人教A版（2019）数学必修第二册 7.2复数的四则运算
一、单选题
1．（2020·鹤壁模拟） 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，故答案为：B.
【分析】对等式 进行复数四则运算得 ，其共轭复数 ．
2．（2019高二下·滦平期中）复数x=（-1+3i）（1-i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，位于第一象限。
故答案为：A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，进而得出答案。
3．（2018高二下·永春期末）若复数 满足 是虚数单位 ，则复数 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
结合共轭复数的定义可知： .
故答案为：D.
【分析】结合复数的运算，计算出z，求出共轭复数，即可得出答案。
4．（2018高二下·巨鹿期末）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．-4 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设
∴ ，解得 .
故答案为：D
【分析】
先设 z=a+bi，代入(3 4i）z中，再求|4+3i|=42+32=5，等式两边对应相等即可求出z 的虚部.
5．（2018高二下·中山期末）已知复数 （其中 ， 是虚数单位），则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
∴ ，
由复数相等的条件可得
故答案为：C．
【分析】结合复数四则运算，利用待定系数法，计算a，b的值，即可得出答案。
6．（2017·聊城模拟）设i是虚数单位，若 = ，则复数z的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 = = ，
得z=（﹣1+2i）i=﹣2﹣i．
∴复数z的虚部为﹣1，
故选：C．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
7．（2018·陕西模拟）若 ，其中 为虚数单位，则 的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，由题 ，则
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0，虚部等于0建立不等关系式，即可求得m值．
8．（2017高二下·衡水期末）复数 的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = ，
则复数 的共轭复数是：1+i．
故选：A．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
9．（2017高二下·辽宁期末）复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ,虚部为 , 故答案为：A.
【分析】把分母实数化分子分母同乘以分子的共轭复数整理得到最简形式，进而得出复数的虚部。
10． =（ ）
A．3﹣i B．﹣3﹣i C．3+i D．﹣3+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： = =1+i.2i﹣i2016=2i﹣1．
=（1+i）（2i﹣1）=﹣3+i．
故选：D．
【分析】直接利用复数单位的幂运算以及复数的除法的运算法则化简求解即可．
11．（2017·临翔模拟）已知复数z=﹣2+i，则复数 的模为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=﹣2+i，
∴ ，
则复数 的模 ，
故选：B．
【分析】把z=﹣2+i代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
12．（2017·凉山模拟）若复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），
∴sinα﹣ =0，cosα﹣ ≠0，
∴sinα= ，cosα=﹣ ，
∴tanα=﹣ ．
故选：B．
【分析】复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），可得sinα﹣ =0，cosα﹣ ≠0，cosα=﹣ ，即可得出．
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末） 表示虚数单位，则 .
【答案】1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
且 ， ， ， ， ……
故答案为：
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再利用复数的乘法计算可得．
14．（2019高二上·张家口期中）设复数 ，则复数 的共轭复数为 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数 ，则复数
．
复数 的共轭复数为：
故答案为 ．
【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．
15．（2019高三上·建平期中）若复数 ， 满足 ， （ 是虚数单位），则
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先要据复数相乘得到 ，再利用复数求模的公式，即得答案.
16．复数 分别对应复平面上的点P，Q，则向量 对应的复数为 ．
【答案】3﹣i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： =（﹣i）2=﹣1，
=2﹣i，
∴向量 对应的复数为2﹣i﹣（﹣1）=3﹣i．
故答案为：3﹣i．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简z1，z2，然后利用复数的向量减法得答案．
三、解答题
17．（2018高二下·黄陵期末）已知
【答案】解： ，
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】运用复数的运算，代入，化简，即可得出答案。
18．（2018高二下·邗江期中）已知复数
（1）当实数 为何值时，复数 为纯虚数
（2）当 时，计算 .
【答案】（1）解：复数
，即
（2）解：
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义，形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．列出方程求出m的值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算即可．
19．已知复数
（1）求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？
【答案】（1）解：
∴
（2）解：∵复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根
∴﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0…（9分）
由复数相等的定义，得：
解得：p=4，q=10
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简复数，再求复数Z的模；（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0，利用复数相等的定义，得： ，即可求实数p，q的值．
20．（2018高二下·石家庄期末）已知复数 在复平面上对应的点在第二象限，且满足 .
（Ⅰ）求复数 ；
（Ⅱ）设 ， ， 在复平面上对应点分别为 ， ， ，求 的面积.
【答案】解：（Ⅰ）设 ，则 ，
故 .
所以 ， .
又 ， ，解得 ， ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ），得 ， ， .
， ， 在复平面上对应点 ， ， ，如图所示：
故
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）设出复数z，求和，利用复数相等求出a和b即可；
（2）根据（1）中所求z，求出A，B，C三点坐标，作出图形，求三角形面积即可.
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一、单选题
1．（2020·鹤壁模拟） 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2019高二下·滦平期中）复数x=（-1+3i）（1-i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2018高二下·永春期末）若复数 满足 是虚数单位 ，则复数 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
4．（2018高二下·巨鹿期末）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．-4 B． C．4 D．
5．（2018高二下·中山期末）已知复数 （其中 ， 是虚数单位），则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
6．（2017·聊城模拟）设i是虚数单位，若 = ，则复数z的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
7．（2018·陕西模拟）若 ，其中 为虚数单位，则 的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
8．（2017高二下·衡水期末）复数 的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
9．（2017高二下·辽宁期末）复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）
A． B． C． D．
10． =（ ）
A．3﹣i B．﹣3﹣i C．3+i D．﹣3+i
11．（2017·临翔模拟）已知复数z=﹣2+i，则复数 的模为（ ）
A．1 B． C． D．2
12．（2017·凉山模拟）若复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末） 表示虚数单位，则 .
14．（2019高二上·张家口期中）设复数 ，则复数 的共轭复数为 ．
15．（2019高三上·建平期中）若复数 ， 满足 ， （ 是虚数单位），则
16．复数 分别对应复平面上的点P，Q，则向量 对应的复数为 ．
三、解答题
17．（2018高二下·黄陵期末）已知
18．（2018高二下·邗江期中）已知复数
（1）当实数 为何值时，复数 为纯虚数
（2）当 时，计算 .
19．已知复数
（1）求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？
20．（2018高二下·石家庄期末）已知复数 在复平面上对应的点在第二象限，且满足 .
（Ⅰ）求复数 ；
（Ⅱ）设 ， ， 在复平面上对应点分别为 ， ， ，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，故答案为：B.
【分析】对等式 进行复数四则运算得 ，其共轭复数 ．
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，位于第一象限。
故答案为：A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，进而得出答案。
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
结合共轭复数的定义可知： .
故答案为：D.
【分析】结合复数的运算，计算出z，求出共轭复数，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设
∴ ，解得 .
故答案为：D
【分析】
先设 z=a+bi，代入(3 4i）z中，再求|4+3i|=42+32=5，等式两边对应相等即可求出z 的虚部.
5．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
∴ ，
由复数相等的条件可得
故答案为：C．
【分析】结合复数四则运算，利用待定系数法，计算a，b的值，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 = = ，
得z=（﹣1+2i）i=﹣2﹣i．
∴复数z的虚部为﹣1，
故选：C．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
7．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，由题 ，则
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0，虚部等于0建立不等关系式，即可求得m值．
8．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = ，
则复数 的共轭复数是：1+i．
故选：A．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
9．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ,虚部为 , 故答案为：A.
【分析】把分母实数化分子分母同乘以分子的共轭复数整理得到最简形式，进而得出复数的虚部。
10．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： = =1+i.2i﹣i2016=2i﹣1．
=（1+i）（2i﹣1）=﹣3+i．
故选：D．
【分析】直接利用复数单位的幂运算以及复数的除法的运算法则化简求解即可．
11．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=﹣2+i，
∴ ，
则复数 的模 ，
故选：B．
【分析】把z=﹣2+i代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
12．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），
∴sinα﹣ =0，cosα﹣ ≠0，
∴sinα= ，cosα=﹣ ，
∴tanα=﹣ ．
故选：B．
【分析】复数z=（sinα﹣ ）+i（cosα﹣ ）是纯虚数（i是虚数单位），可得sinα﹣ =0，cosα﹣ ≠0，cosα=﹣ ，即可得出．
13．【答案】1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
且 ， ， ， ， ……
故答案为：
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再利用复数的乘法计算可得．
14．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数 ，则复数
．
复数 的共轭复数为：
故答案为 ．
【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．
15．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先要据复数相乘得到 ，再利用复数求模的公式，即得答案.
16．【答案】3﹣i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： =（﹣i）2=﹣1，
=2﹣i，
∴向量 对应的复数为2﹣i﹣（﹣1）=3﹣i．
故答案为：3﹣i．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简z1，z2，然后利用复数的向量减法得答案．
17．【答案】解： ，
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】运用复数的运算，代入，化简，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：复数
，即
（2）解：
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义，形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．列出方程求出m的值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算即可．
19．【答案】（1）解：
∴
（2）解：∵复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根
∴﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0…（9分）
由复数相等的定义，得：
解得：p=4，q=10
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简复数，再求复数Z的模；（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0，利用复数相等的定义，得： ，即可求实数p，q的值．
20．【答案】解：（Ⅰ）设 ，则 ，
故 .
所以 ， .
又 ， ，解得 ， ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ），得 ， ， .
， ， 在复平面上对应点 ， ， ，如图所示：
故
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）设出复数z，求和，利用复数相等求出a和b即可；
（2）根据（1）中所求z，求出A，B，C三点坐标，作出图形，求三角形面积即可.
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