线段中，可以构成直角角形的是（ ）
A．1，1，2 B．1， ，3 C．2，3，4 D． ，3，4
2．（2020八上·四川月考）下列说法中，正确的有（ ）
①如果 ，那么 是直角三角形；②如果 ，则 是直角三角形；③如果三角形三边之比为 ，则 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是 、 、 ，则 是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020八上·温州期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的比是1∶2∶3 B．三条边满足关系a2=c2－b2
C．三个角的比是1∶2∶3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
4．（2020八上·临漳期中）如图，正方形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．25 C．7 D．1
5．（2020九上·福州月考）小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
6．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
7．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
8．（2018八上·江北期末）如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
二、填空题
9．（2020八上·普宁期中）已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ．
10．（2020八上·北京期中）根据下列已知条件，能确定△ABC的大小和形状的是
①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ②AB＝4，BC＝3，∠A＝30
③∠A＝60 ，∠B＝45 ，AB＝4 ④∠C＝90 ，AB＝6，AC=5
11．（2020九上·休宁月考）如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD= ．
12．（2020八上·四川月考）如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ．
13．（2020八上·温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题
14．（2020七上·龙口期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC是否是直角三角形．
15．（2020八上·三水期中）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2 ，CD＝4 ，BC＝8，求四边形ABCD的面积．
四、综合题
17．（2020八上·牡丹期中）已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
18．（2020八上·镇海期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米.
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
19．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+( )2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、（ ）2+32=42，能构成直角三角形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① ， ，
，
是直角三角形；② ，
， ，
不是直角三角形；③ 三角形三边之比为 ，
设三边分别为 ， ， ，
由
是直角三角形；④ 三角形三边长分别是 ， ， ，
，
是直角三角形．
综上：是直角三角形的 有3个．
故答案为：C．
【分析】由 ，结合三角形的内角和定理，求解 ，可判断①，由 ，结合三角形的内角和定理，求解 ，可判断②，由三角形三边之比为 ，设三边分别为 ， ， ，利用勾股定理的逆定理可判断③，三角形三边长分别是 、 、 ，利用勾股定理的逆定理可判断④．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵三条边的比是1：2：3，
设三边依次是a，2a，3a，
∴a2+（2a）2=5a2≠（3a）2，
∴此三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、∵三条边满足关系a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、∵三个角的比是1：2：3，
∴三个角依次是：30°，60°，90°，
∴此三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、∵三个角满足关系∠B+∠C=∠A，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A、由已知条件可知两边的平方和不等于第三边，不满足勾股定理逆定理，故不是直角三角形；B、三边关系满足勾股定理逆定理，故是直角三角形；C、由已知条件求得三个角的度数，由直角三角形定义可得是直角三角形；D、由三角形内角和定理求得∠A=90°，由直角三角形定义可得是直角三角形.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AED中，AE=3，DE=4，
∴ ，
∴正方形 的面积= ，
故答案为：B．
【分析】先由勾股定理求出AD的长，再根据正方形的面积公式计算出面积即可．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆高xm,则绳子长(x+1)m.
根据题意,由勾股定理可得: x +5 =(x+1) ，
解得x=12
则旗杆的高度为12m
故答案为：D
【分析】将绳子下端拉开5m后,旗杆、绳子和地面组成了一个直角三角形,从已知条件中可得绳子长比旗杆高多1米,可设旗杆的高是xm,则绳长为(x+1)m,绳子的下端与旗杄底部距离5米,由题意可知,x+1是直角三角形的斜边;根据勾股定理得到方程x2 +52 =(x+1)2 ,求解即可
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD,使BE=BD,连接AE.
又BA=BC,则⊿ABE≌ΔCBD(SAS),得:AE=CD=3;∠BDC=∠BEA.
∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°,则⊿DBE为等边三角形,得∠BED=60°,且DE=DB=4.
AE +DE =9+16=25=AD ,则∠AED=90°.
所以,∠BDC=∠BEA=150°.
故答案为：D.
【分析】先通过辅助线将三角形BDC旋转到三角形BEA的位置，从而利用勾股定理逆定理即可知三角形AED为直角三角形且∠AED=90°，而三角形BED为等腰三角形，即可求得∠BDC的度数.
9．【答案】24cm2
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为： 6×8=24(cm2)．
故答案为：24cm2．
【分析】根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可.
10．【答案】①③④
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ，是勾股数，所以是直角三角形.
②AB＝4，BC＝3，∠A＝30 ，不能，如图有多解情况.
③∠A＝60 ，∠B＝45 ，AB＝4， 如图利用特殊三角形，AB=4，所以BD=2，AD=2 ，所以DC=2 ，所以AC=2 ，所以可以确定三角形.
④∠C＝90 ，AB＝6，AC=5，利用HL可确定三角形.
故答案为①③④.
【分析】根据三角形的内角和等于180°及勾股定理判断三角形的形状即可作答。
11．【答案】90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵∠C=90°
∴ 为直角三角形
∵BC=3，CD=4
∴
∵AB=12，AD=13
∴
∴ 为直角三角形，
故答案为：90°．
【分析】由∠C=90°可知 为直角三角形，通过勾股定理求得BD；再通过计算得 ，证明 为直角三角形，从而得到答案．
12．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 ，
则 ，
又因为 ，
所以 ，
此时考虑从 线路这一情况，
， ，
所以这一线路的路程为 ，
故蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ，
故答案为： ．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知AC长即昆虫爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
13．【答案】38
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设图2中的“数学风车”四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，依题可得，
，
解得：，
∴这个风车的外围周长为：4×6.5+4×3=38.
故答案为：38.
【分析】根据勾股定理和三角形的周长列出方程组，解之求得“数学风车”四个直角三角形的斜边长和AC长，再由周长公式求得答案.
14．【答案】△ABC是直角三角形．
理由：
∵AC2=AE2+EC2=12+12=2，
BC2=BF2+CF2=32+32=18，
AB2=AD2+BD2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先由勾股定理，可求得AC2+BC2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形．
15．【答案】证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360° 180°=180°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
16．【答案】解：∵ AB＝AD，∠BAD＝90°，AB＝ ，
∴ BD＝ ＝4，
∵ BD2＋CD2＝42＋( )2＝64，BC2＝64，
∴ BD2＋CD2＝BC2，
∴ △BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ × × ＋ × ×4＝4＋8
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】在三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，再用勾股定理的逆定理即可证得△BCD为直角三角形，然后可得四边形ABCD的面积=直角三角形ABD的面积+直角三角形BDC的面积即可求解。
17．【答案】（1）解：根据题意得：a- =0，b-5=0，c-4 =0，
解得：a= ，b=5，c=4
（2）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=( )2+52= 32
c2=(4 )2=32，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值、偶次幂的非负性以及二次根式的性质，即可得到a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可判断三条边组成的为直角三角形。
18．【答案】（1）解：是，理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米。
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理分别求出CH2+BH2，BC2的值，由此可得到CH2+BH2＝BC2，就可证得CH与AB的位置关系。
（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出CA与CH的差。
19．【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
1 / 1人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆运算 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·无锡期中）下列四组线段中，可以构成直角角形的是（ ）
A．1，1，2 B．1， ，3 C．2，3，4 D． ，3，4
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+( )2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、（ ）2+32=42，能构成直角三角形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
2．（2020八上·四川月考）下列说法中，正确的有（ ）
①如果 ，那么 是直角三角形；②如果 ，则 是直角三角形；③如果三角形三边之比为 ，则 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是 、 、 ，则 是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① ， ，
，
是直角三角形；② ，
， ，
不是直角三角形；③ 三角形三边之比为 ，
设三边分别为 ， ， ，
由
是直角三角形；④ 三角形三边长分别是 ， ， ，
，
是直角三角形．
综上：是直角三角形的 有3个．
故答案为：C．
【分析】由 ，结合三角形的内角和定理，求解 ，可判断①，由 ，结合三角形的内角和定理，求解 ，可判断②，由三角形三边之比为 ，设三边分别为 ， ， ，利用勾股定理的逆定理可判断③，三角形三边长分别是 、 、 ，利用勾股定理的逆定理可判断④．
3．（2020八上·温州期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的比是1∶2∶3 B．三条边满足关系a2=c2－b2
C．三个角的比是1∶2∶3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵三条边的比是1：2：3，
设三边依次是a，2a，3a，
∴a2+（2a）2=5a2≠（3a）2，
∴此三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、∵三条边满足关系a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、∵三个角的比是1：2：3，
∴三个角依次是：30°，60°，90°，
∴此三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、∵三个角满足关系∠B+∠C=∠A，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A、由已知条件可知两边的平方和不等于第三边，不满足勾股定理逆定理，故不是直角三角形；B、三边关系满足勾股定理逆定理，故是直角三角形；C、由已知条件求得三个角的度数，由直角三角形定义可得是直角三角形；D、由三角形内角和定理求得∠A=90°，由直角三角形定义可得是直角三角形.
4．（2020八上·临漳期中）如图，正方形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．25 C．7 D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AED中，AE=3，DE=4，
∴ ，
∴正方形 的面积= ，
故答案为：B．
【分析】先由勾股定理求出AD的长，再根据正方形的面积公式计算出面积即可．
5．（2020九上·福州月考）小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆高xm,则绳子长(x+1)m.
根据题意,由勾股定理可得: x +5 =(x+1) ，
解得x=12
则旗杆的高度为12m
故答案为：D
【分析】将绳子下端拉开5m后,旗杆、绳子和地面组成了一个直角三角形,从已知条件中可得绳子长比旗杆高多1米,可设旗杆的高是xm,则绳长为(x+1)m,绳子的下端与旗杄底部距离5米,由题意可知,x+1是直角三角形的斜边;根据勾股定理得到方程x2 +52 =(x+1)2 ,求解即可
6．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
7．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
8．（2018八上·江北期末）如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD,使BE=BD,连接AE.
又BA=BC,则⊿ABE≌ΔCBD(SAS),得:AE=CD=3;∠BDC=∠BEA.
∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°,则⊿DBE为等边三角形,得∠BED=60°,且DE=DB=4.
AE +DE =9+16=25=AD ,则∠AED=90°.
所以,∠BDC=∠BEA=150°.
故答案为：D.
【分析】先通过辅助线将三角形BDC旋转到三角形BEA的位置，从而利用勾股定理逆定理即可知三角形AED为直角三角形且∠AED=90°，而三角形BED为等腰三角形，即可求得∠BDC的度数.
二、填空题
9．（2020八上·普宁期中）已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ．
【答案】24cm2
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为： 6×8=24(cm2)．
故答案为：24cm2．
【分析】根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可.
10．（2020八上·北京期中）根据下列已知条件，能确定△ABC的大小和形状的是
①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ②AB＝4，BC＝3，∠A＝30
③∠A＝60 ，∠B＝45 ，AB＝4 ④∠C＝90 ，AB＝6，AC=5
【答案】①③④
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ，是勾股数，所以是直角三角形.
②AB＝4，BC＝3，∠A＝30 ，不能，如图有多解情况.
③∠A＝60 ，∠B＝45 ，AB＝4， 如图利用特殊三角形，AB=4，所以BD=2，AD=2 ，所以DC=2 ，所以AC=2 ，所以可以确定三角形.
④∠C＝90 ，AB＝6，AC=5，利用HL可确定三角形.
故答案为①③④.
【分析】根据三角形的内角和等于180°及勾股定理判断三角形的形状即可作答。
11．（2020九上·休宁月考）如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD= ．
【答案】90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵∠C=90°
∴ 为直角三角形
∵BC=3，CD=4
∴
∵AB=12，AD=13
∴
∴ 为直角三角形，
故答案为：90°．
【分析】由∠C=90°可知 为直角三角形，通过勾股定理求得BD；再通过计算得 ，证明 为直角三角形，从而得到答案．
12．（2020八上·四川月考）如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ．
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 ，
则 ，
又因为 ，
所以 ，
此时考虑从 线路这一情况，
， ，
所以这一线路的路程为 ，
故蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ，
故答案为： ．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知AC长即昆虫爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
13．（2020八上·温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
【答案】38
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设图2中的“数学风车”四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，依题可得，
，
解得：，
∴这个风车的外围周长为：4×6.5+4×3=38.
故答案为：38.
【分析】根据勾股定理和三角形的周长列出方程组，解之求得“数学风车”四个直角三角形的斜边长和AC长，再由周长公式求得答案.
三、解答题
14．（2020七上·龙口期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC是否是直角三角形．
【答案】△ABC是直角三角形．
理由：
∵AC2=AE2+EC2=12+12=2，
BC2=BF2+CF2=32+32=18，
AB2=AD2+BD2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先由勾股定理，可求得AC2+BC2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形．
15．（2020八上·三水期中）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.
【答案】证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360° 180°=180°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2 ，CD＝4 ，BC＝8，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：∵ AB＝AD，∠BAD＝90°，AB＝ ，
∴ BD＝ ＝4，
∵ BD2＋CD2＝42＋( )2＝64，BC2＝64，
∴ BD2＋CD2＝BC2，
∴ △BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ × × ＋ × ×4＝4＋8
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】在三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，再用勾股定理的逆定理即可证得△BCD为直角三角形，然后可得四边形ABCD的面积=直角三角形ABD的面积+直角三角形BDC的面积即可求解。
四、综合题
17．（2020八上·牡丹期中）已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
【答案】（1）解：根据题意得：a- =0，b-5=0，c-4 =0，
解得：a= ，b=5，c=4
（2）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=( )2+52= 32
c2=(4 )2=32，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值、偶次幂的非负性以及二次根式的性质，即可得到a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可判断三条边组成的为直角三角形。
18．（2020八上·镇海期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米.
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】（1）解：是，理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米。
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理分别求出CH2+BH2，BC2的值，由此可得到CH2+BH2＝BC2，就可证得CH与AB的位置关系。
（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出CA与CH的差。
19．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
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