高中数学人教新课标A版 选修2-1 1.1命题及其关系
一、单选题
1．（2020高二下·都昌期中）在某一命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2020高二下·吉林期中）命题“若 ，则方程 有实根”的否命题是（ ）
A．若 ，则方程 有实根
B．若 ，则方程 有实根
C．若 ，则方程 没有实根
D．若 ，则方程 没有实根
3．（2020高三上·长春月考）关于“ ，则 ， 至少有一个等于 ”及其逆命题的说法正确的是（ ）
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
4．（2019高二上·涡阳月考）命题“若 ,则 ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
5．（2019高二上·吴起期中）命题“若 ，则 ”的否命题为（ ）
A．若 ，则 且
B．若 ，则 或
C．若 ，则 且
D．若 ，则 或
6．（2019高二上·黄陵期中）命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是（ ）
A．若x2>1，则－1≤x≤1 B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11 D．若x<－1或x>1，则x2>1
7．（2019高二上·金华月考）给定①②两个命题：①为“若 ，则 ”的逆否命题；②为“若 ，则 ”的否命题，则以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
8．（2019高二上·吴起期中）给出下列命题：⑴在△ABC中，若 ，则 ；⑵设 ， ， 为实数，若 ，则 ；⑶设 ，则 的取值范围是 .其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2019高一上·屯溪期中）下列结论：①函数 和 是同一函数；②函数 的定义域为 ，则函数f（3x2） 的定义域为[0，]；③函数 的递增区间为 ；其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2019高二上·洮北期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆命题
B．命题“ ，则 ”的否命题
C．命题“若 ，则 ”的否命题
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题
11．（2020·海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 ”；命题 ：“ ，使得 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019高二下·黑龙江月考）已知命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，则下列结论正确的是（ ）
A．否命题是“若函数 在 上是减函数，则 ”，是真命题
B．逆命题是“若 ，则函数 在 上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若 ，则函数 在 上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若 ，则函数 在 上不是增函数”，是真命题
二、多选题
13．（2019高一上·滕州月考）当一个非空数集 满足条件“若 ，则a+b，a-b， ，且当 时， ”时，称 为一个数域，以下四个关于数域的命题：其中，真命题为（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域 有非零元素，则
C．集合 为数域
D．有理数集为数域
三、填空题
14．（2020高二上·吉林期末）命题若 ，则 ”的逆命题是 ．
15．（2019高二上·黄陵期中）下列特称命题是真命题的序号是 ．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使 ＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
16．（2019·十堰模拟）已知平面α，β，直线 .给出下列命题：
① 若 ， ，则 ；② 若 ， ，则 ；③ 若 ，则 ；④ 若 ， ，则 .
其中是真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．
17．（2019高二下·吉林期末）已知函数 在区间 上是增函数， ，对于命题“若 ，则 ”，有下列结论：
①此命题的逆命题为真命题；
②此命题的否命题为真命题；
③此命题的逆否命题为真命题；
④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真命题.
其中正确的结论的序号为 .
四、解答题
18．（2018高二下·黄陵期末）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
（1）若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
（2）若xy＝0，则x，y中至少有一个是零.
19．（2019高二上·长春月考）已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.
20．（2019高二上·大庆月考）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
21．（2019高二上·漠河月考）已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．
22．（2019高一上·上海月考）已知命题p:关于 的不等式 的解集为A，且 ；命题q:关于x的方程 有两个不相等的正实数根.
（1）若命题p为真命题，求实数m的范围；
（2）若命题p和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围.
23．（2019高二上·宁波期末）已知 ，设命题 ：当 时，函数 恒成立，命题 ：双曲线 的离心率 .
（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系
【解析】【解答】原命题与其否命题同真同假，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假，故真命题个数为偶数，
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“若 ，则方程 有实根”的否命题是若 ，则方程 没有实根．
故答案为：C.
【分析】根据否命题的概念求解．
3．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解:若 , ,则 ,故原命题为假;
若 , ,则 ,故其逆命题为假.
故答案为：D.
【分析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.
4．【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】因为 ，所以 或 .
因为 或 ，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.
因为 或 ，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题.
即2个真命题.
故答案为：B
【分析】解不等式 ，得 或 .当 时， 或 成立，原命题成立.当 或 时， 不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.
5．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 或 ”．
故答案为：D．
【分析】根据否命题的定义，既否定条件又否定结论，即可求出原命题的否命题.
6．【答案】B
【知识点】四种命题
【解析】【解答】命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是“若－1≤x≤1，则x2≤1”，要注意两点，一是否定时的双否，二是逻辑连接词“或”要改成“且”
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的改写原则进行改写，先逆后否即可
7．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若 ，则 ”，由于 时， ，故否命题是假命题.所以①为真命题，②为假命题，故选C.
【分析】判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出②的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.
8．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由题意，对于（1）中，在△ABC中，若 ，可得 ，由正弦定理得 ，则 ，所以（1）是正确的；
对于（2）中，若 ，当 时，此时 ，所以（2）不正确；
对于（3）中，由 ，则 的取值范围是 ，所以（3）不正确.
故答案为：B.
【分析】对于（1）中，利用正弦定理，可判定是正确的；对于（2）中，根据不等式的性质，可判定不正确；对于（3）中，利用不等式的性质，可判定不正确，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①，由于函数 的定义域为R， 的定义域为[0，+∞），这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．
对于②，由于函数f（x-1）的定义域为[1，2]，故有0≤x-1≤1．
对于函数f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得x∈[- , ]
故函数f（3x2）的定义域为[- , ]，故②不正确．
对于③，函数y=log2（x2+2x-3），令t=x2+2x-3＞0，求得x＜-3，或x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），本题即求t在定义域内的增区间，
利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+∞），故③不正确．
故答案为：A
【分析】由已知利用同一函数的定义，抽象函数定义域的求法，复合函数的单调性的求法，二次函数的性质，分别判断各结论的真假即可得结果.
10．【答案】A
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】命题“若 ，则 ”的逆命题为“若 ，则 ” ，所以为真命题；命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，因为-2 ，但 ，所以为假命题；命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，因为当 时 ，所以为假命题；命题“若 ，则 ”为假命题，所以其逆否命题为假命题.
故答案为：A
【分析】由已知利用四种命题的概念，分别判断各选项中的命题即可得结论.
11．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】先判断命题 的真假,若 为锐角三角形,则 ,则 ,由此 ,所以 ,即 ,所以命题 为假命题,
因为命题 与命题 的真假相同,故命题 也为假命题,即命题“ ,使得 成立”是假命题,所以命题 :“ 恒成立”为真命题,
因为 ,所以 ,解得 ,即实数 的取值范围是 .
故选:C
【分析】先判断命题 的真假,由锐角 可得 ,则可推得 ,即命题 为假命题,则命题 也为假命题,可知 :“ 恒成立”为真命题,进而求解即可.
12．【答案】D
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】原命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，是真命题；
逆命题为“若 ，则函数 在 上是增函数”，是真命题；
否命题为“若函数 在 上不是增函数，则 ”，是真命题；
逆否命题为“若 ，则函数 在 上不是增函数”，是真命题，
综上所述，故答案为：D。
【分析】本题首先可以根据原命题“若函数 在 上是增函数，则 ”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果。
13．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】若 ，则 ，A符合题意；若 且 ，则 ，由此 ， ，依次类推 ，B符合题意； ， ，但 ， 不是数域，C不符合题意； 是两个有理数，则 （ ）都是有理数，所以有理数集是数域，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据新概念数域的定义判断．
14．【答案】若 ，则
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，所以“ ，则 ”的逆命题是“若 ，则 ”.
答案：若 ，则 .
【分析】由已知利用逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，即可写出逆命题.
15．【答案】①③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对
＋x0＋1对应的判别式为 ，则 ＋x0＋1>0恒成立，②错
要使函数y＝ax＋b为增函数， 即可，③对
设实数为 ，则 ，④对
答案选①③④
【分析】①面积相等三角形不一定相似，①对；②判断判别式，命题错误；③a为斜率，大于0即可④ 都可以
16．【答案】③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①，若 ， ，则 或 相交，所以该命题是假命题；
对于②，若 ， ，则 可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；
对于③④可以证明是真命题.
故答案为：③④
【分析】利用线面平行，面面平行的判定与性质，分别判断各命题的真假，即可得结果.
17．【答案】①②③
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】已知函数 在区间 上是增函数，
，若 ，则 ，故 ，
同理可得 ，则 ，即原命题为真命题，可得其逆否命题为真命题，③正确；
若 ，则 ，故 ，
同理可得 ，则 ，即否命题为真命题，可得其等价命题逆命题为真命题，①②正确；由此得④不正确，故答案为①②③.
【分析】逆否命题与原命题真假相同,所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假，否命题与逆命题真假相同,所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假.
18．【答案】（1）解：逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.（真）；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零.（真）；逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.（真）
（2）解：逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0.（真）；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.（真）；
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0.（真）
【知识点】四种命题；四种命题的真假关系
【解析】【分析】结合逆命题、否命题、逆否命题的写法和真假关系，即可得出答案。
19．【答案】解：逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,根据 ，解得： ，所以是假命题.
否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,当 时，判别式 ，不一定有实根，所以假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,根据 ，解得： ，此时 成立，所以是真命题.
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【分析】根据原命题，分别写出逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，再分别判断其真假，从而可得结论。
20．【答案】解：“若 ，则 ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）
逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）
否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）
逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）
【知识点】四种命题
【解析】【分析】先由已知利用四种命题的定义，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再利用平行四边形的性质即可判断它们的真假.
21．【答案】解： 有两个不等的负根，
无实根， 得
有且只有一个为真，若p真q假，得 若p假q真，得
综合上述得 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】若 真， ，若 真， ，由题意可知， 与 一真一假，分类讨论即可.
22．【答案】（1）解：命题p:关于x的不等式 的解集为A,且
因为命题p为真命题
所以
解得
（2）解：命题q:关于x的方程 有两个不相等的正实数根
当命题q为真命题时,
解得
当命题p和命题q都为真命题
所以
所以若命题p和命题q中至少有一个是假命题
则 或
所以实数m的范围为 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集且 ,代入即可根据命题p为真命题求得数m的范围.（2）先求得命题p和命题q都为真命题时m的范围,根据补集思想即可求得命题p和命题q中至少有一个是假命题时m的范围.
23．【答案】解：（Ⅰ）当 时，因为 在 上为减函数，在 上为增函数，
∴ 在 上最小值为 .
当 时，由函数 恒成立，得 ，解得 .
（Ⅱ）若命题 为真命题，则 ，解得 ，
若 为真命题且 为假命题，则 ，可得 ，
若 为假命题且 为真命题，则 ，此时 ，
由上可知， 的取值范围为 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由 命题 为真命题 ，分离常数a，找最值可得实数a的取值范围；
（2）分别由命题 和 为真命题，求实数 的取值范围，则由 为真命题且 为假命题 与 为假命题且 为真命题 可得 实数 的取值范围.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 1.1命题及其关系
一、单选题
1．（2020高二下·都昌期中）在某一命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系
【解析】【解答】原命题与其否命题同真同假，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假，故真命题个数为偶数，
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．
2．（2020高二下·吉林期中）命题“若 ，则方程 有实根”的否命题是（ ）
A．若 ，则方程 有实根
B．若 ，则方程 有实根
C．若 ，则方程 没有实根
D．若 ，则方程 没有实根
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“若 ，则方程 有实根”的否命题是若 ，则方程 没有实根．
故答案为：C.
【分析】根据否命题的概念求解．
3．（2020高三上·长春月考）关于“ ，则 ， 至少有一个等于 ”及其逆命题的说法正确的是（ ）
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解:若 , ,则 ,故原命题为假;
若 , ,则 ,故其逆命题为假.
故答案为：D.
【分析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.
4．（2019高二上·涡阳月考）命题“若 ,则 ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】因为 ，所以 或 .
因为 或 ，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.
因为 或 ，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题.
即2个真命题.
故答案为：B
【分析】解不等式 ，得 或 .当 时， 或 成立，原命题成立.当 或 时， 不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.
5．（2019高二上·吴起期中）命题“若 ，则 ”的否命题为（ ）
A．若 ，则 且
B．若 ，则 或
C．若 ，则 且
D．若 ，则 或
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 或 ”．
故答案为：D．
【分析】根据否命题的定义，既否定条件又否定结论，即可求出原命题的否命题.
6．（2019高二上·黄陵期中）命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是（ ）
A．若x2>1，则－1≤x≤1 B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11 D．若x<－1或x>1，则x2>1
【答案】B
【知识点】四种命题
【解析】【解答】命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是“若－1≤x≤1，则x2≤1”，要注意两点，一是否定时的双否，二是逻辑连接词“或”要改成“且”
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的改写原则进行改写，先逆后否即可
7．（2019高二上·金华月考）给定①②两个命题：①为“若 ，则 ”的逆否命题；②为“若 ，则 ”的否命题，则以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若 ，则 ”，由于 时， ，故否命题是假命题.所以①为真命题，②为假命题，故选C.
【分析】判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出②的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.
8．（2019高二上·吴起期中）给出下列命题：⑴在△ABC中，若 ，则 ；⑵设 ， ， 为实数，若 ，则 ；⑶设 ，则 的取值范围是 .其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由题意，对于（1）中，在△ABC中，若 ，可得 ，由正弦定理得 ，则 ，所以（1）是正确的；
对于（2）中，若 ，当 时，此时 ，所以（2）不正确；
对于（3）中，由 ，则 的取值范围是 ，所以（3）不正确.
故答案为：B.
【分析】对于（1）中，利用正弦定理，可判定是正确的；对于（2）中，根据不等式的性质，可判定不正确；对于（3）中，利用不等式的性质，可判定不正确，即可求解.
9．（2019高一上·屯溪期中）下列结论：①函数 和 是同一函数；②函数 的定义域为 ，则函数f（3x2） 的定义域为[0，]；③函数 的递增区间为 ；其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①，由于函数 的定义域为R， 的定义域为[0，+∞），这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．
对于②，由于函数f（x-1）的定义域为[1，2]，故有0≤x-1≤1．
对于函数f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得x∈[- , ]
故函数f（3x2）的定义域为[- , ]，故②不正确．
对于③，函数y=log2（x2+2x-3），令t=x2+2x-3＞0，求得x＜-3，或x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），本题即求t在定义域内的增区间，
利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+∞），故③不正确．
故答案为：A
【分析】由已知利用同一函数的定义，抽象函数定义域的求法，复合函数的单调性的求法，二次函数的性质，分别判断各结论的真假即可得结果.
10．（2019高二上·洮北期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆命题
B．命题“ ，则 ”的否命题
C．命题“若 ，则 ”的否命题
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题
【答案】A
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】命题“若 ，则 ”的逆命题为“若 ，则 ” ，所以为真命题；命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，因为-2 ，但 ，所以为假命题；命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，因为当 时 ，所以为假命题；命题“若 ，则 ”为假命题，所以其逆否命题为假命题.
故答案为：A
【分析】由已知利用四种命题的概念，分别判断各选项中的命题即可得结论.
11．（2020·海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 ”；命题 ：“ ，使得 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】先判断命题 的真假,若 为锐角三角形,则 ,则 ,由此 ,所以 ,即 ,所以命题 为假命题,
因为命题 与命题 的真假相同,故命题 也为假命题,即命题“ ,使得 成立”是假命题,所以命题 :“ 恒成立”为真命题,
因为 ,所以 ,解得 ,即实数 的取值范围是 .
故选:C
【分析】先判断命题 的真假,由锐角 可得 ,则可推得 ,即命题 为假命题,则命题 也为假命题,可知 :“ 恒成立”为真命题,进而求解即可.
12．（2019高二下·黑龙江月考）已知命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，则下列结论正确的是（ ）
A．否命题是“若函数 在 上是减函数，则 ”，是真命题
B．逆命题是“若 ，则函数 在 上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若 ，则函数 在 上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若 ，则函数 在 上不是增函数”，是真命题
【答案】D
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】原命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，是真命题；
逆命题为“若 ，则函数 在 上是增函数”，是真命题；
否命题为“若函数 在 上不是增函数，则 ”，是真命题；
逆否命题为“若 ，则函数 在 上不是增函数”，是真命题，
综上所述，故答案为：D。
【分析】本题首先可以根据原命题“若函数 在 上是增函数，则 ”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果。
二、多选题
13．（2019高一上·滕州月考）当一个非空数集 满足条件“若 ，则a+b，a-b， ，且当 时， ”时，称 为一个数域，以下四个关于数域的命题：其中，真命题为（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域 有非零元素，则
C．集合 为数域
D．有理数集为数域
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】若 ，则 ，A符合题意；若 且 ，则 ，由此 ， ，依次类推 ，B符合题意； ， ，但 ， 不是数域，C不符合题意； 是两个有理数，则 （ ）都是有理数，所以有理数集是数域，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据新概念数域的定义判断．
三、填空题
14．（2020高二上·吉林期末）命题若 ，则 ”的逆命题是 ．
【答案】若 ，则
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解：逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，所以“ ，则 ”的逆命题是“若 ，则 ”.
答案：若 ，则 .
【分析】由已知利用逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，即可写出逆命题.
15．（2019高二上·黄陵期中）下列特称命题是真命题的序号是 ．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使 ＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对
＋x0＋1对应的判别式为 ，则 ＋x0＋1>0恒成立，②错
要使函数y＝ax＋b为增函数， 即可，③对
设实数为 ，则 ，④对
答案选①③④
【分析】①面积相等三角形不一定相似，①对；②判断判别式，命题错误；③a为斜率，大于0即可④ 都可以
16．（2019·十堰模拟）已知平面α，β，直线 .给出下列命题：
① 若 ， ，则 ；② 若 ， ，则 ；③ 若 ，则 ；④ 若 ， ，则 .
其中是真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．
【答案】③④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于①，若 ， ，则 或 相交，所以该命题是假命题；
对于②，若 ， ，则 可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；
对于③④可以证明是真命题.
故答案为：③④
【分析】利用线面平行，面面平行的判定与性质，分别判断各命题的真假，即可得结果.
17．（2019高二下·吉林期末）已知函数 在区间 上是增函数， ，对于命题“若 ，则 ”，有下列结论：
①此命题的逆命题为真命题；
②此命题的否命题为真命题；
③此命题的逆否命题为真命题；
④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真命题.
其中正确的结论的序号为 .
【答案】①②③
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】已知函数 在区间 上是增函数，
，若 ，则 ，故 ，
同理可得 ，则 ，即原命题为真命题，可得其逆否命题为真命题，③正确；
若 ，则 ，故 ，
同理可得 ，则 ，即否命题为真命题，可得其等价命题逆命题为真命题，①②正确；由此得④不正确，故答案为①②③.
【分析】逆否命题与原命题真假相同,所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假，否命题与逆命题真假相同,所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假.
四、解答题
18．（2018高二下·黄陵期末）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
（1）若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
（2）若xy＝0，则x，y中至少有一个是零.
【答案】（1）解：逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.（真）；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零.（真）；逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.（真）
（2）解：逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0.（真）；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.（真）；
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0.（真）
【知识点】四种命题；四种命题的真假关系
【解析】【分析】结合逆命题、否命题、逆否命题的写法和真假关系，即可得出答案。
19．（2019高二上·长春月考）已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.
【答案】解：逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,根据 ，解得： ，所以是假命题.
否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,当 时，判别式 ，不一定有实根，所以假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,根据 ，解得： ，此时 成立，所以是真命题.
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【分析】根据原命题，分别写出逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，再分别判断其真假，从而可得结论。
20．（2019高二上·大庆月考）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
【答案】解：“若 ，则 ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）
逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）
否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）
逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）
【知识点】四种命题
【解析】【分析】先由已知利用四种命题的定义，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再利用平行四边形的性质即可判断它们的真假.
21．（2019高二上·漠河月考）已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】解： 有两个不等的负根，
无实根， 得
有且只有一个为真，若p真q假，得 若p假q真，得
综合上述得 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】若 真， ，若 真， ，由题意可知， 与 一真一假，分类讨论即可.
22．（2019高一上·上海月考）已知命题p:关于 的不等式 的解集为A，且 ；命题q:关于x的方程 有两个不相等的正实数根.
（1）若命题p为真命题，求实数m的范围；
（2）若命题p和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围.
【答案】（1）解：命题p:关于x的不等式 的解集为A,且
因为命题p为真命题
所以
解得
（2）解：命题q:关于x的方程 有两个不相等的正实数根
当命题q为真命题时,
解得
当命题p和命题q都为真命题
所以
所以若命题p和命题q中至少有一个是假命题
则 或
所以实数m的范围为 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集且 ,代入即可根据命题p为真命题求得数m的范围.（2）先求得命题p和命题q都为真命题时m的范围,根据补集思想即可求得命题p和命题q中至少有一个是假命题时m的范围.
23．（2019高二上·宁波期末）已知 ，设命题 ：当 时，函数 恒成立，命题 ：双曲线 的离心率 .
（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）当 时，因为 在 上为减函数，在 上为增函数，
∴ 在 上最小值为 .
当 时，由函数 恒成立，得 ，解得 .
（Ⅱ）若命题 为真命题，则 ，解得 ，
若 为真命题且 为假命题，则 ，可得 ，
若 为假命题且 为真命题，则 ，此时 ，
由上可知， 的取值范围为 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由 命题 为真命题 ，分离常数a，找最值可得实数a的取值范围；
（2）分别由命题 和 为真命题，求实数 的取值范围，则由 为真命题且 为假命题 与 为假命题且 为真命题 可得 实数 的取值范围.
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