必修第二册6.1平面向量的概念同步练习（word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
4．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A． B． C． D．
8．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100 米，则此人位移的方向是(　　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
9．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且 B． C． D．
10．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则、、、四点共线
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
二、填空题
13．“A，B，C，D四点构成平行四边形”是“”的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
14．如图，、、分别是的边、、的中点，写出与共线（平行）的向量.
15．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有____．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
16．在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状为__________.
17．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是________.
三、解答题
18．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地
（1）在如图所示的坐标系中画出，，，.
（2）求B地相对于A地的位置.
19．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
20．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
21．已知向量，，
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据向量相等的概念可判断A；根据向量定义可判断B；根据向量相等、共线可判断CD.
【详解】
A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以不正确；
B中，两个向量不能比较大小，所以错误；
C中，向量平行只能得到方向相同或相反，不能得到向量一定相等，所以错误；
D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是，正确 .
故选：D.
2．B
根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.
【详解】
对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；
对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，
对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.
故选：B.
3．B
由平面向量的相关概念判断.
【详解】
A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B
4．D
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
5．C
根据向量的线性运算可得选项．
【详解】
，
故选：C.
6．A
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
7．D
方向相同，模长相等的向量为相等向量.
【详解】
AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.
故选：D
8．C
由题意，此人从点A出发，经由点B，到达点C，求得∠BAC＝60°，即可得到答案．
【详解】
如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝ ，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.
故选C．
本题主要考查了向量在物理学中的应用，其中解答中熟记平面向量的运算，合理作出图象是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9．D
结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
10．C
由图形一一列出可得答案.
【详解】
如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
11．C
由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】
对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；
对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
12．B
根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】
A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
13．既不充分也不必要
分析由“A，B，C，D四点构成平行四边形”与“”构成的互逆的两个命题的真假即可作答.
【详解】
当时，A，B，C，D可能共线，即A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形，
当A，B，C，D四点构成平行四边形时，.A，B，C，D作为平行四边形的顶点在不同的位置下，也不一定有，
所以“A，B，C，D四点构成平行四边形”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要
14．，，，，，，.
根据题意，找出与方向相同和方向相反的向量即可.
【详解】
根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有，，，，，，.
故答案为：，，，，，，.
15．①
直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可.
【详解】
化简，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量、、与向量方向不同，
根据向量相等的定义可得向量、、与向量不相等，
②③④不合题意；
因为＋+ ，⑤不合题意；
－，⑥不合题意；
，⑦不合题意，故答案为①.
本题主要考查平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义，属于基础题. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.
16．菱形
根据题意，结合相等向量的定义得出四边形ABCD是平行四边形，再利用即可判断
【详解】
∵，∴，
，∴四边形是平行四边形.
∵，∴四边形是菱形.
故填菱形
本题考查相等向量的性质，考查向量的实际应用，是基础题
17．
根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．
【详解】
如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则，
，故该船行驶的航程为.
故答案为：．
18．（1）作图见解析（2）B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”
（1）根据已知作出，，，；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，得，即得解.
【详解】
（1）向量，，，如图所示，
（2）由题意知，
所以，,
则四边形ABCD为平行四边形.
所以，
则B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”.
本题主要考查平面向量的概念和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．（1），；（2），，，，；（3），，，，.
（1）利用相等向量定义可得解；
（2）利用共线向量定义可得解；
（3）利用平行向量定义可得解.
【详解】
（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
20．（1）；（2）证明见解析．
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
21．（1）；（2）
（1）求出以及的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；
（2）求出与向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
（1）因为向量，，所以，
，
若与向量垂直，则，
即，解得：；
（2），，
若与向量平行，所以，
解得：.
答案第1页，共2页
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