人教A版（2019）数学必修第一册1.2集合间的基本关系
一、单选题
1．（2019高一上·榆林期中）集合A={x∈N|-1＜x＜4}的真子集个数为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．17
2．（2019高一上·新丰期中）设集合 ， ，则集合 和集合 的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高三上·集宁期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
4．（2019高一上·怀仁期中）满足 的集合A的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019高一上·沭阳期中）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·邵东期中）设集合 ，若A∩B≠ ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高一上·宜昌期中）已知集合 ，若集合 有且仅有两个子集，则 的值是（ ）
A．1 B． C．0，1 D． ，0，1
8．（2019高一上·石家庄月考）设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2018高二下·长春期末）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．若则就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16 C．64 D．128
二、填空题
11．（2018高一上·临河期中）若 ，则集合A的子集的个数是 .
12．（2019高三上·上海月考）已知集合 ， ，则集合 的子集个数为 .
13．（2017高一上·泰安期中）若{1，a， }={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为 ．
14．（2017高一上·黑龙江月考）已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 ．
三、解答题
15．（空集的定义、性质及运算+++容易题 ）已知集合A={x|ax2﹣4x+4=0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值集合．
16．（高中数学人教新课标A版必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系）设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B A.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．
17．（空集的定义、性质及运算+++容易题 ）已知集合A={x|x2+4ax﹣4a+3=0}，B={x|x2+2ax﹣2a=0}，C={x|x2+（a﹣1）x+a2=0}．
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围；
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，求a的取值范围．
18．（高中数学人教新课标A版必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系）已知集合 ,集合 .
（1）若 ,求实数 的取值范围;
（2）是否存在实数 ,使 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，集合 ，
所以集合 的真子集的个数为 个.
故答案为：B.
【分析】求得集合 ，根据集合真子集个数的计算方法，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】∵集合 ， ，
∴ ，
故答案为：B
【分析】根据子集概念即可作出判断.
3．【答案】B
【知识点】集合相等
【解析】【解答】A选项中， ， ，集合 、 都是点集，但集合 里的元素是点 ，集合 里的元素是点 ，所以集合 、 不是同一集合；
B选项中，集合 、 都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；
C选项中，集合 是点集、集合 是数集，所以集合 、 不是同一集合；
D选项中，集合 是数集、集合 是点集，集合 、 不是同一集合.
故答案为：B.
【分析】根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案.
4．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数，
∴满足 的集合A的个数为4个，
故答案为：D
【分析】由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数．
5．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】若 ，结合数轴知，则 显然成立；
当 时， 也有 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据 ，结合数轴上位置关系知， 显然成立，当 时， 也有 ．
6．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】∵A∩B≠ ，∴A，B有公共元素，∵
∴
故答案为：D
【分析】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍
7．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 有且仅有两个子集，即为 和集合 本身，故集合 中的元素只有一个，即方程 只有一个解，
当 时， 原方程为 ，即 ，符合题意；
当 时，令 ，
综上， ， 或 可符合题意
故答案为：D
【分析】由集合 有且仅有两个子集，得知集合 中只有一个元素，即方程 只有一个解，分类讨论 和 的情况，求解 值即可
8．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素。
故答案为：B.
【分析】利用定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，结合已知条件，从而求出集合A＋B，进而求出集合A＋B中元素的个数。
9．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，当 时，满足条件；
当 时， ；
综上 ，
故答案为：C.
【分析】将集合的包含关系转化为区间端点值的大小关系即可.
10．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵由和3，和2，-l，l组成集合，和3，和2都以整体出现，∴有24个集合∵集合为非空集合，∴有24-l=l5个故选A．
【分析】本题关键看清楚-1和1本身也具备这种运算，这样由-1，1，3和 ，2和 四“大”元素组成集合．
11．【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由 .
可得集合A的子集个数有： ，共8个.
故答案为：8.
【分析】由已知得到集合 ，利用子集的概念，即可求出子集的个数.
12．【答案】64
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】 ， ， ，
则集合 有 个元素，其子集个数为 ，故答案为： .
【分析】利用列举法求出集合 ，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
13．【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{1，a， }={0，a2，a+b}，
∴分母a≠0，
∴b=0，a2=1，且a2≠a+b，
解得a=﹣1；
∴a2015+b2015=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】由集合相等的定义可得出结果。
14．【答案】4
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，
∵A C B，
∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，
故选4个.
【分析】先求出集合A和集合B，再利用已知A C B，得到满足条件的集合C即可.
15．【答案】解：∵集合A={x|ax2﹣4x+4=0，a∈R}至多有一个真子集，
∴ax2﹣4x+4=0至多有一个实数根，
当a=0时，ax2﹣4x+4=0只有一个实数根x=1；
当a≠0时，△=16﹣16a≤0，解得a≥1．
∴a的取值集合为{a|a=0或a≥1}
【知识点】空集
【解析】【分析】由题意得ax2﹣4x+4=0至多有一个实数根，由此能求出实数a的取值集合．
16．【答案】（1）①当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝ ，符合题意；
②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠ .由B A，借助数轴，如图所示，
得 解得0≤m≤ .所以0≤m≤ .
综合①②可知，实数m的取值范围为 .
（2）∵当x∈N时，A＝{0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)对于不等式表示的集合，通过数轴表示后，由包含关系得到参数的取值范围.
(2)当x∈N时，求出集合A的具体元素，有7个，再结合子集个数公式求子集的个数.
17．【答案】（1）解：对于A，若为空集，则（4a）2﹣4（3﹣4a）＜0，解得 ①；
对于B，若为空集，则（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＜﹣1或 ③，
若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得 ，所以A，B，C中至少有一个非空的a范围是 或a≥﹣1
（2）解：若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有 或 或 解这三个不等式组得﹣1＜a＜0或 或 ，结合（1）中三个集合全空的a范围，取它们的并集得：
a的范围是（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）∪（ ）
【知识点】空集
【解析】【分析】（1）可考虑问题的反面，即三个集合都是空集，则问题就简单多了；（2）至多一个非空，则三个集合中可能是两个空集一个非空、或是三个皆空．
18．【答案】（1）因为 ,所以集合 可以分为 或 两种情况来讨论：
当 时, ；
当 时,得 .
综上,实数 的取值范围是 .
（2）若存在实数 ,使 ,则必有 ,无解.
故不存在实数 ,使 .
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)当一个含有参数的集合为另一个集合的子集时,要注意空集的情况;结果合不等式解集端点的大小关系得到不等式组求a范围;
(2)要使两个集合相等,则两个集合的元素完全相同才行,得到方程组求解.
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一、单选题
1．（2019高一上·榆林期中）集合A={x∈N|-1＜x＜4}的真子集个数为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，集合 ，
所以集合 的真子集的个数为 个.
故答案为：B.
【分析】求得集合 ，根据集合真子集个数的计算方法，即可求解.
2．（2019高一上·新丰期中）设集合 ， ，则集合 和集合 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】∵集合 ， ，
∴ ，
故答案为：B
【分析】根据子集概念即可作出判断.
3．（2019高三上·集宁期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】B
【知识点】集合相等
【解析】【解答】A选项中， ， ，集合 、 都是点集，但集合 里的元素是点 ，集合 里的元素是点 ，所以集合 、 不是同一集合；
B选项中，集合 、 都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；
C选项中，集合 是点集、集合 是数集，所以集合 、 不是同一集合；
D选项中，集合 是数集、集合 是点集，集合 、 不是同一集合.
故答案为：B.
【分析】根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案.
4．（2019高一上·怀仁期中）满足 的集合A的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数，
∴满足 的集合A的个数为4个，
故答案为：D
【分析】由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数．
5．（2019高一上·沭阳期中）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】若 ，结合数轴知，则 显然成立；
当 时， 也有 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据 ，结合数轴上位置关系知， 显然成立，当 时， 也有 ．
6．（2019高一上·邵东期中）设集合 ，若A∩B≠ ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】∵A∩B≠ ，∴A，B有公共元素，∵
∴
故答案为：D
【分析】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍
7．（2019高一上·宜昌期中）已知集合 ，若集合 有且仅有两个子集，则 的值是（ ）
A．1 B． C．0，1 D． ，0，1
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 有且仅有两个子集，即为 和集合 本身，故集合 中的元素只有一个，即方程 只有一个解，
当 时， 原方程为 ，即 ，符合题意；
当 时，令 ，
综上， ， 或 可符合题意
故答案为：D
【分析】由集合 有且仅有两个子集，得知集合 中只有一个元素，即方程 只有一个解，分类讨论 和 的情况，求解 值即可
8．（2019高一上·石家庄月考）设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素。
故答案为：B.
【分析】利用定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，结合已知条件，从而求出集合A＋B，进而求出集合A＋B中元素的个数。
9．（2018高二下·长春期末）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，当 时，满足条件；
当 时， ；
综上 ，
故答案为：C.
【分析】将集合的包含关系转化为区间端点值的大小关系即可.
10．若则就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16 C．64 D．128
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵由和3，和2，-l，l组成集合，和3，和2都以整体出现，∴有24个集合∵集合为非空集合，∴有24-l=l5个故选A．
【分析】本题关键看清楚-1和1本身也具备这种运算，这样由-1，1，3和 ，2和 四“大”元素组成集合．
二、填空题
11．（2018高一上·临河期中）若 ，则集合A的子集的个数是 .
【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由 .
可得集合A的子集个数有： ，共8个.
故答案为：8.
【分析】由已知得到集合 ，利用子集的概念，即可求出子集的个数.
12．（2019高三上·上海月考）已知集合 ， ，则集合 的子集个数为 .
【答案】64
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】 ， ， ，
则集合 有 个元素，其子集个数为 ，故答案为： .
【分析】利用列举法求出集合 ，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
13．（2017高一上·泰安期中）若{1，a， }={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为 ．
【答案】-1
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{1，a， }={0，a2，a+b}，
∴分母a≠0，
∴b=0，a2=1，且a2≠a+b，
解得a=﹣1；
∴a2015+b2015=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】由集合相等的定义可得出结果。
14．（2017高一上·黑龙江月考）已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 ．
【答案】4
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，
∵A C B，
∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，
故选4个.
【分析】先求出集合A和集合B，再利用已知A C B，得到满足条件的集合C即可.
三、解答题
15．（空集的定义、性质及运算+++容易题 ）已知集合A={x|ax2﹣4x+4=0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值集合．
【答案】解：∵集合A={x|ax2﹣4x+4=0，a∈R}至多有一个真子集，
∴ax2﹣4x+4=0至多有一个实数根，
当a=0时，ax2﹣4x+4=0只有一个实数根x=1；
当a≠0时，△=16﹣16a≤0，解得a≥1．
∴a的取值集合为{a|a=0或a≥1}
【知识点】空集
【解析】【分析】由题意得ax2﹣4x+4=0至多有一个实数根，由此能求出实数a的取值集合．
16．（高中数学人教新课标A版必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系）设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B A.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．
【答案】（1）①当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝ ，符合题意；
②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠ .由B A，借助数轴，如图所示，
得 解得0≤m≤ .所以0≤m≤ .
综合①②可知，实数m的取值范围为 .
（2）∵当x∈N时，A＝{0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)对于不等式表示的集合，通过数轴表示后，由包含关系得到参数的取值范围.
(2)当x∈N时，求出集合A的具体元素，有7个，再结合子集个数公式求子集的个数.
17．（空集的定义、性质及运算+++容易题 ）已知集合A={x|x2+4ax﹣4a+3=0}，B={x|x2+2ax﹣2a=0}，C={x|x2+（a﹣1）x+a2=0}．
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围；
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，求a的取值范围．
【答案】（1）解：对于A，若为空集，则（4a）2﹣4（3﹣4a）＜0，解得 ①；
对于B，若为空集，则（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＜﹣1或 ③，
若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得 ，所以A，B，C中至少有一个非空的a范围是 或a≥﹣1
（2）解：若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有 或 或 解这三个不等式组得﹣1＜a＜0或 或 ，结合（1）中三个集合全空的a范围，取它们的并集得：
a的范围是（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）∪（ ）
【知识点】空集
【解析】【分析】（1）可考虑问题的反面，即三个集合都是空集，则问题就简单多了；（2）至多一个非空，则三个集合中可能是两个空集一个非空、或是三个皆空．
18．（高中数学人教新课标A版必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系）已知集合 ,集合 .
（1）若 ,求实数 的取值范围;
（2）是否存在实数 ,使 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
【答案】（1）因为 ,所以集合 可以分为 或 两种情况来讨论：
当 时, ；
当 时,得 .
综上,实数 的取值范围是 .
（2）若存在实数 ,使 ,则必有 ,无解.
故不存在实数 ,使 .
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】(1)当一个含有参数的集合为另一个集合的子集时,要注意空集的情况;结果合不等式解集端点的大小关系得到不等式组求a范围;
(2)要使两个集合相等,则两个集合的元素完全相同才行,得到方程组求解.
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